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Nombres réels

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Academic year: 2022

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(1)

MPSI A 2004-2005

Feuille d'exercices

Nombres réels

Exercice 1: [eest irrationnel]

On considère les suitesun= Xn k=0

1

k! etvn=un+n!1. Montrer que ((un)n,(vn)n) forme un couple de suites adjacentes et montrer que la limite est irrationnelle.

Exercice 2: [irrationnels algébriques]

Montrer que les nombres suivants sont irrationnels : 2,

3, 6,

2 +

3. Montrer que pour tout entier naturel p,

pest entier ou irrationnel.

Exercice 3: [Nombres décimaux]

1. Démontrer l'égalité0,999999...= 1.

2. Montrer qu'un réel dont le développement décimal est périodique à partir d'un certain rang est rationnel.

3. Montrer que réciproquement, le développement décimal d'un rationnel est périodique à partir d'un certain rang.

Exercice 4: [Inégalités]

1. Soientx, y, ztrois nombres réels. Montrer les inégalités12(x2+y2)≥xy,x2+y2+z2 xy+yz+zx. Étudier les cas d'égalité.

2. Soit n≥1 etx1, x2, ..., xn des nombres réels. Montrer que à n

X

i=1

xi

! Ã n X

i=1

1 xi

!

≥n2.

Cas d'égalité ?

Exercice 5: [approximation rationnelle]

Soit x∈R irrationnel,pn, qn Q tels que qn 6= 0et pqnn converge versx. Montrer que

|pn|et|qn|tendent vers +∞. Exercice 6: [partie entière]

Soitx∈Retnentier, n≥1. 1. Montrer que E(E(nx)n ) =E(x). 2. Montrer que la suite ¡1

n2

Pn

k=1E(kx)¢

n converge et calculer sa limite.

Exercice 7: [borne supérieure]

SoientA etB des parties non-vides et bornées de R.

1. On suppose A⊂B. Montrer quesupA≤supB etinfB≤infA.

(2)

2. On supposeA∩B 6=∅. Montrer quemax(infA,infB)≤infA∩Betmin(supA,supB) supA∩B.

3. Soit A+B ={x+y|x∈A, y ∈B}. Montrer quesup(A+B) = supA+ supB. 4. Montrer que sup{|x−y| |x, y∈A}= supA−infA.

Exercice 8: [construction de la racine carrée]

Soitx >0. On dénitA={y∈R|y2≤x}. 1. Montrer que A est majoré. On pose

x= supA. Montrer que

x2 =x. 2. Soit r=

x. Montrer que r2≤x.

3. On suppose r2 < x. Montrer l'existence d'un ε ∈]0,1[tel que (r+ε)2 x+ (2r+ 1)ε(x−r2) et en déduire par l'absurder2 =x.

4. Montrer queQne possède pas la propriété de la borne supérieure. (Prendrex∈Q).

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