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CAPES

Exercices sur les développements décimaux

J.M. Morvan 2007 − 2008

Exercice 1 On sait que le développement décimal d'un nombre rationnel est périodique. On se propose ici de déterminer un nombre rationnel (sous forme du quotient de deux entiers) lorsqu'on connaît son développement décimal.

Trouver le nombre rationnel dont le développement décimal est r = 1, 363636...

Exercice 2 On désigne par X l'ensemble des nombres réels de ]0, 1[ dont le développement décimal propre contient le chire 9. Construire une suite conver- gente d'éléments de X dont la limite n'appartient pas à X.

Exercice 3 Soit k ∈ N∗. On considère le nombre réel xk déni par la donnée de son développement décimal propre

xk= 0, a1a2...an...

où la n-ième décimale an est le chire des unités dans l'écriture décimale du coecient binomial de Cn^k.

1. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗, il existe q ∈ N^∗, tel que C_n+10k!^k = C_n^k+ 10q.

2. En déduire que xk appartient à Q.

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Exercice 4 Soit f une application de N∗ dans R. On dénit la suite (un)n≥1

d'entiers naturels, de la façon suivante : pour tout n ∈ N∗, un est la n-ième décimale du développement décimal propre de f(n).

On dénit alors la suite (vn)_n≥1en posant, pour n ≥ 1, vn = 1si un= 0, vn = 0si un6= 0.

1. Démontrer que le nombre réel

y = 0, v1v2...vn...

(où la n-ième décimale est vn) n'a pas d'antécédent par f. En déduire que f n'est pas surjective,

2. En déduire qu'il n'existe pas d'application bijective de N sur R.

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