III... Pro. Benmoussa Med

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Samedi 22 décembre 2018 22/12/2018 23:38:10 Niveau : TRONC COMMUN - Cours les ensembles page

Pro. Benmoussa Med

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I I. I . .

Les ensembles et et et et a. Les nombres entiers :

 Ensemble :

Les nombres entiers naturels forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers naturels on le note .

 On écrit : 



0,1, 2, 3, ...



on dit que est écrit en extension .

 L’ensemble



1, 2, 3, ...



est note ^*, on a ^*  .

 Ensemble

Les nombres entiers relatifs forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers relatifs on le note .

 On écrit : 



... 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, ...  



on dit que est écrit en extension .



..., 3, 2, 1,1, 2, 3, ...  



est note ^*. on a ^*  .



0,1, 2, 3, ...



est l’ensemble des entiers positifs , on note ^  . on a ^  ( ou encore  )



1, 2, 3, ...



est l’ensemble des entiers strictement positifs , on note ^^*  ^*.



0, 1, 2, 3, ...  



est l’ensemble des entiers négatifs , on note ^. . on a ^ 



  1, 2, 3, ...



est l’ensemble des entiers strictement négatifs , on note ^^*.

 Remarque :

 les chiffres sont : 0 et 1 et 2 et 3 et 4 et 5 et 6 et 7 et 8 et 9 .

 les nombres sont : 0 et 1 et 2 et 3 et 4 et 5 et 6 et 7 et 8 et 9 et 10 et 11 et 12 ….

 ^ ^  b. Les nombres décimaux :

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire par un nombre fini de chiffres après la virgule . par exemple -15,237 et 0,21 et 3

4 0.75sont des nombres décimaux ; mais 2 0, 6666666...

3  n’est pas un nombre décimal . pour comprendre la définition mathématique exacte de l’ensemble des nombres décimaux .

On Remarque : 15237 15237₃ 21 21₂

15, 237 = et 0, 21

1000 10 100 10

      .

 D’ou : Les nombres décimaux forment un ensemble appelé ensemble des nombres décimaux on le note . Avec : a_p

/ a ,p 10

 

   

 .

 Remarque :

0 0

17 5

17 et -5

10 10

     d’ou :  et  .

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c. Les nombres rationnels : On a : 2

0, 6666666...

3  . 2

3 est un nombre rationnel ( du latin ratio= fraction ) . chaque nombre rationnel peut s’écrire sous la forme a

b avec a et b sont des entiers ( avec b0on préfère b0 ) . on note l’ensemble des nombres rationnels par

Remarque :

 On a de même ^* et ^ et ^.

 2 2

mais

3 3 . 3 3

mais

4 4 .

 Tout nombre rationnel admet une infinité de représentants par exemple :

3 6 15 3

4 8 20 4

   

 le représentant privilégié est la fraction irréductible 3 4.

 3

4 est une fraction et 0,75 est son développement décimal .

 Considérons les développement décimal de quelques nombre rationnels :

 1

0, 3333... 0, 3

3  . 1

0, 09090909... 0, 09

11  . 47

1, 270270270... 0, 270

37   .

 7

0, 069306930693... 0, 0693

101  . 47

1,14634146341463414634... 1,14634

41   .

 Théorème :

Dans le développement décimal de tout nombre rationnel il y a une suite de chiffres qui se répète indéfiniment , appelle période de ce nombre rationnel .

d. Les nombres réels : Exemples :

2 1, 41421356.... .  3,141592653589..... Sont des nombres irrationnels .

 Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble des nombres reels on note cet ensemble par : .

     .

 ^* est l’ensemble des nombres réels non nuls .

 ^ est l’ensemble des nombres réels positifs .

 ^^* est l’ensemble des nombres réels positifs non nuls .

 ^ est l’ensemble des nombres réels négatifs .

 ^ ^ ^ ^et ^ ^ ^

 

⁰

I II I I I . . .

Règles de calculs:

a. Pour les fractions :

Soient a et b et c et d des nombres réels avec b0 et d0.

 a c a d b c

b d ad

  

  et a c a d b c

b d ad

  

  .

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 a c a c

b d a d

  

 et a

a d a d

b

c b c b c

d

   

 . b. Les racines carrées :

 Définition :

La racine carrée d’un nombre positif xest le nombre positif a dont a² x le nombre a est noté a x ( càd a² x ) .

c. Identités remarquables : a et b sont des nombres reels .

d. Puissances de 10 :

n

n fois n zéros

10 10 10 10   101000 0 et ⁿ

n zéros

n 0,

10 1 1

10 00 0

  

e. Ecriture scientifique :

Ecrire un nombreb en écriture scientifique c’est de l’écrire sous la forme :

nombre entre1 et10 exclu

a n

b 10



^{a b}^



² ^^a²^^{2a b}^{ }^b²



^{a b}^



³ ^^a³^^3a²^{ }^b ^3ab²^^b³ ^a³^^b³ ^



^{a b}^

 

^a²^^ab^^b²





^{a b}^



² ^^a²^^{2a b}^{ }^b²



^{a b}^



³ ^^a³^^3a²^{ }^b ^3ab²^^b³ ^a³^^b³ ^



^{a b}^

 

^a²^^ab^^b²





^{a b}^



^{a b}^



^^a²^^b²

 

b 1  1 b ou b1 n est négatif

 

b 1   1 b 1 n est positif

b 0, 4410^1

4, 2

b0, 043 310^ b 0, 007577, 5710^3

0, 1

b 2 4 4 10

5

     

b0, 000099999, 99910^5

5, 4 0

b5, 4 10 4, 7 1

b47, 3 310 b 51105,11103

5, 9 1

b59, 4 410 7 0

b 1, 75 1, 10

4 75

   