IIIIII... III... Pro. Benmoussa Med

- 1 -

I I. I . .

n n n0

(u ) _ est une suite son premier terme est

n0

u : ( rappel ) A. Suite majorée – suite minorée – suite bornée :

a. Définitions :

 Une suite

n n n0

(u ) _ est majorée par un réel Msi et seulement si  n n ;u_{0 n} M ( ou  n n ;u_{0 n} M ).

 Une suite

n n n0

(u ) _ est minorée par un réel msi et seulement si  n n ;u_{0 n} M ( ou  n n ;u_{0 n} M ).

 Une suite

n n n0

(u ) _ est bornée si et seulement si

n n n0

(u ) _ est majorée et bornée .

 Une suite

n n n0

(u ) _ est bornée si et seulement si  A ^; n n ; u_{0 n} Aou

 ^{ } 

B. La monotonie d’une suite : a. Définition :

 Une suite

n n n0

(u ) _ est croissant si et seulement si

  n n ; u

 u

 Une suite

n n n0

(u ) _ est strictement croissant si et seulement si

  n n ; u

 u

 Une suite

n n n0

(u ) _ est décroissant si et seulement si

  n n ; u

 u

 Une suite

n n n0

(u ) _ est strictement décroissant si et seulement si

  n n ; u

 u

 Une suite

n n n0

(u ) _ est constante si et seulement si  n n ; u_{0 n} u_{n 1} .

 Une suite

n n n0

(u ) _ est périodique de période T ^*si et seulement si n n ; u_{0 n T} u_n .

I I I I I I . . .

n n n0

(u ) _ est une suite numérique . rest un nombre réel non nul .

 La suite (u )_n est arithmétique de raison ret de premier terme

n0

u



(u )

n0

u

0 n n0 0

n n : u u (n n )r

    

 Pour la somme suivante :

i n

n i p p 1 p 2 n

i p

S u u u u .... u



 



      

^

^

2

  

  

 

 

 .

     

Sn le nombre des termes de la somme

2

le premier terme  le dernier terme

 

 Propriété caractéristique :  p n ; q₀  n ₀ ; u_q u_p(q p)r ( avec q et p de ) .

 Moyenne arithmétique :

u

 a

a b   2c

- 2 - b. Remarque :

 La somme suivante S_n u₀u₁u₂.... u _n possède n 1 terme . (c.à.d.

n 0 1  

 La somme suivante S_n u₁u₂u₃.... u _n possède n terme . (c.à.d. n 1 1  ) .

 La somme suivante

0 0 0

n n n 1 n 2 n

S  u  u

 u

 .... u 

n n 

 1

I II I I I I I I . . .

n n n0

(u ) _ est une suite numérique . qest un nombre réel non nul .

 La suite (u )_n est géométrique de raison qet de premier terme

n0

u



(u )

n0

u

0

(n n )

0 n n

n n : u u q

   

 Pour la somme suivante :

i n

n i p p 1 p 2 n

i p

S u u u u .... u



 



      

 Si q1 on a

^{n p 1}

n p

q 1

S u

q 1

    

 

  

  ^.

 q1 :

i n

i p

i p

S u u (n p 1)





    

 Propriété caractéristique :

  p n ; q

  n : u

 u

 q

 Moyenne géométrique :

u

 a

I IV I V V . . .





A. Limite finie d’une suite : a. Activité :

 On considère la suite

  u

1

u = ; n 2 n 

 Sur une droite graduée on présente l’intervalle ₀

1 1

I ,

4 4

 

     

2 cm

 Calculer quelques termes de la suite et on les place sur la droite graduée , que remarquez-vous ?

 Si n tend vers



 On dit que la limite de la suite

  u



 On écrit : _n

nlim u 0

  .

- 3 - c. Définition :

n n n0

(u ) _ est une suite numérique.

On dit que la limite de la suite

  u

I

  u

nlim u

 l . d. Propriété :

 Si une suite a une limite alors cette limite est unique .

 n n 2 n i





1 1 1 1

lim 0 et lim 0 et ; lim 0 i et lim 0

n n n n







 









n

lim u 0

lim u



  



 On considère la suite

  u

1

u = 3

n 

nlim u 3

  .

On a :





n n n

1 1

lim u 3 lim 3 3 lim 0

n n



 

  



nlim u 3

  . B. Limite infinie d’une suite :

a. Définition :

n n n0

(u ) _ est une suite numérique.

 On dit que la limite de la suite

  u



 ^{A, } 

  u

nlim u

   .

 On dit que la limite de la suite

  u

 ^{ , A} 

  u

nlim u

   . b. Propriété :

 Si une suite a une limite alors cette limite est unique .

 _n

^{lim n} et lim n

et ; lim n

i 

 et lim

n



 

 

  

 

C. Convergence d’une suite numérique : a. Définition :

n n n0

(u ) _ est une suite numérique.

 Si la limite de la suite

  u

  u

 Si la limite de la suite

  u

  u

  u

- 4 - b. Exemple :

 u_n n⁴ on a : _n

nlim u

   d’où la suite

  u

 un  

 

 _n

1

u = 3n ; 1

n  

nlim u 3

  d’où la suite

  u

 Toute suite croissante et majorée est une suite convergente .

 Toute suite décroissante et minorée est une suite convergente . d. Exemple :

On considère la suite numérique

  u

1

u = + 7 ; n 1

n 

1. Montrer que la suite

  u

  u

  u

Réponse :

1. la suite

  u

3

3

3

n

n 1 1 0

n

1 0 n

1 7 7 n

1 7 0 n

u 0

  

     

 

  

  

 

Par suite :

  u

  u

on a :

 

 

3 3

3 3

n 1 n

n 1 n n 1 n

1 1

n 1 n u _ u

    

 



 

Donc : la suite

  u

- 5 - 3. En déduit la convergence de la suite

  u

On a : la suite

  u

  u

V V V . . .

Soient

   

0 0

n n n n n n

u _ et v _ deux suites numériques .

 Les opérations sur les suites sont les mêmes que les opération des fonctions.

exemple :

     

0 0 0

n n n n n n n n n n

u _  v _  u v _ .

 Les propriétés des opérations des limites des suites sont les mêmes que celles des fonctions .

exemple 1 : si _{n n}

nlim u et lim vn

 l  l' alors _{n n}

nlim u v '

  l + l .

exemple 2 : si _{n n}

nlim u et lim vn

 l    alors _{n n}

nlim u v

    .

 si _{n n}

nlim u et u 0

 l  alors l

 0

 si _{n n}

nlim u et lim vn

 l  l' et

v

 u



1. calculer la limite de la suite suivante : _n

1

u = ; n 1 n 

n n

lim 1 0 et lim 3 3



n 



nlim u 3

  . 2. calculer la limite de la suite suivante : _n

1

v 3 n ; n 1

n

 

      

On a :

n n

lim 1 3 3 et lim n



n

     

 

 

lim 1 3 n



n

    

 

 

V VI V I I . . .

Soient

     

0 0 0

n n n n n n n n n

u _ et v _ et w _ trois suites numériques tel que à partir d’un rang pon a pour tout n p n₀( avec

n 

  0



1. Si _{n n n n n}

n n

v u w et lim v lim w

 

   l alors _n

nlim u

 l.

2. Si _{n n n}

v .u et lim un

     alors _n

nlim v

  .

3. Si _{n n n}

v .u et limun

     alors _n

nlim v

 l.

4. Si _{n n n}

v .u et lim u

0

  



nlim u

 l.

- 6 - b. Application :

Application 1 : On considère la suite numérique

  u

 

n

v 1 5 ; n > 0 n

   .

1. Montrer que : _n

nlim v 5

   . On a :

   

 

n n

n

n

1 1 1

1 1 1

n n n

1 1 1

5 5 5

n n n

1 1

5 v 5

n n

 

      

 

     

     

On sait que :

n n

1 1

lim 5 lim 5 5

n n

 

     

D’après l’un des critères de convergences on obtient : _n

nlim v 5

   Conclusion : _n

nlim v 5

   .

Application 2 : On considère la suite numérique

  u

u

 2n cos n ; n     0

nlim u



On a :

^{  1 cos n}   ^{  1 2n 1   2n cos n }   ^{ 2n +1}

Donc :

^{2n 1   2n cos n }  

D’où : 2n 1 u_n On sait que :

nlim 2n - 1 = +

 

D’après l’un des critères de convergences on obtient : _n

nlim u

  . Conclusion : _n^{lim 2n}_ ^{cos x}

 

Application 1 : On considère la suite numérique

  u

cos n

v ; n 1

 n 

nlim v 0

  .

On a : _n

cos n cos n 1

v 0

n n n

   

D’où : _n

1

v 0

  n

n

lim 1 0



n 

nlim v 0

  . c. Exercice :

Calculer : _{2 3}

n n

cos n cos n 5 lim et lim

n n

 



V VI V I I I I I . . .

A. Suite de la forme : u_n qⁿ avec q :

- 7 - a. Propriété :

 Si q1 alors ⁿ

n

lim q



 

 Si q1 alors ⁿ

n

lim q 1





 Si   1 q 1 alors ⁿ

n

lim q 0





 Si q 1 alors qⁿ n’a pas de limite .

b. Exemple :

 ⁿ

n

lim 3



 



n n

lim 1 0

    2 ^car

-1 < q = 1 < 1 2



n n n n

n n n

n n

2 8 2 8

lim lim

7 7 7

 

  

n n

n

2 8

lim 0

7 7



   

       

( car

n n

n n

2 8 2 8

lim 0 et lim 0 ; 1 1 et 1 1

7 7 7 7

 

           

   

    ^{) .}

B. Suite de la forme u_n n^r avec r ^* a. Propriété :

 Si

r  0

n

lim n



 

 Si

r  0

n

lim n 0





Soit la suite

  u

nlim u

 : 1^ère méthode : On a :

3

7 3 7

nlim un nlim n nlim n

       car

3

r 0

  7

n

lim n



 

n

lim n



 

nlim u

   . C. Suite

 

n n n0

v _ de la forme vn f u

 

On considère la fonction f définie par :

^{f x}   ^{2x 5}

7x 4

 



  u

n 1

u 1

n _

  

 

  ^.

- 8 -

1. On considère la suite

  v

v

 f u  

 Ecrire la suite

  v

 En déduit v_n en fonction de n .

2. Calculer _{n n}

nlim u et lim vn

  .

3. Si _n

nlim u

 l en déduit une relation entre _n

nlim v et f et

 l .

b. Propriété :

Si une suite

 

n n n0

u _ converge vers l ( c.à.d. _n

nlim u

 l ) et f est une fonction continue en l alors la suite

 

n n n0

v _ définie par

v = f u

 

^f  

 

n

lim v f





On considère la fonction

^{f x}   ^{5x 6}

x 3

 



cos n

u ; n 1

 n 

  v

 

n n

v  f u

1. Ecrire la suite

  v

nlim u

 . 3. On détermine _n

nlim v



Correction :

1. la suite

  v

on a : n

 

cos n

5 6

5u 6 n 5cos n 6n

v f u

cos n

u 3 cos n 3n

n 3

 

 

   

  

.

Conclusion : _n

5cos n 6n v cos n 3n

 



nlim u

 .

On a :  x ; 1 cosx1 donc  n ^* ; 1 cosn1

Par suite ^*

1 1 1 1

1

n ; 1 cosn 1 u

n n n n n

           

Or :

n n

1 1

lim lim 0

n n



 



D’où : _n

nlim u 0

  ( d’après un critère de convergence ) . 3. On détermine _n

nlim v



On a : _n

nlim u 0

  et la fonction f est continue en 0 ( car f est continue sur

D

 \    3

 

n n

v = f u

  v

 

n

lim v f 0 2



  

- 9 - Conclusion : _n

nlim v 2

   D. Suite

 

n n n0

u _ de la forme un 1_ f u

 

Soit une suite

 

n n n0

u _ tel que

  n n ; u

 f u  

 f est une fonction continue sur un intervalle I.



^{f I}   ^{ I}



u

 I

 La suite

  u



Alors l est solution de l’équation

^{x  I , f x}   ^{ x}

^{= f}  

b. Exemple :

On considère la fonction

^{f x}   ^{ x  6}

1. Donner le tableau de variation de f . 2. On considère l’intervalle

^{I }   ^{0, 3}

 Déterminer

^{f I}  

3. On considère la suite

  u

n+1 n

u 2

u = 6 + u ;n 0

 

 



 Montrer que  n ; 0u_n 3

 Montrer que la suite

  u

 La suite

  u

 Ecrire la suite

  u

  u

Correction :

1. On donne le tableau de variation de f . On a :

 ^{f ' x}

  

 ^

^

2 x 6 2 x 6

     

  ^.

 _x

^{lim f x}

  ^{ }

 Le tableau de variation de f est :

 6



x

  

 f ' x



0

 

f x

- 10 - 2. On détermine

^{f I}  

La fonction f est continue sur son domaine de définition

D

    6, 

^{I }   ^0;3

On a : ^{f I}

 

  



_{ }^{f 0 ,f 3}

   

   6;3  

Conclusion :

^{f I}   ^{ f}    ^0;3  ^{ } _ ^{3, 3 } _ ^   ^{0, 3}

3. ..

 Montrons que :  n ; 0u_n 3 On démontre par récurrence :

- On vérifie la relation est vrai pour

n  0

n  0

- On suppose que la relation est vraie pour n de c.à.d. 0u_n 3 ( hypothèse de récurrence ) - On démontre que : la relation est vraie pour n 1 c.à.d. on démontre que

0  u

 3

D’après hypothèse de récurrence on a :

   

n n

n

n 1

0 u 3 6 6 u 9 ; 6

6 6 u 3 car la fonction x x est croissante 6 u _ 3

      

   

  

Donc la relation est vraie pour n 1 .

Conclusion : On applique le principe de récurrence on a :  n ; 0u_n3

 Montrons que la suite

  u

On montre que pour tout

n 

u

 u

 0

  

2

n n

n n

n 1 n n n

n n n n

3 u 2 u

6 u u

u u 6 u u

6 u u 6 u u



 

 

     

   

 3 u 

 2 u 



 ^{3 x }  ^{2 x } 

Puis que 0u_n 3 donc

u

 u

 0

  u

 La suite

  u

 On écrire la suite

  u

  n ; u

 f u  

 2

3



un



0



0



 3 u 

 2 u 

  u

 u

- 11 - 5. On déterminer la limite de la suite

  u

On a :

 f est une fonction continue sur l’intervalle I.

 ^{f I}

 

  





u

  2   0;3

 La suite

  u



Donc d’après une propriété on a l est solution de l’équation

^{x  I , f x}   ^{ x}

On résout l’équation

^{x  I , f x}   ^{ x}

 

  

   

2 2

f x x x 6 x

x 6 x x x 6 0 3 x x 2 0

x 3 0;3 ou x 2 0;3

   

  

    

   

     

D’où : ^l

^{  3}   ^0;3

Conclusion : _n

nlim u 3

 