- 1 -
I I. I . .
La fonction exponentielle népérienne f x
ex :a. Activité :
On considère la fonction f définie par :
f : 0,
x f x lnx
1. Est-ce que la fonction f admet une fonction réciproquef
1 ? b. Vocabulaire et notation :fonction réciproque
f
1 de f est appelée la fonction exponentielle népérienne ( ou la fonction exponentielle , on note f1 exp ou f1e.c. Définition et propriété :
La fonction fdéfinie par :
f : 0,
x f x lnx
est continue et strictement croissante sur l’intervalle 0,
d’où f admet une fonction réciproquef
1, on l’appelle fonction exponentielle népérienne et on la note par : f1 exp ou f1 eavec
1
1
f = exp : 0,
x f x exp x
.d. Conséquences :
La fonction exponentielle népérienne f1 exp ou f1 e est continue et strictement croissante sur et la courbe de f et f1.sont symétrique par rapport à la 1ière bissectrice ( la droite d’équation
D : y x
x , exp x 0
. Relation entre
f x
=ln x et f (x)
1 exp x
estexp x y x ln y
x y 0
. On a :
x 0, : f
1f (x) x f
1 f (x) x
donc
x 0, , exp ln x x exp ln x x
On a : x : f f1
x x f f (x)
1
xdonc x , ln exp x
x ln exp x
x e. Nouvelle notation :On sait que :
1 : r , rln e
r d’ou
1 r , xp r
exp ln e r
r ,exp r
e r
On obtient :
r : exp r e
rpar conséquence on va prolonger ce résultat à tous les nombres réels x. d’où la nouvelle notation : x : exp x e
x.Donc :
1
1 x
f = exp : 0,
x f x exp x e
- 2 - f. Propriétés :
1.
x
x lny
y e
y 0
x
et x 0 : elnx x et x : ln e
x x et x , ex 0 .2. a,b : a b ea e et a,bb : a b eaeb.
g. Exemples :
1. ex
3 0
ex 3 x ln 3
2.
e
ln
24 24 et ln e
13 13
.3. Résoudre dans l’équation suivante ex 3 e2x 7 . On a : ex 3 e2x 7 x 3 2x7
x 4
Ensemble des solutions de l’équation estS 4
.4. Résoudre dans l’inéquation suivante : ex 1 e6x 2 . On a : ex 1 e6x 2 x 1 6x2
5x 3 x 3
5 x 3 ,
5
Ensemble des solutions de l’inéquation est :
3
S ,
5
.5. Ensemble de définition des fonctions :
2
x xf (x) et g(x) e
e
xDf ex 0 ceci est vrai quelque soit x de car ex 0 donc
D
f
. xDf ex 0 on sait quelque soit x de on a ex 0donc
D
f
.I I I I I I . . .
Propriétés algébriques : a. Propriétés :Soient
a et b et x de
et r on a :Exemples propriétés
Exemples propriétés
ex 3=e3x 4
ex r=erx r
1
7 4 3
e e e
a b a b
e e e
5
1 x 3
x 3 2
e =e
1x
x 2
e =e
2
2 2
e 1 e
b b
e 1 e
6
3
12 2x
2 2x 3
e =e
3
1x
x 3
e =e
3
5 7 2
e e
e
a b a b
e e
e
- 3 - b. Preuve : pour ea b ea eb.
On pose : Aea b et B ea eb On a :
a b a b
A e ln A ln e
ln A a b , 1
Et : B ea eb ln B
ln e
aeb
a b
ln B ln e ln e
ln B a b , 2
D’après
1 et 2
on obtient :ln A ln B
donc AB c.à.d. ea b ea eb.Conclusion : ea b ea eb . c. Remarques :
ex ex
ex 2 e et e2x x ex ex
ex 3 e3x. x x x
x n nxn
e e e e e
. f x
eu x , xDf x DuI I I I I I I I I . . .
Limites :x
lim ex 0
x
lim ex
x 0
ex 1
lim 1
x
x
lim x ex 0
x
n x
lim x e 0
; n *x
ex
lim x
x x n
lim e
x
; n * a. Exemple :
x
e2x
lim x : 1ère méthode :
x x x
2x x x x
e e e e
xlim lim lim e
x x x
.2ième méthode :
x x
2x 2x
e e
lim lim
x 2x
t
et
lim t 2x ; x t t
3
x
ex 2x lim x
:
On a : 3 3 2
x x
x x
e 2x e 2
lim lim
x x x
( car 3 2x x
e
x2
lim et lim 0
x x
)- 4 -
I IV I V V . . .
Dérivée de la fonction f x
e et f (x)x eu x . a. Théorème :la fonction f x
ex est dérivable sur et on a : x : e
x 'ex .b. Preuve :
On pose :
f x
=ln x et f (x)
1 exp x
.La fonction f est dérivable sur
0,
et sa fonction dérivée estf ' x 1
x
qui ne s’annule pas sur 0,
donc sa fonction réciproquef
1 est dérivable sur f
0,
et
1
1
xx
x
1 1 1
xx : e ' f ' x e
f ' f x f ' e 1 e
.Conclusion : x : e
x 'ex .c. Théorème :
Si la fonction
u x
est dérivable sur un intervalle Ialors la fonctionf (x) e
u x est dérivable sur Iet sa fonction dérivable estf '(x) e
u x
' u x e
'
u x .d. Exemple :
Soit la fonction
f (x) e
5x33xOn a : f '(x)e5x33x'
5x33x ' e
5x33x
15x23 e
5x33x.e. Remarque :
Les fonctions primitives de la fonction
g(x) u x e
'
u x sont les fonctions de la forme
u x
G x e c ; c
. f. Exemple :On détermine les primitives de la fonction
f (x) x.e
3x21 sont les fonctions de la forme1
3x2 1F(x) e c
6
V V. V . .
Etude de la fonction f (x)ex : Tableau de variation de f :La courbe représentative de f
x
f '
0
f
- 5 -
V VI V I I . . .
Fonction exponentielle de basea
avec a
0,1 1,
:a. Définition :
Soit
a 0,1 1,
.La fonction définie par :
a
x 0 , log x ln x
ln a
est continue et strictement monotone sur 0,
donc elle admet une fonction réciproque
f
1, on l’appelle fonction exponentielle de basea
et définie par :
1
1
a
f : 0,
x f (x) exp x
.b. Nouvelle notation :
On a :
1
a
x ln a
f x y f y x
log y x ln y x
ln a
ln y x ln a y e
D’oùf
1 x exp
a x e
xlna On prend x r on a : 1 a
r r
rlna lna
f (r) exp x e e a d’où : a
exp x a
r. On prolonge cette écriture pour tous les nombres réels x de on obtient
x , f (x)
1 e
xlna a
x.- 6 -
Conclusion :
x , exlnaax .
c. Exemple :
x
x xln5 1 xln5 x xln10
5 e et e et 10 e
5
.
d. Remarques :
Pour tout x de on a : loga
ax x. Pour tout
x 0
on a : loga xa x
. Pour tout x de on a :
10
x y x Log y
.e. Conséquences :
Soit
a 0,1 1,
et la fonctionf (x) a
x e
xlna . 1. La fonction fest continue et dérivable sur l’intervalle . 2. f (x) ' a
x' ln a e
xlna ln a a
x.3. D’où le signe :
f (x) '
ax
ln a
axest le signe deln a
.
0 a 1
alorsf (x) a
x e
xlna strictement croissante d’où : (x, y) 2: ax ay x y.
a 1
alorsf (x) a
x e
xlna strictement décroissante d’où : (x, y) 2: ax ay x y.f. Propriétés :
a 0,1 1,
etr
, x, y on a :x y x y
a a a et
ax y ax y et x x1 a
a
etx x y y
a a
a
.g. La courbe représentative de
f x a
x aveca 0,1 1,
.Cas
0 a 1
on prend1 a 2
donc1 x
f (x) 2
.
Cas
a 1
on prenda 2
donc f (x)2x .- 7 - h. Exemple :
1. Ecrire la fonction
f (x) 3
x3xen fonction de la fonction exponentielle népérienne . 2. Calculer : xlim f x et lim f x
x
.
3. Calculer : f ' la fonction dérivée de f. Correction :
1. On écrit la fonction f :
On a :
f (x) 3
x3x e
x3x ln 3
. 2. Les limites :
x3 x ln 3
xlim f x xlim e
car x
lim x
3x ln 3 et lim e
t t
.
x3 x ln 3
xlim f x xlim e 0
car x
lim x
3x ln 3 et lim e
t t0
.3. Dérivée :
On a : df '(x)e