III... Pro. Benmoussa Med

- 1 -

I I. I . .

 

a. Activité :

On considère la fonction f définie par :

 

 

f : 0,

x f x lnx

 

 







f

fonction réciproque

f

c. Définition et propriété :

La fonction fdéfinie par :

 

 

f : 0,

x f x lnx

 

 







 ^{0, } 

f

 

   

1

1

f = exp : 0,

x f x exp x





 



d. Conséquences :

 La fonction exponentielle népérienne f^1 exp ou f^1 e est continue et strictement croissante sur et la courbe de f et f^1.sont symétrique par rapport à la 1^ière bissectrice ( la droite d’équation

  ^{D : y  x}



^{  x , exp x}   ^{ 0}

 Relation entre

^{f x}  

ln x et f (x)  

 exp x  

^{exp x}   ^{y x ln y}  

x y 0

 

 

  

   

 On a :

^{  x}  ^{0, }  ^{: f}

^{f (x)   x f}

 ^{f (x)}  ^{ x}

       

x 0, , exp ln x x exp ln x x

     

 On a : ^{ x : f f1}

 





^{ }

 ^{ } 

On sait que :

 

 

 

 

  



^{ }

On obtient :

^{  r : exp r}   ^{ e}

^{  x : exp x}   ^{ e}

Donc :

 

   

1

1 x

f = exp : 0,

x f x exp x e













- 2 - f. Propriétés :

1.

x

x lny

y e

y 0

x



  

   

  

 

2. a,b : a b e^a e et a,b^b   : a b e^ae^b.

g. Exemples :

1. e^x

  3 0

  x ln 3

2.

^e

 

 24 et ln e  

  13

3. Résoudre dans l’équation suivante e^{x 3} e^{2x 7} . On a : e^{x 3} e^{2x 7}   x 3 2x7

  x 4

^{S  }   ⁴

4. Résoudre dans l’inéquation suivante : e^{x 1} e^{6x 2} . On a : e^{x 1} e^{6x 2}   x 1 6x2

5x 3 x 3

5 x 3 ,

5

   

 

 

      

Ensemble des solutions de l’inéquation est :

3

S ,

5

 

     

5. Ensemble de définition des fonctions :

2

f (x) et g(x) e

 e 

 xD_f e^x 0 ceci est vrai quelque soit x de car e^x 0 donc

D



 xD_f e^x 0 on sait quelque soit x de on a e^x 0donc

D



I I I I I I . . .

Soient

a et b et x de

Exemples propriétés

Exemples propriétés

 

 

 ^{r } 

1

7 4 3

e e e

a b a b

e ^  e e

  5

1 x 3

x 3 2

e ^ =e ^

1x

x 2

e =e

2

2 2

e 1 e

 

b b

e 1 e

 

  6

3

12 2x

2 2x 3

e ^ =e ^

3

1x

x 3

e =e

3

5 7 2

e e

 e

a b a b

e e

e





- 3 - b. Preuve : pour e^{a b}  e^a e^b.

On pose : Ae^{a b} et B e^a e^b On a :

   

   

a b a b

A e ln A ln e

ln A a b , 1

 

  

  

Et : ^{B ea eb ln B}

 





     

   

a b

ln B ln e ln e

ln B a b , 2

  

  

D’après

  ^{1 et 2}  

^{ln A}   ^{ ln B}  

Conclusion : e^{a b}  e^a e^b . c. Remarques :

 ^{ex ex}

 

 

 ^{x x x}

 

n

e     e e e  e

 ^{f x}

 

I I I I I I I I I . . .

x

lim ex 0^

 

x

lim ex

  

x 0

ex 1

lim 1

 x

 

x

lim x ex 0^

  

x

n x

lim x e 0



 

x

ex

lim^ x  

x x n

lim e

x  



x

e2x

lim^ x ^: 1^ère méthode :

x x x

2x x x x

e e e e

lim lim lim e

x x x

  

     

2^ième méthode :

x x

2x 2x

e e

lim lim

x 2x





 

t

et

lim t 2x ; x t t

       

 

 ₃

x

ex 2x lim^ x

 :

On a : _{3 3 2}

x x

x x

e 2x e 2

lim lim

x x x

 

    

x x

e

2

lim et lim 0

x x



 



- 4 -

I IV I V V . . .

 

la fonction ^{f x}

 

 

b. Preuve :

On pose :

^{f x}  

ln x et f (x)  

 exp x  

La fonction f est dérivable sur

 ^{0, } 

^{f ' x}   ¹

 x

 ^{0, } 

f

 

 

   

^{ }

_{ }  

x

x

1 1 1

x : e ' f ' x e

f ' f x f ' e 1 e



   

  

Conclusion : ^{ x : e}

 

c. Théorème :

Si la fonction

^{u x}  

f (x)  e

^{f '(x)  } _{ } ^e

^ _{ }

^{ u x e}

 

d. Exemple :

Soit la fonction

f (x)  e

On a : ^{f '(x)}_^e5x33x_^'









e. Remarque :

Les fonctions primitives de la fonction

^{g(x)  u x e}

 

 

 

G x  e  c ; c 

On détermine les primitives de la fonction

f (x)  x.e

1

F(x) e c

6





V V. V . .

La courbe représentative de f





x



f '



0

f

- 5 -

V VI V I I . . .

a

  



a. Définition :

Soit

^{a }    ^{0,1  1, } 

La fonction définie par :

   

 

a

x 0 , log x ln x

   ln a

 ^{0, } 

donc elle admet une fonction réciproque

f

a

 

 

1

1

a

f : 0,

x f (x) exp x





 



b. Nouvelle notation :

 On a :

   

 

   

   

 

1

a

x ln a

f x y f y x

log y x ln y x

ln a

ln y x ln a y e



  

 

 

 

 

f

  x  exp

  x  e

 On prend x r on a : ¹ a

 

r r

rlna lna

f (r)^ exp x e e a d’où : a

 

exp x  a

 On prolonge cette écriture pour tous les nombres réels x de on obtient

  x , f (x)

 e

 a

- 6 -

 Conclusion :

  x , e^xlnaa^x .

c. Exemple :

x

x xln5 1 xln5 x xln10

5 e et e et 10 e

5

  

    

  ^.

d. Remarques :

 Pour tout x de on a : loga

 

 Pour tout

x  0

a  x

 Pour tout x de on a :

¹⁰

^{   y x Log y}  

e. Conséquences :

Soit

^{a }    ^{0,1  1, } 

f (x)  a

 e

 ^{f (x) '}  ^   ^a

^{' }  ^{ln a  }  ^{ e}

^  ^{ln a  }  ^{ a}

3. D’où le signe :





 



^{ } 

ln a



0   a 1

f (x)  a

 e



a  1

f (x)  a

 e

f. Propriétés :

   

a  0,1  1, 

r 

x y x y

a a a^ et

 

1 a

a



x x y y

a a

a



g. La courbe représentative de

^{f x}   ^{ a}

^{a }    ^{0,1  1, } 

Cas

0   a 1

1 a  2

1 x

f (x) 2

     ^.

Cas

a  1

a  2

- 7 - h. Exemple :

1. Ecrire la fonction

f (x)  3

lim f x et lim f x  

 

  .

3. Calculer : f ' la fonction dérivée de f. Correction :

1. On écrit la fonction f :

On a :

f (x)  3

 e 





  ^

^

xlim f x xlim e ^

     car _x

^{lim x} 

^{x ln 3}  et lim e



  

 



  ^

^

xlim f x xlim e ^ 0

    car _x

^{lim x} 

^{x ln 3}  et lim e

0



  



3. Dérivée :

On a : ^{df '(x)}_^e





 

 

^

^

 ^

^ 

^

^