III... Pro. Benmoussa Med

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Niveau : TRONC COMMUN - Cours

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I I I . . .

Projection d’un point sur une droite parallèlement à une autre droite a. Activité :

1.

Que représente le point M ' pour le point M par rapport aux droites

    ^{D et }

^?

2.

Que représente le point M₁ pour le point M par rapport aux droites

    ^{D et }

^?

b. Vocabulaire :

 Le point M ' est appelé projection du point M sur

  ^D

parallèlement à la droite

  ^

^.

 La droite

  ^

est appelé la direction de la projection .

 Le point M₁ est appelé projection du point M sur

  ^

parallèlement à la droite

  ^D

^.

c. Définition :



    ^{D et }

sont deux droites sécantes en O .

 M est un point du plan

  ^P

^.

 La droite qui passe par le point M et parallèle à la droite

  ^

coupe la droite

  ^D

en un point M ' est appelé la projection du point Msur

  ^D

parallèlement à la droite

  ^

^.

d. Remarques :

 La relation qui relie tout point M du plan

  ^P

on associe un point unique M 'de

  ^P

; cette relation on le note par p ou q ..

 Cette relation on la schématise de la façon suivante

   

 

p : P P

M p M M '



 ^.



^{p M}   ^{ M'}

; On dit que M a pour image le point M ' par la projection p .( ou bien M ' est l’image

de M par rapport à la projection p . e. Exercice :

La projection sur un axe :



    ^{D et }

sont deux droites sécantes en O rapportés respectivement aux repères



^O,OA

 ^et 

^O,OB



.

 Le point M ' est la projection du point Msur

  ^D

parallèlement à la droite

  ^

^{. On a}

^{OM'  xOA}

avec x est l’abscisse du

point M ' par rapport au repère



^O,OA



 Le point M₁ est la projection du point Msur

  ^

parallèlement à la droite

  ^D

^{. On a}

OM

1

 yOB avec x est l’abscisse du

point M ' par rapport au repère



^O,OA



1.

Montrer que : OMxOAyOB

.

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f. Cas particulier :

 Si

    ^{  D}

, le point M ' est appelé la projection orthogonale de M sur la droite

  ^D

^.

 La relation p est appelé la projection orthogonale dans le plan

  ^P

^.

 Si

    ^{  D}

La relation p est appelé projection oblique ou simplement projection .

I I I I I I . . .

Exprimons théorème de Thales et la réciproque du théorème de Thales en utilisons la projection : a. Activité :

1.

Enoncé le théorème direct de Thales puis l’exprimer en utilisant la projection .

2.

Enoncé le théorème réciproque de Thales puis l’exprimer en utilisant la projection . b. théorème direct de Thales :

   

   

1 2 sont deux droites sécantes en O Soient A et B deux points distincts de de O Soient deux points de distincts de O D et D

OB OB ' BB ' alors

OA OA ' AA ' A ' et B '

AA ' /

les droites / BB '

 

  









 

théorème direct de Thales exprimer en utilisant la projection :

   

   

 

sont deux droites sécantes à une troisième droite.

trois points distincts alignés tel que AB n'est pas parallèle à

leurs

D et

p A et

rojec B et

tions C

A ' et B' e t C' respectivement sur D par al





 

  

AC A 'C' alors

lèleme

AB A 'B' nt à

 

 

  

c. théorème réciproque de Thales :

   

 

     

BB' / / CC'

sont deux droites sécantes en A.

trois points de

sont trois points de dans le même ordre que

A et B et C sont A ' et B ' et C'

A et B D et

D

alors

AC AC'

AB AB '

et C







 

 

 

 

 

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théorème réciproque de Thales exprimer en utilisant la projection :

   

 

   

sont deux droites sécantes

trois points distincts et non alignés du plan

A et B et C

A ' et B ' sont les projections de A et respectivement sur parallèleme

B nt

D et

P

D à .

C est un poi













  alors C'est la prjection de C    

sur D A '

parallèlement à nt de D tel que sont dans

le même

A ' et B ' e

ord C' AC

A 'B ' AB t C' A et B et C

re e d e t

 

 

  

 

 

 

I I I I I I I I I . . .

Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs : a. Activité :

On considère la figure ci-contre :

1.

Construire

G '

la projection de

G

sur

  ^D

parallèlement à la droite

  ^

^.

2.

Ecrire

AG

en fonction de AB .Puis

A'G '

en fonction de A'B'.

3.

Ecrire AB en fonction de

CD

.Puis A'B' en fonction de

C'D'

.

4.

Donner la propriété :

b. Propriété :

   

 

   

A et B et C et D et I A ' et B ' et C' et D' et I'

sont deux droites sécantes

sont des points plan

sont leurs projections

respectivement sur parallèlement D et

P

D à

CD k B

. A

 











 

 

C

I' est le milieu de A 'B '

I est le mil

alor ' D' k A 'B '

ieu d

s

e AB

 

  

 

 

 







 

 



c. Remarque :

 Dans l’écriture

CD



kAB

le nombre k s’appelle le coefficient de colinéarité des vecteurs

CD et AB

.

 Dans la propriété

si CD



kAB alors C'D'



kA'B'

on dit la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs