IIIIII... III... Pro. Benmoussa Med

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I I. I . .

 Une fonction F est une primitive d’une fonction f définie sur un intervalle I si ^{ }

^{x I : F' x}  

^{f (x)}

b. Exemple :

 Fonction primitive de la fonction

^{f x}   ^{ 4x  2}

^{F : x   x² 3x}

 Fonction primitive de la fonction

^{f x}   ^{ cos x}

^{F x}   ^{  3 sin x}

c. Propriété :

 Toute fonction continue sur un intervalle I admet une fonction primitive sur I .

d. Propriété :

F est une primitive d’une fonction f définie sur un intervalle I

 Toute fonction primitive

G

^{G x}  

F(x) c ; c





e. Exemple :

Les fonctions primitives de la fonction

^{f x}   ^{ 4x  2}

^{F x}   ^{ x²  3x c }

^{c }

f. Propriété :

F est une primitive d’une fonction f définie sur un intervalle I

0 0

x I et y  ; il existe une seule fonction primitive G defqui vérifie la condition

G x  

y

g. Exemple :

Déterminer la fonction primitive de f (x)x³2x3qui prend la valeur 0 ( zéro ) en 1. Les primitives de f sont de la forme

^{F x}   ^{1 x}

^x

^{3x c ; c}

 4    

^F   ^{1 0 1}     ¹

¹

³   ^{1 c 0}

   4        

1

4 c 0

    4

15

c 4

 

Conclusion : La fonction primitive de f (x)x³2x3qui prend la valeur 0 ( zéro ) en 1est :

  ¹

¹⁵

G x x x 3x

4 4

   

I II I I I . . .

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a. Propriété :

Fet Gsont les primitives respectivement de f et g sur I on a :

 F G est une primitive de f g .

 F est une primitive de 

f

b. Exemple :

Soient

^{f x}    3x et g x    cos x  

^{F x}   ^{ 6x}

^{ c}

 

G x  sin x c' 

c et c' 

I II I I I I I I . . .

Fonction h H primitive de h Fonction f F primitives de f

(c )

h = f ' + g ' H = f + g f(x) = 0 F(x) = c

h   f ' H   f

h = f ' g + f g ' H = fg f(x) = x

1

F(x) = x + c 2

2

h = - g ' g

H = 1

g



 

 1

F(x) = x + c n + 1

2

f ' g - f g '

h = g

  f

H = g



 

 1

F(x) = x + c r + 1

h = f ' f 

n   1

1

H = f

n + 1

f(x) = 1

x

h = f ' f 

r   1

1

H = f

r + 1

h = f ' g' f H = g f f(x) = sin(ax + b)

a  0 1

F(x) = - cos(ax + b) + c a

 

h = f ' ax + b a  0

 

a f(x) = cos(x) F(x) = sin(x) + c

f(x) = cos(ax + b)

a  0 1

F(x) = sin(ax + b) + c a

2

2

f(x) = 1 + tan (x) = 1

cos x

 

f ' x f(x) =

f(x) F(x) = 2 f(x) + c

2

f(x) = 1 x

F(x) = - 1 + c

x