III... Pro. Benmoussa Med

(1)

- 1 -

I I I . . .

Orientation d’un plan – le cercle trigonométrique – abscisses curvilignes :– égalité de deux polynômes : A. Orientation d’un plan:

a. Activité :

 On considère le plan

  ^P

; O est un point de

  ^P

^et

  ^C

est un cercle de centre O et de rayon r .

 On prend le point I de

  ^C

tel que la demi droite

 ^{O, I} 

est horizontale et dirigée vers la droite .

 On construit un point M de

  ^C

à partir de M on a de sens pour arriver à I, un sens est celui de la rotation des aiguilles du montre l’autre sens est le contraire de la rotation des aiguilles du montre.

 On choisit comme sens positif le sens contraire de la rotation des aiguilles du montre , on le note par



.

 On choisit comme sens négatif le sens de la rotation des aiguilles du montre , on le note par



. b. Vocabulaire :

 On dit que le cercle est muni d’un origine I .

 On dit que le cercle est orienté positif ou direct qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles du montre .

 Si tous les cercles du plan sont orientés d’une orientation positive on dit que le plan est orienté positif ( ou direct )

B. le cercle trigonométrique : a. Définition :

Tout cercle

  ^C

^{du plan}

  ^P

possède :

 son rayon est r1

 muni d’un origine I .

 orienté positif .

ce cercle

  ^C

est appelé cercle trigonométrique . b. remarque :

si le plan

  ^P

est rapporté a un repère orthonormé

 ^O,OI,OJ 

et O est le centre du cercle   C et le point J est placé dans le sens positif . on dit que le cercle trigonométrique   ^C

lié au repère

orthonormé

 ^O,OI,OJ    ^ ^{0,i, j}

( avec

OIi et OJj

) .

Pour toutes les paragraphes qui nous reste : le cercle

  ^C

est le cercle trigonométrique d’origine I et son centre est le point O .

C. Abscisses curvilignes : a. Activité :

 On a : le périmètre du

cercle trigonométrique   ^{C est}

^p       ^2r ^{2 1} ²

.

 M est un point de

  ^C

tel que l’arc géométrique

 IM 

 

sa longueur est



( avec

0     2

) .

(2)

- 2 -

 Si on roule autour du cercle un fil de longueur

   2

la première extrémité en I . 1. la position de la deuxième extrémité sur le cercle est en M

2. Même point M pour les fils de longueur

   4 et    6 ...

3. un fil de longueur

   2

on le coupe en deux morceaux un de longueur



l’autre

2

. pour le fil de longueur



à partir de I dans le sens positif 2^ième extrémité sera en M et à partir de M on place la 1^ère extrémité du deuxième fil on cherche en allant dans le sens négatif la position du deuxième extrémité du fil sera aussi en M dans ce cas on écrit

   2

de même pour

4 et 6 ...

     

on obtient le même point M . b. Vocabulaire :

Les nombres

...    6 et    4 et    2 et et     4 et    6 ...

on les notes par 2k ; k

    ces nombres sont appelés abscisses curvilignes du point M on les note

^M 

^{ }^2k



^ou

simplement par

M

 _ . c. Définition :

 2k 

M

_{ } est un point de

  ^C

il existe un et un seul abscisse curviligne de M qui appartienne à

 ^{ } ^, 

^{( c.à.d.}

       ^2k

) cet abscisse est appelé abscisse curviligne principal de M d. Remarque :

 Si Mest situé sur le demi cercle « supérieure »

la mesure principale appartienne à   ^0, ^ ^.

 Si non

la mesure principale appartienne à  ^ ^{, 0}  ^.



Les abscisses curvilignes de

I

sont 0 2k    2k  donc d’où l’abscisse curviligne principale de

I

est 0 ( zéro ) .



Les abscisses curvilignes de J sont 2k 2

   donc d’où l’abscisse curviligne principale de J est 2





Les abscisses curvilignes de

I '

sont    2k donc d’où l’abscisse curviligne principale de

I '

est  .



Les abscisses curvilignes de J sont

2k 2

 

donc d’où l’abscisse curviligne principale de J ' est 2



e. Exercice :

Donner les abscisses curvilignes des points de la figure .

I I I I I I . . .

Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls : A. Radian – grade :

a. Définition :

A et B

deux points du cercle trigonométrique

  ^C

d’origine I et son centre est le point O .La longueur de l’arc géométrique

 AB 

 

^{est 1 .}

 l’angle de sommet O et qui intercepte l’arc

 AB 

 

on dit que sa mesure est : 1 radian on note 1 rad . On a :

180 = rad et 90 rad ....

2    

.

(3)

- 3 - b. Remarque :

 Il existe une autre unité de mesure des angles , on l’appelle grade

on la note par gr tel que 180 = rad 200gr et

90 rad 100 gr 2

   

.

 Si un angle sa mesure est

x et y et z

respectivement en degré et radian et grade alors

x y z 180 =  200



c. Exercice :

1. Exprimer en radian et en grade la mesure suivante :

60

. 2. Exprimer en radian et en degré la mesure suivante : 150 gr .

B. Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites : a. Définition :

Soit



OA et OB

   deux demi droites

du plan

  ^P

tel que :

A  0 et B  O

. Le couple

 

^{OA , OB}

   

est appelé l’angle orienté du demi-droites on le note

 ^OA,OB 

^.

b. Remarque :

Le couple

 

^{OB , OA}

   

détermine un autre angle orienté , on le note

 ^OB,OA 

qui différent de l’angle

 ^OA,OB 

^.

c. Angles déterminer par deux demi droites :

On considère dans le plan

  ^P

deux points A et B puis le cercle trigonométrique

  ^C

de centre O . tel que :

A  0 et B  O

.

Les deux demi-droites



OA et OB

  

coupent

  ^C

respectivement en

A'

_{ }_

et B'

_{ }_ tel que leurs abscisses curvilignes sont  et  on a :

 Les mesures de l’angle orienté

 ^OA,OB 

sont les nombres réels   - +2k ; k  on note :

 ^OA,OB  ^{   } ² ^{ } ^

ou encore

 ^OA,OB  ^{   } ^{+2k ; k} ^ ^

^.

On lit : mesures de l’angle orienté

 ^OA,OB 

congrue à    modulo

2

.

 La mesure qui vérifie



^{  }^+2k^{   }

 

^,

 s’appelle la mesure principale

de l’angle orienté

 ^OA,OB 

^.

(4)

- 4 - d. Exemple :

On donne la mesure principale de

 ^OA,OB  ^ ¹⁵ ₄ ^ ² ^{ } ^ ^.

1^ière méthode : On a :

15 16 1

4 4 2 4

       

on a :

 ^, 

4     

d’où la mesure principale est

4  

. 2^ième méthode :

Puisque on a une mesure est

15 4



donc toutes les mesures sont de la forme

15 2k ; k 4

   

Donc la mesure principale vérifie la condition suivante :

¹⁵ ^2k  ^, 

4      

 

15 15

2k , 2k

4 4

1 15 2k 1 4

1 15 1 15

1 k 1

2 4 2 4

19 11 19

k 2, 375 1, 375 et

8 8 8

 

           

    

   

       

   

        11

1, 375 8

  

 

 

Puisque k on obtient k 2

e. Propriété :

le plan

  ^P

est orienté positif , O est un point de

  ^P

^.

soient

 OA et OB et OC     

trois demi-droites de

  ^P

on a :



 ^OA,OA  ^ ^{0 2} ^{ } ^ ^.



 ^OA,OB   ^{ } ^{OB,OA 2}  ^{ } ^ ^.



 ^OA,OB   ^ ^OB,OC   ^ ^{OA,OC 2}  ^{ } ^ ( relation de shale )

2 Angle déterminer par deux vecteurs non nuls :

(5)

- 5 - a. Définitions :

le plan

  ^P

est orienté positif , O est un point de

  ^P

^.

Soient

u et v

deux vecteurs non nuls de

  ^P

^.

soient A et B deux points de

  ^P

tel que :

u  OA et v  OB

.

 l’angle orienté des vecteurs

u et v

est l’angle orienté

 ^OA,OB 

( c.à.d. des deux demi-droites



^OA

 ^et

 ^{OB ,} 

on le note

  ^{u, v}

^.

 Les mesures de l’angle orienté

 ^OA,OB 

sont appelées les mesures de l’angle orienté

  u, v on note  

^{u, v}

 On a :

  ^{u, v} ^ ^ ^{OA,OB 2} ^ ^{ } ^

^.

 La mesure de l’angle orienté

  u, v qui appartienne à  ^{ } ^,  est appelée la mesure principale de

  ^{u, v .}

b. Propriété :

le plan

  ^P

est orienté positif .

Soient

u et v et w

trois vecteurs non nuls de

  ^P

^{. on a :}



 

^u,u ^^{0 2}

^{ }

^ ^{( ou bien}

    ^u,u  u,u +2k ; k  ^  ^

)



   

^{u, v} ^{ } ^{v,u 2}

^{ }

^

^{( ou bien}

    ^{u, v}   v,u +2k ; k  ^  ^

)



      ^{u, v} ^ ^{v, w} ^ ^{u, w 2} ^{ } ^

( ou bien

      ^{u, v}  ^{v, w}  u, w +2k ; k  ^  ^

) .

I I I I I I I I I . . .

Lignes trigonométriques du réel x : a. Activité :

 le plan

  ^P

est rapporté a un repère orthonormé direct

 

^{0, i, j}

.O est le centre du cercle   ^{C est le}

cercle trigonométrique d’origine

I

( et de centre O ) lié repère au  

^{0, i, j}

^{tel que}

^OI^^{i et OJ}^^j

et

OI ' i et OJ ' j

.

Remarque :

Soit le point M

_{ }_x

un point de   C ( x est une abscisse curviligne de M ) ( voir figure )

d’où    ^i,OM ^ ^{OI,OM 2}  ^{ } ^

(6)

- 6 -

donc   ^i,OM ^{ } ^{x 0 2} ^{ } ^ ^{d’ou :}  

^i,OM ^{x 2}

^{ }

 ou bien i,OM

 

  x 2k ; k

.

on pose

^{M c,s}  

par rapport au repère orthonormé direct

 

^{0, i, j}

 Le point

^{C c, 0}  

est la projection orthogonale de M sur la droite

  ^OI

. ( sachant que

^C ^   ^{I ', I}

⁾

^.

^{( avec}

c  OC

si

c  0

;

c   OC

si

c  0

)

 Le point

^{S 0,s}  

est la projection orthogonale de M sur la droite

  ^OJ

. ( sachant que

^S ^  ^{J', J} 

) . ( avec

s  OS

si

s  0

;

s   OS

si

s  0

)

 Soit la droite

  ^T

tangente au cercle

  ^C

^en^I , coupe la demi-droite



^OM

 ^{au point}

^T

( condition

MJ et MJ '

donc condition sur les abscisse curvilignes de M doit vérifier x k ; k

2      )

 la droite

  ^T

est muni du repère

  I, i d’où le point

T

a pour abscisse sur l’axe   ^T

le réel t . ( avec

t  OT

si

t  0

;

t   OT

si

t  0

) .

b. Vocabulaire :

( x est l’abscisse curviligne du point

^M ^   ^C

⁾

 L’abscisse

c

de M est appelée le cosinus du réel x . on note

cos x

d’où ^{cos x}^^{cos i,OM}

 

^^c

^.

 L’ordonnée

s

de M est appelée le sinus du réel x . on note

sin x

d’où ^{sin x}^^{sin i,OM}

 

^^s

^.

 L’abscisse tde M par rapport à l’axe ( droite )

  ^T

  ^C

^en^I est appelée la tangente du réel x . on note tanx d’où ^tanx^^{tan i,OM}

 

^^t

^.

(7)

- 7 - c. Définition :

x est une abscisse curviligne du point ^M_{ }_x ^

 

^C ^{tel que}

  C est le cercle trigonométrique d’origine

I

lié au repère

orthonormé

 

^{0, i, j}

^. ^{M c,s} ^{ }

par rapport au repère orthonormé direct

 

^{0, i, j}

^.



Le réel c ( abscisse de M ) est appelé le sinus du réel x , on note cos x

d’où ^{cos x}^^{cos i,OM}

 

^^c



Le réel s ( ordonnée de M ) est appelé le cosinus du réel x , on note sin x  s

d’où

 

sin xsin i,OM s

.



Le réel

t

( abscisse du point

T

) est appelé le cosinus du réel x , on note

on note tanx d’où ^tanx^^{tan i,OM}

 

^^t

. ( sachant

la droite

  ^T

  ^C

ênÎêt

^{du point}

^T

^avec   ^T  ^OM    ^ ^T

^{) .}

d. Conséquences :



 ^{cos x}  

²

^ ^{sin x} 

²

^ ¹ pour tout x de .

  1 cos x1

et

 1 sin x1

pour tout x de .

 ^{cos x}



^^2k^{ }



^{cos x}^et^{sin x}



^^2k^{ }



^{sin x}

pour tout x de .

 tan x ^{sin x} cos x

 et ² 1₂

1 tan x

cos x

 

pour tout x k

2     tel que k  .

I I I V V V . . .

Signe de sin x et cos x et tan x : a. Quadrant d’un cercle :

 on divise le cercle en quatre arcs de même longueur A partir de I vers J (suivant le sens positif ) .

 x est une abscisse curviligne du point ^M_{ }_x ^

 

^C ^.

 le 1^er arc IJ ( à partir de I vers J ) si

M

_{ }_x

 IJ

on dit que

M

_{ }_x est situé dans le premier quadrant .

 le 2^ième arc

JJ '

( à partir de

J

vers

J '

) si

M

_{ }_x

 JJ '

on dit que

M

_{ }_x est situé dans le deuxième quadrant

 le 3^ième arc J 'I' ( à partir de

J '

vers I')si

M

_{ }_x

 J 'I'

on dit que

M

_{ }_x est situé dans le troisième quadrant

 le 4^ième arc

I 'I

( à partir de

J

vers

J '

) si

M

_{ }_x

 I 'I

on dit que

M

_{ }_x est situé dans le quatrième quadrant b. signe des lignes trigonométriques suivant les quadrants :

Quadrant n° 4 Quadrant n° 3

Quadrant n° 2 Quadrant n° 1

 x

M

est situé au









sin x









cos x







 tan x

(8)

- 8 - c. signe des lignes trigonométriques graphiquement :

1. signe de cosinus et de sinus :

2. Signe de tangente :

V V V . . .

les lignes trigonométriques et les angles remarquables :

2 

3

 4

 6

 0

x

1 3 2 2 2 1

0

2

sin x

0

1 2 2 2 3 1 2

cos x

1 3 3

0

3 tan x

(9)

- 9 -

V V V I I I . . .

Relations entre les angles : a. Angles opposés : ( x et –x )

b. Angles supplémentaires : (  x et x ) Angles opposés supplémentaires : (  x et x )

c. Angles complémentaires : (

x et x 2

 

) Angles opposés complémentaires : (

x et x 2

 

)

d. Résumer des formules précédentes :

V V V I I I I I I . . .

EQUATIONS TRIGONOM2TRIQUES : Remarque :

 le plan

  ^P

est rapporté a un repère orthonormé direct

 

^{0, i, j}

^.

 

sin   x sin x

 

cos  x cos x

 

tan   x tan x

 

sin   x  sin x

 

cos   x   cos x

 

tan     x tan x

 

sin  x  sin x

 

cos  x  cos x

 

tan  x tan x

sin x sin x 2

    

 

  cos x cos x

2     

 

  tan x 1

2 tan x

    

 

 

sin x cos x 2

    

 

 

cos x sin x

2      

 

  tan x 1

2 tan x

 

   

 

 

2 x

 

2 x



  x

  x

 x



cos x cos x

sin x sin x 

sin x sin 

sin x sin x 

cos x

 cos x

cos

1 tan x

 1

tan x tan x

tan x tan x 

tan 

(10)

- 10 -



  C est le cercle trigonométrique d’origine

I

lié au repère  

^{0, i, j}

^{tel que}

^OI^^{i et OJ}^^j

^et

OI ' i et OJ ' j

.

A. Equations de la forme ^x^ ^{: cos x}^^{a ; a}



^



^:

a. Activité :

1. Construire sur le cercle les points M de

  ^C

^{tel que}

^{cos i,OM}   ^ ¹ ₂

^.

2. Déterminer pour chaque cas les abscisses curvilignes de M .

3. Déterminer pour chaque cas les mesures de l’angle orienté

 

^{i, OM}

^.

4. Que peut-on dire pour M de

  ^C

^{tel que}

^{cos i,OM}   ^ ³

^?

b. Conséquence : cos x 1

 2 équivaut à

cos x cos cos

3 3

 

 

équivaut à

x 2k

3 ou

x 2k

3     

 

  

    



d’où l’ensemble des solutions de l’équation

  ^E

^est

^S ^x ^{/ x} ^{2k , x} ^{2k / k}

3 3

 

 

           

 

^.

c. Propriété :

Soit x de et a un réel donné .

L’équation :

^x ^ ^{: cos x} ^ ^{a ; a}  ^ 

a pour solutions :

1^er cas :

^a ^{  }  ^{, 1}   ^1, ^ 

l’équation n’a pas de solution d’où

S  

( ensemble des solutions ) 2^ième cas :

^a ^{ }  ^1,1 

^{on a :}

^{cos x} ^ ^a

on cherche



de tel que

a  cos 

d’où :

cos x  a

équivaut à

cos x  cos 

équivaut à

x 2k

ou ; k

x 2k

   

 

    



ensemble des solutions de l’équation

  ^E

^est

^S ^  ^x ^ ^{/ x} ^{   } ^{2k , x} ^{   } ^{2k / k} ^ 

^.

Cas particulier :



a  0

  ^E

^{est :}

^s ^{k / k}

2   

     

 

^.



a  1

  ^E

^{est :}

^s ^  ^{2k / k} ^ ^ 

^.



a   1

  ^E

^{est :}

^s ^{   }  ^{2k / k} ^ 

^.

(11)

- 11 - d. Exercice :

Résoudre l’équation suivante : 1.

 

E1 : x / cos x cos

4

  

.

2.

 

2

E : x / cos x 3

  2

.

3.

 

3

 

E : x / cos 2x 1

  2

.

B. Equations de la forme ^x^ ^{: sinx}^^{a ; a}



^



^:

a. Activité :

5. Construire sur le cercle les points M de

  ^C

^{tel que}^{sin i,OM}

 

^ ₂³^.

6. Déterminer pour chaque cas les abscisses curvilignes de M .

7. Déterminer pour chaque cas les mesures de l’angle orienté

 

^{i, OM}

^.

  ^C

^{tel que}

^{sin i,OM}   ^{ } ⁵

^?

b. Conséquence : sin x 2

 2 équivaut à

3 3

sin x sin sin ;

4 4 4 4

     

      

 

équivaut à

x 2k

4 ou ; k

x 2k 3 2k

4 4

    

 

 

  

        



d’où l’ensemble des solutions de l’équation

  ^E

^est

S x / x 2k , x 3 2k / k

4 4

 

 

          

 

^.

L’équation :

^x ^ ^{: cos x} ^ ^{a ; a}  ^ 

a pour solutions :

1^er cas :

^a ^{  }  ^{, 1}   ^1, ^ 

l’équation n’a pas de solution d’où

S  

( ensemble des solutions ) 2^ième cas :

^a ^{ }  ^1,1 

^{on a :}

^{cos x} ^ ^a

on cherche



de tel que

a  sin 

d’où :

sin x  a

équivaut à

sin x  sin 

équivaut à

x 2k

ou ; k

x 2k

   

 

      



  ^E

^est

^S ^  ^x ^ ^{/ x} ^{   } ^{2k , x}       ^{2k / k}  

.

(12)

- 12 - d. Cas particulier :



a  0

  ^E

^{est :}

^s ^{k / k}

2   

     

 

^.



a  1

ensemble des solutions de l’équation est :

^s ^  ^{2k / k} ^ ^ 

^.

a   1

ensemble des solutions de l’équation est :

^s ^{   }  ^{2k / k} ^ 

^.

e. Exercice :

Résoudre l’équation suivante : 1.

 

1

E : x / sin x 1

  2

.

2.

 

E2 : x / sin x1

.

3.

 

3

E : x / sin 2x 1

4 2

 

   

.

4.

  E

4

: x  / sin x  cos x

.

C. Equations de la forme ^x^ ^{: tanx}^^{a ; a}



^



^:

a. Activité :

 Il faut au départ déterminer l’ensemble de définition de l’inéquation

x k , k 2

      

 

 

 Soit la droite

  ^T

  ^C

^en^I , coupe la demi-droite



^OM

 ^{au point}

^T

( condition

MJ et MJ '

) .

 la droite

  ^T

est muni du repère

  ^{I, i}

1. Déterminer la condition sur x pour tan(x) est définie .

2. Construire sur la droite

  ^T

^le

^point

^T tel que :

^{tan i,OT}   ^ ¹ ₂

^.

3. Construire sur le cercle les points M intersection de la droite

  ^OT

et le cercle

  ^C

^.

4. Déterminer pour chaque cas les abscisses curvilignes de M . 5. Peut-on écrire les abscisses curvilignes de M d’une façon simple ? 6. Déterminer les mesures de l’angle orienté

 

^{i, OM}

^.

  ^C

^{tel que}

^{tan i,OM}   ^{ } ⁵

^?

b. Conséquence : Avec

x k , k

2     

tan x 1

 2 équivaut à

tan x tan tan

6 6

   

     

 

  ^E

(13)

- 13 - équivaut à

x 2k

6 ou ; k

x 2k

6     

 

 

 

     



équivaut à

x k / k 6

    

conclusion : d’où l’ensemble des solutions de l’équation

  ^E

^est

^S ^x ^{/ x} ^{k / k}

6   

       

 

^.

L’équation :

^x ^ ^{: tanx} ^ ^{a ; a}  ^ 

a pour solutions : Ensemble de définition de l’équation

  ^E

^est

^\ ^{k ; k}

2      

 

 

^(c.à.d.

x k ; k

2     

)

On a : tan xa on cherche



de tel que atan d’où : tan xa équivaut à tan xtan

équivaut à x  2k ; k 

  ^E

^est

^S ^  ^x ^ ^{/ x} ^{   } ^{k / k} ^ 

^avec^a^^tan^

d. Exercice :

Déterminer l’ensemble de définition de l’équation suivantes puis résoudre ces équations : 1.

 

E1 : x / tan x 3

.

2.

 

E2 : x / tan x0

.

3.

 

E3 : x / tan 2x 1 4

 

    

.

V V V I I I I I I I I I . . .

Inéquations trigonométriques dans K( avec Kest un intervalle de : A. xK ; cos xaou xK ; cos xa ou xK ; cos xa ou xK ; cos xa.

a. Remarques préliminaires :

 Il n’y a pas de règle générale .

 Nous allons toujours nous servir d’une illustration sur le cercle trigonométrique .



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^tel

que

et

OI ' i et OJ ' j

.

 le premier tour de cercle à partir de son origine Idans le sens positif ( antihoraire d’une montre ) représente l’intervalle

 ^{0, 2} 

( intervalle fermée présente un tour du cercle et un point qui est I) , le 2^ième tour représente l’intervalle

 ^{2 , 4} ^{ } 

^…etc.…

(14)

- 14 -

 premier tour de cercle à partir de son origine Idans le sens négatif (horaire d’une montre ) représente l’intervalle

 ^{ } ^{2 , 0} 

( intervalle fermée présente un tour du cercle et un point qui est I) , le 2^ième tour représente l’intervalle

 ^{   } ^{4 , 2} 

^…etc.…

 on trace la droite d’équation

  ^{D : x} ^ ^a

( parallèle à l’axe des ordonnées ou à l’axe de « sinus » .

 on trace la partie

 

^S du segment

 

^{I ', I} ^{tel que}

leurs abscisses vérifient la condition suivante :

 abscisses a pour l’inéquation xK ; cos xa . abscisses

 a

pour l’inéquation xK ; cos xa.

 abscisses a pour l’inéquation xK ; cos xa . abscisses

 a

pour l’inéquation xK ; cos xa.

 On détermine tous les points

M

_{ }_ du cercle dont leurs projections appartiennent à

 

^S ^{. (}

^

abscisses curvilignes de M ) .

 Finalement l’ensemble des solutions de l’inéquation c’est l’ensembles des



qui appartiennent à K.

Remarque : Pour certaines inéquations en utilise d’autres méthodes . b. Exemple n° 1 :

1. Résoudre l’inéquation suivante :

 

1

 

E x 0, 2 ; cos x 1

   2

.

2. En déduit l’ensembles des solutions de l’inéquation suivante :

 

2

 

E x 0, 4 ; cos x 1

   2

. 3. En déduit l’ensembles des solutions de l’inéquation suivante :

  

3



E x 2 , 0 ; cos x 1

    2

. Correction :

1. On résout l’inéquation

 

1

 

E x 0, 2 ; cos x 1

   2



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^.



On construit la droite   ^{D : x} ¹

 2 ( parallèle à l’axe des ordonnées )



On trace la partie   ^{S de}   ^{I 'I}

( qui vérifie les abscisses 1

 2 ) .

(15)

- 15 - Conclusion :

1. L’ensemble des solutions de

  E

1 est : ₁

5 S , 2 ,

3 3 3 3

   

   

           

2. En déduit l’ensembles des solutions de l’inéquation

  E

2 est ₂ 5 5 7 11

S , 2 , 2 ,

3 3 3 3 3 3

     

         

     

     

  E

3 est :

3

5 5 7 11

S , 2 , 2 ,

3 3 3 3 3 3

       

              c. Exemple n° 2 :

 

1

 

E x 0, 2 ; cos x 1

   2

.

 

2

 

E x 0, 4 ; cos x 1

   2

  

3



E x 2 , 0 ; cos x 1

    2

. Correction :

 

1

 

E x 0, 2 ; cos x 1

   2



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^.



On construit la droite   ^{D : x} ¹

 2 ( parallèle à l’axe des ordonnées )



On trace la partie   ^{S de}   I 'I ( qui vérifie les abscisses 1

 2 ) .

(16)

  E

1 est : ₁

5 S 0, , 2

3 3

 

   

         

  E

2 est

S2

5 5

0, , 2 0 2 , 2 2 , 2 2

3 3 3 3

5 7 11

0, , 2 2 , , 4

3 3 3 3



                                                 

               

                           

  E

3 est :

S3 5 5

0 2 , 2 2 , 2 2 2 , , 0

3 3 3 3

                       

B. xK ; sinxaou xK ; sinxa ou xK ; sinxa ou xK ; sinxa. a. Remarques préliminaires :



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^tel

que

et

OI ' i et OJ ' j

.

 le premier tour de cercle à partir de son origine Idans le sens positif ( antihoraire d’une montre ) représente l’intervalle

 ^{0, 2} 

( intervalle fermée présente un tour du cercle et un point qui est I) , le 2^ième tour représente l’intervalle

 ^{2 , 4} ^{ } 

^…etc.…

 premier tour de cercle à partir de son origine Idans le sens négatif (horaire d’une montre ) représente l’intervalle

 ^{ } ^{2 , 0} 

( intervalle fermée présente un tour du cercle et un point qui est I) , le 2^ième tour représente l’intervalle

 ^{   } ^{4 , 2} 

^…etc.…

 on trace la droite d’équation

 

^ ^{: y}^^a ( parallèle à l’axe des ordonnées ou à l’axe de « cosinus » .

 

^{S '} du segment



^{J', J}



^{tel que}

leurs ordonnées qui vérifient la condition suivante :

 ordonnées a pour l’inéquation xK ; cos xa . ordonnées

 a

 ordonnées a pour l’inéquation xK ; cos xa . ordonnées

 a

M

_{ }_ du cercle dont leurs projections appartiennent à

 

^{S '} ^{. (}

^

abscisses curvilignes de M ) .



qui appartiennent à K.

 Remarque : Pour certaines inéquations en utilise d’autres méthodes . b. Exemple :

 

1

 

E x 0, 2 ; sinx 3

   2

.

(17)

- 17 -

 

2

 

E x 0, 4 ; sinx 3

   2

.

  

3



E x 2 , 0 ; sinx 3

    2

 

4

 

E x , ; sinx 3

    2

. Correction :

 

1

 

E x 0, 2 ; sinx 3

   2



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^.



On construit la droite   ^{D : y} ³

 2 ( parallèle à l’axe des abscisses )



On trace la partie  

^{S '}

^de  

^J'J

( qui vérifie les ordonnées 3

 2 ) .

Conclusion :

L’ensemble des solutions de

  E

1 est : ₁

2 S 0, , 2

3 3

 

   

         

  E

2 est

S2 2 2

0, , 2 0 2 , 2 2 , 2 2

3 3 3 3

2 7 8

0, , 2 2 , , 4

3 3 3 3

2 7 8

0, , , 4

3 3 3 3

                     

         

            

   

     

        

(18)

- 18 -

Conclusion : L’ensemble des solutions de

  E

1 est : ₂

2 7 8

S 0, , , 4

3 3 3 3

   

     

              

^. 3. En déduit l’ensembles des solutions de l’inéquation

  E

3 est :

S3 2 5 4

0 2 , 2 2 , 2 2 2 , , 0

3 3 3 3

                         ^. Conclusion : L’ensemble des solutions de

  E

1 est : ₃

5 4

S 2 , , 0

3 3

   

   

          

^.

 

4

 

E x , ; sinx 3

    2

.

       

 

 

4 1 3

S S 0, S , 0

0, 2 , , 0

3 3

, 2 ,

3 3

  

       

              

 

   

          

Conclusion : L’ensemble des solutions de

  E

1 est : ₄

2 S , ,

3 3

 

   

          

^. C. xK ; tanxaou xK ; tanxa ou xK ; tanxa ou xK ; tanxa.

a. Remarques préliminaires :



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^tel

que

et

OI ' i et OJ ' j

.

 le premier demi-tour de cercle à partir de son origine Idans le sens positif ( antihoraire d’une montre ) représente l’intervalle

  ^0,

( intervalle fermée présente un tour du cercle et un point qui est I) , le 3^ième demi-tour représente l’intervalle

 ^{2 , 3} ^{ } 

…etc.…( car

^tan  ^{ } ^x  ^ ^{tan x}

⁾

 premier demi-tour de cercle à partir de son origine Idans le sens négatif (horaire d’une montre ) représente l’intervalle

 ^ ^{, 0} 

( intervalle fermée présente un tour du cercle et un point qui est I) , le 3^ième demi-tour représente l’intervalle

 ^{   } ^{4 , 3} 

^…etc.…

 on trace la droite

  

T tangente au cercle au point I( parallèle à l’axe des ordonnées ou à l’axe de

« sinus » ) tel que la droite

  

T est muni du repère

 

^{I, j} ^.

 

ST de la droite

  

T tel que

leurs abscisses ( par rapport

de la droite

  

T )

vérifient la condition suivante :

 abscisses a pour l’inéquation xK ; cos xa . abscisses

 a

 abscisses a pour l’inéquation xK ; cos xa . abscisses

 a

(19)

- 19 -

M

_{ }_ du cercle tel que la demi-droite

 ^OM 

coupe la partie

 

ST . (



abscisses curvilignes de M ) . ( on élimine

J et J '

)



qui appartiennent à K. Remarque :

 Il faut au départ déterminer l’ensemble de définition de l’inéquation

 Pour certaines inéquations en utilise d’autres méthodes . b. Exemple n° 1 :

 

1

 

E x 0, ; tanx 1

   2

.

 

2

 

E x 0, 2 ; tanx 1

   2

  

3



E x , 0 ; tanx 1

   2

. Correction :

 

1

 

E x 0, ; tanx 1

   2



On construit le cercle trigonométrique d’origine

I

  C lié au repère orthonormé repère  

^{0, i, j}

^.



On construit la droite   

T

tangente au cercle au point

I

l’origine du cercle ( parallèle à l’axe des ordonnées )



On trace la partie   S

T

de   

T

( qui vérifie les abscisses 1

 2 ) .



On cherche tous les points M

_{ }_

de   C tel que

la demi-droite

 ^OM 

coupe la partie

 

ST . (



abscisses curvilignes de M ) . ( on élimine

J et J '

)



(20)

  E

1 est :

S

₁

, 6 2

   

    

  E

2 est

S2 7 3

, , , ,

6 2 6 2 6 2 6 2

                 

En déduit l’ensembles des solutions de l’inéquation

  E

3 est :S₃ 5

, ,

6 2 6 2

         ^.

I I I X X X . . .

Exercices :

Résoudre les équations suivantes : 1.

 

1

 

E x 0, 2 ; cos x 1

12 2

  

       

^. On a :

 

x 2k

1 12 3

cos x cos ; k

12 2 3

x 2k

12 3

x 2k

4 ; k

x 5 2k

12  

    

   

         

     

         



     

        



Conclusion : l’ensemble des solution de l’équation dans est

5 S 2k ; 2k / k

4 12

 

 

        

 

On cherche les solutions qui appartiennent à



^{0, 2}



 Pour les solutions ₂

5 x 2k

12    

, on a :

   

5 5

2k 0, 2 0 2k 2 ; k

12 12

5 5

2k 2

12 12

1 19 5 1

k

2 12 12 2

19 5

k

24 24

            

     

 

           

   

Puisque k donc :

k  0

d’où : 2

 

5 5

x 2k 0, 2

12 12

 

     

Conclusion 1 : l’ensemble des solution de l’équation dans est

5 S 2k ; 2k / k

4 12

 

 

        

 

III... Pro. Benmoussa Med

I I I . . .

  P

  P

  C

  C

 O, I 

  C





  C

  P

  C

  P

 O,OI,OJ 

et O est le centre du cercle   C et le point J est placé dans le sens positif . on dit que le cercle trigonométrique   C

lié au repère

 O,OI,OJ     0,i, j

( avec

) .

  C

cercle trigonométrique   C est

.

  C

 IM 

 



0     2

   2

   4 et    6 ...

   2



2



   2

4 et 6 ...

     

...    6 et    4 et    2 et et     4 et    6 ...

M 



M

M

  C

   , 

       2k

la mesure principale appartienne à   0,  .

la mesure principale appartienne à   , 0  .

Les abscisses curvilignes de

sont 0 2k    2k  donc d’où l’abscisse curviligne principale de

est 0 ( zéro ) .

Les abscisses curvilignes de J sont 2k 2

   donc d’où l’abscisse curviligne principale de J est 2



Les abscisses curvilignes de

sont    2k donc d’où l’abscisse curviligne principale de

est  .

Les abscisses curvilignes de J sont

donc d’où l’abscisse curviligne principale de J ' est 2



I I I I I I . . .

A et B

  C

 AB 

 

 AB 

 

180 = rad et 90 rad ....

2

   

90 rad 100 gr 2

   

x et y et z

x y z 180 =  200



60



   deux demi droites

  P

A  0 et B  O

 

  ^P

  ^P

  ^C

  ^C

 ^{O, I} 

  ^C

  ^C

  ^P

  ^C

  ^P

 ^O,OI,OJ 

et O est le centre du cercle   C et le point J est placé dans le sens positif . on dit que le cercle trigonométrique   ^C

 ^O,OI,OJ    ^ ^{0,i, j}

  ^C

cercle trigonométrique   ^{C est}

  ^C

^M 

  ^C

 ^{ } ^, 

       ^2k

la mesure principale appartienne à   ^0, ^ ^.

la mesure principale appartienne à  ^ ^{, 0}  ^.

  ^C

  ^P

 ^OA,OB 

 ^OB,OA 

 ^OA,OB 

  ^P

  ^C

  ^C

 ^OA,OB 

 ^OA,OB  ^{   } ² ^{ } ^

 ^OA,OB  ^{   } ^{+2k ; k} ^ ^

 ^OA,OB 

 ^OA,OB 

 ^OA,OB  ^ ¹⁵ ₄ ^ ² ^{ } ^ ^.

 ^, 

¹⁵ ^2k  ^, 

  ^P

  ^P

  ^P

 ^OA,OA  ^ ^{0 2} ^{ } ^ ^.

 ^OA,OB   ^{ } ^{OB,OA 2}  ^{ } ^ ^.

 ^OA,OB   ^ ^OB,OC   ^ ^{OA,OC 2}  ^{ } ^ ( relation de shale )

  ^P

  ^P

  ^P

  ^P

 ^OA,OB 

 ^et

 ^{OB ,} 

  ^{u, v}

 ^OA,OB 

  ^{u, v} ^ ^ ^{OA,OB 2} ^ ^{ } ^

  u, v qui appartienne à  ^{ } ^,  est appelée la mesure principale de

  ^{u, v .}

  ^P

  ^P

^{ }