Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2019-2020 Semestre1

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Résumé de Cours PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS

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1)Ensembles de nombres.

a) L’ensemble des entiers naturels.

={0 ; 1 ; 2 ; ... ; n ; ...},

b) L’ensemble des entiers relatifs :

Tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs : ={... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } *= \{0} ( privé de 0) ;

c) L'ensemble des décimaux.

L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres Dits "à virgule". Cet ensemble est noté .

10 / ;

10

n n

Da ^  a a n 

 

d) L'ensemble des rationnels. :Les nombres rationnels sont les fractions de la forme p/q : a/ ;

a b

b

 

   

 

e) L'ensemble des réels. : Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels. Cet ensemble est noté .

Et on a :

   

D

IR⁺ désigne l’ensemble des réels positifs (avec zéro) IR^– désigne l ‘ensemble des réels négatifs (avec zéro)

2) opérations et règles de calcul dans l’ensemble des nombres réels :

a



et b



et c et d



et k



a b  b a ; ^{a  }



^{b c}

 

^{a b    }



^{c a b c}



a L’opposé de a

       

^{a a a}

 

^{a 0} et a   0 0 a a

 

a b

   

a b et

^{    } 

^{a b}



^{a b}

a b   b a abba et ^{a bc}

     

^{ ab c ac babc}

Si : _{a 0;a} ¹ ₁

 a  ¹

a l’inverse de a et ^a _a ¹ b b

 

k a b ka kb et ^{k a b}



^



^{ka kb}



^{a b c d}







^{ac ad} ^{bc bd} Si bd0 a c a c

b b b

   et ^{a c ad bc}

b d bd

   et

bd ac d c b a 

a c ad bc

b d bd

   et ^{a c ac}

b d bd et a ak k b b

; 0

a c ac

a bc

b b b

c

    et a

a d ad b

c b c bc d

  

Si on a : a b c d

 

  ^alors a c  b d

Si bd0 a c si et seulement si ad=bc b d

a 0

b ssi a0

3)Racine carrée :

a) a est un nombre positif. La racine carrée de a, notée a, est le nombre positif dont le carré est Égal à a.

b) soient aet bdeux nombres positifs ou nuls

 

^{a 2 a2 a}

 

^{a n a nn;  }

a b  ab

a ^ :x² asiet seulement si x a ou x a

4)Les Puissances :

a):a ^ et b et n ^

Le produit de n facteurs égaux à a et noté aⁿ et s’appelle la puissance n^-ième de a » ; n est appelé exposant

n

د د ع لاةر م

a    a a a a

Cas particulier : a¹a a; ⁰ 1

et on a : _n 1 a n

a

  En particulier : Pour a ≠ 0 a^-1 =1 a 10ⁿ 1000 0;

n

  n (n zéros)

10 ⁿ 0, 000 01;

n

   n (n zéros)

101



10 ; 10^10,1 ; 10^2 0, 01 ;10⁰



1

b)Propriétés des puissances : a ^ et b ^ et n ^ ; m ^

n n n

a a

b b

     ^{anbn }

 

^{ab n ;}

 

^{an manm ; an}

^

^am

^

^{an m ;} m^{n n m}

a a a

 

4) Écriture scientifique d’un nombre décimal

La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme



a10p

où a est un nombre décimal (



1a 10) et p un nombre entier relatif.

5) Identités remarquables :

a et b

1)



^{a b}



^{2 a22ab b 2 2)}



^{a b}



^{2a22ab b 2}

3) ^{a2b2 }



^{a b a b}



^



^{4) a3  b3}



^{a b a}

 

^{2 ab b2}



5) ^a3b3



^{a b a}

 

^{2ab b 2}



Somme de deux cubes 6)



^{a b}



^{3a33a b2 3ab2b3} Cube d'une Somme 7)



^{a b}



^{3a33a b2 3ab2b3} Cube d'une différence Ces formules sont pour développer et pour factoriser Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

; 0

a a

b b b

Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Factoriser c’est écrire sous la forme d'un produit