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Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

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Academic year: 2022

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(1)

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2019-2020 Semestre1

http://xriadiat.e-monsite.com

1

Résumé de Cours PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS

http://xriadiat.e-monsite.com

1)Ensembles de nombres.

a) L’ensemble des entiers naturels.

={0 ; 1 ; 2 ; ... ; n ; ...},

b) L’ensemble des entiers relatifs :

Tous les entiers qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs : ={... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } *= \{0} ( privé de 0) ;

c) L'ensemble des décimaux.

L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres Dits "à virgule". Cet ensemble est noté .

10 / ;

10

n n

Da a a n

d) L'ensemble des rationnels. :Les nombres rationnels sont les fractions de la forme p/q : a/ ;

a b

b

   

 

e) L'ensemble des réels. : Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels. Cet ensemble est noté .

Et on a :

   

D

IR+ désigne l’ensemble des réels positifs (avec zéro) IR désigne l ‘ensemble des réels négatifs (avec zéro)

2) opérations et règles de calcul dans l’ensemble des nombres réels :

a

et b

et c et d

et k

a b  b a ; a  

b c

 

a b    

c a b c

a L’opposé de a

       

a a a

 

a 0 et a   0 0 a a

 

a b

   

a b et

    

a b

a b

a b   b a abba et a bc

     

ab c ac babc

Si : a 0;a 1 1

a 1

a l’inverse de a et a a 1 b b

 

k a b ka kb et k a b

ka kb

a b c d



ac ad bc bd Si bd0 a c a c

b b b

   et a c ad bc

b d bd

   et

bd ac d c b a 

a c ad bc

b d bd

   et a c ac

b d bd et a ak k b b

; 0

a c ac

a bc

b b b

c

    et a

a d ad b

c b c bc d

  

Si on a : a b c d

 

  alors a c  b d

Si bd0 a c si et seulement si ad=bc bd

a 0

b ssi a0

3)Racine carrée :

a) a est un nombre positif. La racine carrée de a, notée a, est le nombre positif dont le carré est Égal à a.

b) soient aet bdeux nombres positifs ou nuls

 

a 2 a2 a

 

a n a nn;

abab

a :x2 asiet seulement si x a ou x a

4)Les Puissances :

a):a et b et n

Le produit de n facteurs égaux à a et noté an et s’appelle la puissance n-ième de a » ; n est appelé exposant

n

د د ع لاةر م

a    a a a a

Cas particulier : a1a a; 0 1

et on a : n 1 a n

a

En particulier : Pour a ≠ 0 a-1 =1 a 10n 1000 0;

n

  n (n zéros)

10 n 0, 000 01;

n

  n (n zéros)

101

10 ; 1010,1 ; 102 0, 01 ;100

1

b)Propriétés des puissances : a et b et n ; m

n n n

a a

b b

     anbn

 

ab n ;

 

an manm ; an

am

an m ; mn n m

a a a

4) Écriture scientifique d’un nombre décimal

La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme



a10p

où a est un nombre décimal (



1a 10) et p un nombre entier relatif.

5) Identités remarquables :

a et b

1)

a b

2 a22ab b 2 2)

a b

2a22ab b 2

3) a2b2

a b a b



4) a3  b3

a b a

 

2 ab b2

5) a3b3

a b a

 

2ab b 2

Somme de deux cubes 6)

a b

3a33a b2 3ab2b3 Cube d'une Somme 7)

a b

3a33a b2 3ab2b3 Cube d'une différence Ces formules sont pour développer et pour factoriser Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

; 0

a a

b b b

Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Factoriser c’est écrire sous la forme d'un produit

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