de nombres réels est sous-additive

Énoncé

Et si j'en achète plusieurs ? Combien pour chaque ?

I. Suites sous-additives

On dira qu'une suite (u n ) _n∈

N

de nombres réels est sous-additive

¹

si et seulement si :

∀(m, n) ∈ N

²

: u _m+n ≤ u _m + u _n

1. Quel est le rapport entre les suites sous-additives et la phrase citée au début de l'énoncé ?

2. Montrer que l'ensemble des valeurs d'une suite qui converge ou qui diverge vers +∞

est minoré.

3. Soit (a _n ) _n∈

N

une suite sous additive. On note A = n a n

n , n ∈ N

^∗

o

a. Soit n , q , r trois éléments de N, montrer que a qn+r ≤ qa n + a r .

b. Soit N ∈ N

^∗

xé. Pour tout n ∈ N, notons q n le quotient de la division entière de n par N . Justier la convergence des suites

max(a

₀

, a

₁

, · · · , a _N ) n

n∈

N^∗

,

q _n N n

n∈

N^∗

et préciser les limites.

c. On suppose que A n'est pas minoré.

Montrer que, pour tout réel E , il existe un entier n _E tel que a n

_E

n _E < E − 1 Montrer que ^a _n

ⁿ

n∈

N^∗

diverge vers −∞ .

d. (lemme de Feteke) On suppose que A est minoré, on note α sa borne inférieure.

Montrer que, pour tout ε > 0 , il existe un entier n ε tel que a _n

_ε

n ε

< α + ε 2 Montrer que ^a _n

ⁿ

n∈

N^∗

converge vers α .

1

D'après Problems and Theorems in Analysis. Pólya Szeg® Chapt 3 n 98-99

4. Soit (a n ) _n∈N une suite de nombres réels strictement positifs telle que

∀(m, n) ∈ N

²

, a _m+n ≤ a _m a _n

Montrer que a

1

n

n

n∈

N

est convergente. Préciser sa limite.

II. Pentes de A'Campo

Pour toute fonction λ de N dans N, on dénit une fonction d λ de N

²

dans Z par :

∀(m, n) ∈ N

²

, d λ (m, n) = λ(m + n) − λ(m) − λ(n)

On appelle pente

²

toute fonction λ de N dans N telle que l'ensemble D(λ) = d λ ( N

²

) des images par d λ soit ni.

1. Montrer qu'une fonction λ de N dans N est une pente si et seulement si d λ est une fonction bornée.

2. Soit j ∈ N, on dénit une fonction j de N dans N par j(n) = jn pour tout n de N.

Montrer que j est une pente. Que vaut D(j) ?

3. Pour tout réel y > 0 , on dénit de manière unique dye ∈ N par dye − 1 < y ≤ dye . Pour tout réel x > 0 , on dénit la fonction x de N dans N par :

∀n ∈ N , x(n) = dnxe

Montrer que D(x) est inclus dans un ensemble ni très simple à préciser. En déduire que x est une pente et que (x(n)) _n∈

N

est sous-additive.

4. On dénit la fonction ρ de N dans N par :

∀n ∈ N , ρ(n) = min

k ∈ N tq 2n

²

≤ k

²

Montrer que ρ est une pente.

5. On dénit la fonction polynomiale p dans R par p(x) = x

⁵

+ x − 3 et la fonction α de N dans N par

∀n ∈ N , α(n) = min

k ∈ N tq p( k n ) ≥ 0

Montrer que α est une pente.

2

d'après A natural construction for the real numbers A'Campo

III. Opérations et limites

1. Soit (u _n ) _n∈

N

une suite de nombres réels pour laquelle il existe des réels A et B tels que

∀(m, n) ∈ N

²

: A ≤ u m+n − u m − u n ≤ B On note

U = n u n

n , n ∈ N

^∗

o

U

₋

=

− A + u n

n , n ∈ N

^∗

U

+

=

B + u n

n , n ∈ N

^∗

a. Montrer que les suites (B + u n ) _n∈N et (−A − u n ) _n∈N sont sous-additives.

b. Montrer que U

+

est minoré. On note u = inf U

+

. c. Montrer que ^u _n

ⁿ

n∈

N^∗

converge vers u . 2. Soient λ une pente.

a. Montrer que _λ(n)

n

n∈N

^∗

converge. On note l(λ) sa limite.

b. Montrer que l(λ) ≥ 0 , montrer que si l(λ) > 0 alors (λ(n)) _n∈N diverge vers +∞ . 3. Soient λ et µ deux pentes. Montrer que λ + µ est une pente. Préciser l(λ + µ) . 4. Soient λ et µ deux pentes.

a. Pour (m, n) ∈ N

²

, exprimer d _λ◦µ (m, n) à l'aide de trois termes : chacun étant une image par d λ ou une image par λ .

En déduire que λ ◦ µ est une pente.

b. Préciser l(λ ◦ µ) .

Corrigé

I. Suites sous-additives

1. Si p n désigne le prix d'un lot de n objets, la suite des p n doit être sous additive sinon le client préfèrera acheter plusieurs petites quantités.

2. D'après le cours, toute suite convergente est bornée. Elle est donc minorée.

Soit (x _n ) _n∈

N

une suite qui diverge vers +∞ . Pour tout nombre réel E (ici on prend E = 0 ), il existe un entier N

₀

tel que x _n ≥ E = 0 pour tous les n > N

₀

. La suite est alors minorée par

min(x

0

, x

1

, · · · , x N

₀

, 0)

3. a. Fixons n et r et raisonnons par récurrence sur q . Si q = 0 , il n'y a rien à montrer, les deux côtés de l'inégalités sont égaux. Supposons a _nq+r ≤ qa _n +a _r et majorons :

a

(q+1)n+r

= a

(qn+r)+n

≤ a qn+r + a n par sous-additivité

≤ qa n + a r + a n = (q + 1)a n + a r par hypothèse de récurrence b. La première suite est de la forme ^K _n

n∈N

^∗

où K est un réel xé. C'est donc une suite de référence qui converge vers 0 .

Pour la deuxième, introduisons le reste r n de la division. On en tire un encadre- ment :

q n N

n = n − r n

n ⇒ 1 − N − 1 n ≤ q n N

n ≤ 1 La deuxième suite converge donc vers 1 par encadrement.

c. Lorsque l'ensemble A n'est pas minoré, il est bien certain E − 1 n'est pas un minorant et ce pour n'importe quel réel E . Il existe donc un entier N E tel que

E − 1 ≤ a _N

_E

N E FAUX

⇔ a _N

_E

N E

< E − 1.

On veut montrer que ^a _n

ⁿ

n∈

N^∗

diverge vers −∞ . Considérons un réel E < 0 quelconque.

On vient de prouver l'existence d'un entier N E tel que ^a _N

^NE_E

< E − 1 . Formons la division entière de n par N E comme la question b. nous y invite en notant q n le quotient et r n le reste.

n = q _n N _E + r _n

On est alors en position pour utiliser la majoration obtenue en a. traduisant la sous-additivité :

a n = a q

_n

N

_E+r_n

≤ q n a N

_E

+ a r

_n

≤ q n a N

_E

+ max(a

0

, · · · , a N

_E−1

)

⇒ a _n

n ≤ ( q _n N _E n ) a _N

_E

N E

+ max(a

₀

, · · · , a _N

_E−1

) n

≤ q n N E

n (E − 1) + max(a

0

, · · · , a N

_E−1

) n

Utilisons alors les limites de la question b.. Comme E −

¹₂

E − 1 < 1 il existe N assez grand pour que n ≥ N entraine

max(a

0

, · · · , a N

_E−1

)

n < 1

2 E −

¹₂

E − 1 < q _n N _E n



 



 



⇒ a _n

n ≤ E −

¹₂

E − 1 (E − 1) + 1 2 = E

Notons ici que l'on a utilisé une minoration car E − 1 < 0 .

d. Le raisonnement est très proche du précédent lorsque A est minoré de borne in- férieure α . Pour tout ε > 0 , le réel α +

₂

^ε n'est pas un minorant de A (car α est le plus grand des minorants). Il existe donc un entier n ε tel que ^a _n

^nε_ε

< α + ^ε

₂

. On veut montrer que ^a _n

ⁿ

n∈

N^∗

converge vers α . Considérons un réel ε > 0 quel- conque.

On vient de montrer qu'il existe un entier n _ε tel que ^a _n

^nε_ε

< α + ^ε

₂

. Formons la division de n par n _ε avec les mêmes notations :

a _n = a _q

_n

_n

_ε+rn

≤ q _n a _n

_ε

+ a _r

_n

≤ q _n a _n

_ε

+ max(a

₀

, · · · , a _n

_ε−1

)

⇒ α ≤ a n

n ≤ ( q n n ε

n ) a n

_ε

n _ε + max(a

0

, · · · , a n

_ε−1

) n

≤ q n n ε

n

α + ε 2

+ max(a

0

, · · · , a n

_ε−1

)

n .

Comme ^q

ⁿ

_n ⁿ

^ε

n∈

N^∗

converge vers 1 et

_max(a

0

,··· ,a

_nε−1)

n

n∈

N^∗

converge vers 0 , la suite en n à droite de la majoration converge vers α + ^ε

₂

. Elle est donc majorée par α + ε à partir d'un certain rang.

4. Les valeurs sont strictement positives, on peut considérer la suite des logarithmes.

L'inégalité montre alors que cette suite est sous-additive.

On en déduit que la suite

^ln

_n ^a

ⁿ

n∈

N^∗

diverge vers −∞ ou bien converge vers l = inf

ln

a

_n

n , n ∈ N

^∗

. Dans ce cas, en composant par la fonction exponentielle, on obtient que

(a n )

ⁿ¹

n∈

N^∗

converge vers e ^l .

Dans le cas de la divergence vers −∞ , en composant par l'exponentielle, on obtient que la limite est nulle.

II. Pentes de A'Campo

1. Pour toute partie de Z, être nie est équivalent à être bornée. Une fonction λ de N dans N est donc une pente si et seulement si l'ensemble des valeurs de la fonction d λ

est bornée. On dit que la fonction est bornée.

2. Il est évident que D(j) = {0} , la fonction j est donc une pente.

3. Écrivons les encadrements attachés à la dénition de la partie entière supérieure . (m + n)x ≤ d(m + n)xe < (m + n)x + 1

− mx − 1 < −dmxe ≤ −mx

− nx − 1 < −dnxe ≤ −nx



 

 

⇒ −2 < d x (m, n) < 1

⇒ D(x) ⊂ {−1, 0}

On en déduit que x est une pente. D'autre part, la majoration par 0 traduit que la suite des x(n) est sous-additive.

4. On montre en fait que ρ = √

2 . En eet la dénition de ρ(n) comme plus petit élément entraine √

2n ≤ ρ(n) et (ρ(n) − 1)

²

< 2n

²

donc ρ(n) − 1 < √

2n . Ces encadrements dénissent le d √

2ne .

5. Le calcul de la dérivée de p montre immédiatement que la fonction est strictement croissante dans R. De plus p(1) = −1 et p(2) = 31 > 0 . Il existe donc un unique réel a entre 1 et 2 tel que P (a) = 0 . Montrons que α = a .

Pour tout entier n , la dénition de α(n) et la stricte croissance de p permettent d'écrire : p( α(n)

n ) ≥ 0 ⇒ a ≤ α(n) n p( α(n) − 1

n ) < 0 ⇒ α(n) − 1 n < a



 

 

⇒ α(n) − 1 < na ≤ α(n)

III. Opérations et limites

1. a. À partir de l'encadrement, on peut écrire u _m+n − u _m − u _n ≤ B ⇒ u _m+n ≤ u _m + u _n + B

⇒ (u m+n + B) ≤ (u m + B) + (u n + B)

A ≤ u m+n − u m − u n ⇒ A − u m+n ≤ −u m − u n

⇒ (−A − u m+n ) ≤ (−u m − A) + (−u n − A) Ce qui montre bien les deux sous-additivités demandées.

b. Supposons que U

₊

ne soit pas minorée. Comme la suite (B + u _n ) _n∈

N

est sous- additive, la question I.3.c. montre que ^B+u _n

ⁿ

n∈

N^∗

diverge vers −∞ . On peut alors écrire une succession d'implications qui conduit à une contradiction

B + u n

n

n∈

N^∗

→ −∞ ⇒ u n

n

n∈

N^∗

→ −∞ car B

n

n∈

N^∗

→ 0

⇒

− u n

n

n∈N

^∗

→ +∞ ⇒

− A + u n

n

n∈N

^∗

→ +∞ car A n

n∈N

^∗

→ 0

⇒ U

₋

minorée d'après I.2.

⇒

− A + u _n n

n∈

N^∗

converge car (−A − u _n ) _n∈

N

est sous-additive La suite − ^A+u _n

ⁿ

n∈

N^∗

ne peut à la fois converger et diverger vers +∞ . L'hypo- thèse de départ est donc fausse. La partie U

+

est minorée. On note u sa borne inférieure.

c. On sait maintenant que U

+

est minorée. Comme la suite (B + u n ) _n∈

N

est sous- additive, la question I.3.c. montre que ^B+u _n

ⁿ

n∈N

^∗

converge vers u = inf U

₊

. 2. a. D'après la question II.1. pour toute pente λ la fonction d λ est bornée ce qui

traduit exactement l'existence de réels A et B comme dans la question 1. pour la suite des (λ(n)) _n∈

N

. La suite

− ^λ(n) _n

n∈

N^∗

converge d'après la question III.1.

b. La limite est positive ou nulle par un simple passage à la limite dans une inégalité.

De plus λ(n) = n ^λ(n) _n . Lorsque le deuxième facteur converge vers un nombre strictement positif, un théorème usuel indique que la suite des λ(n) diverge vers +∞ .

3. Il est évident que d λ+µ = d λ + d µ . Comme la somme de deux fonctions bornées est bornée, on en déduit que λ + µ est une pente. Avec l'expression de la limite indiquée plus haut, on obtient immédiatement l(λ + µ) = l(λ) + l(µ) .

4. a. Considérons d'abord l'image d'une somme de trois termes :

∀(k, l, m) ∈ N

³

, λ(k + l + m) = λ(k + l) + λ(m) + d _λ (k + l, m)

= λ(k) + λ(l) + λ(m) + d λ (k, l) + d λ (k + l, m) En fait on va utiliser cette décomposition avec µ(m) dans le rôle de k , µ(n) dans le rôle de l et d µ (m, n) dans celui de m . Or d µ (m, n) est dans Z et peut très bien être négatif. Il faut donc considérer une autre formule dans le cas où k et l sont dans N et m dans − N (mais toujours avec k + l + m ∈ N). Écrivons :

λ(k + l) = λ((k + l + m) + (−m)) = λ(k + l + m) + λ(−m) + d λ (k + l + m, −m)

⇒ λ(k + l + m) = λ(k + l) − λ(−m) − d λ (k + l + m, −m)

= λ(k) + λ(l) − λ(−m) + d λ (k, l) − d λ (k + l + m, −m) Attaquons nous maintenant au d _λ◦µ (m, n) :

d _λ◦µ (m, n) = λ(µ(m + n)) − λ(µ(m)) − λ(µ(n))

= λ(µ(m) + µ(n) + d _µ (m, n)) − λ(µ(m)) − λ(µ(n)) Avec les décompositions précédentes, dans le cas où d µ (m, n) ≥ 0 :

d _λ◦µ (m, n) = λ (d µ (m, n)) + d λ (µ(m), µ(n)) + d λ (µ(m) + µ(n), d µ (m, n)) On obtient bien une combinaison de trois termes : deux sont des images de d _λ , le troisième est une image par λ d'une image par d _µ .

Dans le cas où d µ (m, n) < 0 :

d _λ◦µ (m, n) = −λ (−d µ (m, n)) + d λ (µ(m), µ(n))

− d _λ (µ(m) + µ(n) + d _µ (m, n), −d µ (m, n)) On obtient encore une combinaison de trois termes : (aux signes près) une image par λ d'une image par d µ et deux images par d λ .

Dans chaque cas, le fait que d λ et d µ ne prennent qu'un nombre ni de valeurs

entraîne que d λ◦µ (m, n) lui aussi ne prend qu'un nombre ni de valeurs. Ainsi

λ ◦ µ est encore une pente.

b. On sait que l(λ ◦ µ) est la limite de λ(µ(n))

n = λ(µ(n)) µ(n)

µ(n) n

Lorsque l(µ) > 0 , la suite des µ(n) diverge vers +∞ et le premier facteur est extrait de la suite des ^λ(k) _k . On en déduit que la limite est l(λ)l(µ) .

Lorsque l(µ) = 0 , comme le premier facteur est majoré, la limite est nulle donc

la formule est encore valide.