Chapitre 3
Ensembles de nombres
Sommaire
3.1 Entiers . . . . 23
3.2 Décimaux . . . . 23
3.3 Rationnels . . . . 23
3.4 Réels . . . . 28
3.5 Inclusion des ensembles . . . . 28
3.6 Intervalles, inégalités, valeur absolue . . . . 29
3.6.1 Intervalles . . . 29
3.6.2 Inégalités. . . 30
3.6.3 Valeur absolue. . . 30
3.6.4 Valeur absolue et intervalles . . . 30
3.7 Exercices . . . . 31
3.8 Travaux dirigés . . . . 32
3.1 Entiers
On l’a déjà vu lors du chapitre1mais rappelons ici les premiers ensembles de nombres observés cette année :
Définition. On appelle ensemble desentiers naturels, notéN, l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous une des formes suivantes :N={0,1,2,...}.
On appelle ensembledes entiersou ensemble des entiers relatifs, notéZ, l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous une des formes suivantes :Z={...,−2,−1,0,1,2,...}.
Si on ne précise pas « naturels » quand on parle d’entiers c’est qu’il s’agit d’entiers relatifs.
3.2 Décimaux
Définition 3.1. On appelle ensemble des nombres décimaux, noté D l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme 10an oùaest un entier etnun entier naturel.
3.3 Rationnels Seconde
EXERCICE3.1.
Montrer que tout nombre ayant une écriture décimal finie est un décimal.
EXERCICE3.2. 1. Montrer que tout nombre pouvant d’écrire sous la forme 2kn oùkest un entier etnun entier naturel est un décimal.
2. Montrer que tout nombre pouvant d’écrire sous la forme 5kn oùk est un entier etnun entier naturel est un décimal.
3. Montrer que tout nombre pouvant d’écrire sous la forme 2n×k5m oùk est un entier etn etm des entiers naturels est un décimal.
3.3 Rationnels
Définition 3.2. On appelle ensemble desnombres rationnels, notéQ, l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’un quotientab oùaetbsont des entiers,bétant différent de 0.
EXERCICE3.3.
On va dans cet exercice prouver que13, qui est par définition un rationnel, n’est pas un décimal en faisant unepreuve par l’absurde.
Supposons que13est un décimal.
1. Comment peut-il s’écrire si c’est un décimal ? 2. Isoler alors 10n.
3. D’après l’expression obtenue, quel nombre est un diviseur de 10n? 4. Quels sont les seuls diviseurs possibles de 10n?
5. Conclure.
Généralisons :
Soit un rationnel écrit sous forme de fraction irréductibleab.
Quelle propriété pourrait énoncer en généralisant à partir des seuls diviseurs possibles de 10n? EXERCICE3.4.
On s’intéresse au nombre227.
1. Justifier que ce nombre n’est pas un décimal.
2. Effectuer à la main la division de 22 par 7 jusqu’à remarquer quelque chose.
C’était aussi le cas de13. Généralisons :
Propriété. Tout nombre rationnel admet une écriture décimale dont la partie décimale est, au bout d’un certain temps, . . . . On l’admettra.
EXERCICE3.5.
Déterminer à la main l’écriture décimale périodique des nombres rationnels suivants :1511et 155198.
Seconde 3.3 Rationnels
EXERCICE3.6.
On donne l’écriture décimale infinie d’un nombreA:A=0,878787 ...=0,87.
1. Déterminer l’écriture décimale infinie du nombre 100×A.
2. En déduire que 100A−87=A.
3. IsolerAet l’écrire ensuite sous forme de fraction.
4. À quel ensemble appartientA?
Une correction commentée de l’exercice3.6
On donne l’écriture décimale infinie d’un nombreA:A=0,878787 ...=0,87.
On remarque que la partie décimale est périodique et que cette période comporte 2 chiffres.
1. Déterminer l’écriture décimale infinie du nombre 100×A.
On multiplie par 102=100 car la période comporte 2 chiffres; si elle en comportait un seul on multiplierait par 101=10 et si elle en comportait 3 on multiplierait par 103. En bref on multiplie par 10noùnest le nombre de chiffres de la période.
Et on obtient alors 100×A=87,87 2. En déduire que 100A−87=A.
En soustrayant 87, on retrouve A et cela nous donne une équation simple comportant comme inconnueAqu’on pourra isoler pour obtenir l’écriture fractionnaire deA.
Ainsi 100A−87=0,87=A.
3. IsolerAet l’écrire ensuite sous forme de fraction.
100A−87=A⇔100A−A=87
⇔99A=87
⇔A=87
99= 3×29
3×3×11=29 33
4. À quel ensemble appartientA?
A est une fraction et cette fraction a été réduite au maximum; son dénominateur comporte comme facteurs premiers d’autres facteurs que 2 ou 5, ce n’est donc pas un décimal.
Étant une fraction c’est forcément un rationnel.
DoncA∉DetA∈Q.
3.3 Rationnels Seconde
Deux exemples supplémentaires
Un exemple avec une période à un chiffre : On donneA=0,5
La partie décimale est périodique et cette période comporte un seul chiffre. On multiplie alors Apar 101=10.
10A=5,5 et 10A−5=0,5=A.
IsolonsA:
10A−5=A⇔10A−A=5
⇔9A=5
⇔A=5 9 Un exemple avec une période à 4 chiffres : On donneA=0,1234
La partie décimale est périodique et cette période comporte quatre chiffres. On multiplie alors Apar 104=10 000.
10 000A=1234,1234 et 10 000A−1234=0,1234=A.
IsolonsA:
10 000A−1234=A⇔10 000A−A=1234
⇔9999A=1234
⇔A=1234 9999 EXERCICE3.7.
On poseD=21,7651.
1. Donner l’écriture décimale infinie deE=D×100−2 176.
2. En déduire l’écriture fractionnaire irréductible deE.
3. En déduire l’écriture fractionnaire irréductible deD.
Une correction commentée de l’exercice3.7 On poseD=21,7651.
Ici une difficulté s’ajoute : avant la période de 2 chiffres il y a des chiffres qui constituent d’une part la partie entière du nombre (21) et une partie décimale (76) qui n’est pas périodique. On va multiplier ce nombre par 10n de façon à ce que la partie décimale ne soit composée que de la partie périodique.
1. Donner l’écriture décimale infinie deE=D×100−2 176.
En multipliant par 100 il ne reste que pour la partie décimale que la partie périodique.
D×100=2 176,51.
En soustrayant 2 176 on se ramène à un nombre tel qu’on a vu dans les exemples précédents.
E=D×100−2176=0,51.
C’est ce nombre qu’on va travailler avant de revenir àD.
Seconde 3.3 Rationnels
2. En déduire l’écriture fractionnaire irréductible deE.
La partie décimale est périodique et la période comporte deux chiffres dont on multiplieE par 102=100 :
100E=51,51⇔100E−51=E
⇔99E=51
⇔E=51
99= 3×17
3×3×11=17 33 3. En déduire l’écriture fractionnaire irréductible deD.
Maintenant qu’on aEil nous faut revenir àD.
E=D×100−2176=0,51=1733 Donc
100D−2 176=17
33⇔100D=2 176+17 33
⇔D=2 176+1733 100
⇔D=2873
132 (merci la calculatrice) Un exemple supplémentaire
D=5,1453
On multiplie par 10nde façon à ce qu’il ne reste en partie décimale que la partie périodique : ici il suffit de multiplier par 103=1000 :
1000D=5145,3⇔1000D−5145=0,3=E 10E=3,3⇔10E−3=E
⇔9E=3
⇔E=3 9=1
3 1000D−5145=E=1
3⇔D=5145+13
1000 =3859 750
On admettra que c’est toujours le cas et que la réciproque de la propriété précédente est vraie : Propriété. Tout nombre ayant une écriture décimale dont la partie décimale est, au bout d’un cer- tain temps . . . est un nombre rationnel.
On a finalement la propriété suivante :
Propriété 3.1. Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est, au bout d’un certain temps, périodique.
EXERCICE3.8.
Trouver l’écriture fractionnaire irréductible des nombres suivantsB=0,317,C=0,1234.
EXERCICE3.9.
Déterminer l’écriture fractionnaire irréductible deA=2,34,B=56,443 etC=101,45234.
3.4 Réels Seconde
3.4 Réels
Définition 3.3. Soit une droite munie d’une origineOet d’une graduation.
L’ensemble des abscisses de l’axe ainsi défini s’appelle l’ensemble desnombres réelset se noteR.
Un tel axe est appelé ladroite des réels.
Définition 3.4. Les nombres qui appartient àRmais qui n’appartiennent pas àQ sont appelés desnombres irrationnels.
Ainsip
2 etπsont des irrationnels.
Compléter la propriété suivante :
Propriété 3.2. L’écriture décimale d’un irrationnel n’est ni . . . , ni . . . . Preuve. Sinon ce nombre serait un . . . ou un . . . . et donc pas un . . . ♦
Propriété 3.3. Soit n∈N, alors le nombrep
n est soit un entier dans le cas où n est un carré parfait, soit un irrationnel.
On l’admettra dans le cas général mais va le prouver dans le cas dep 2.
EXERCICE3.10.
On va dans cet exercice prouver quep
2 est un irrationnel en faisant unepreuve par l’absurde.
Supposons quep
2 n’est pas un irrationnel.
1. (a) Que peut-on dire alors dep 2 ?
(b) On a vu dans le chapitre1que toute fraction admettait une forme irréductible ab. Que cela signifie-t-il pouraetb?
2. On suppose donc qu’il existeaetbdes entiers n’ayant aucun diviseur commun tels quep 2=
a b.
(a) Mettre l’équation précedente au carré et isolera2. (b) Que peut-on dire de la parité dea2?
(c) Que peut-on en déduire pour la parité dea?
(d) Siaest un nombre pair, montrer quea2est un multiple de 4.
(e) Que peut-on en déduire pourb2et donc pourb? 3. (a) Mettre en évidence une contradiction.
(b) Conclure.
3.5 Inclusion des ensembles
Propriété 3.4. On a les inclusions suivantes :
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R Remarques.
Seconde 3.6 Intervalles, inégalités, valeur absolue
• Lorsque AetB sont des ensembles,A⊂B signifie « queAest inclus dansB» c’est-à-dire que tous les éléments deAsont aussi des éléments deB; il peut y avoir des éléments deB qui ne sont pas dansA;
• Il ne faut pas confondre le symbole précédent avec le symbole∈comme par exemple 2∈N qui signifie que 2 est un élément de l’ensemble N. Autre exemple : le segment [AB] est un ensemble de points, tout comme la droite (AB). On peut écrire que A∈[AB] et queB∈(AB) mais on écrira que [AB]⊂(AB).
Exemples 3.1. • 2∈Net 2∈Z, par définition, 2=2010 donc c’est un décimal et aussi un quotient donc un rationnel et la droite des réels contient un point d’abscisse 2 donc c’est aussi un nombre réel ;
• −2∉Nmais il appartient à tous les autres ensembles;
• 2,5∉Net 2,5∉Zmais 2,5=2510 donc il appartient àD, àQet aussi àR;
• 13n’est ni un entier et ni un décimal. C’est par contre un rationnel et un réel.
• Enfin des nombres commep
2 ouπne peuvent pas s’écrire sous la forme de quotient et ne sont donc pas des rationnels (et encore moins des entiers ou des décimaux) mais sont bien des abscisses de points sur la droite des réels.
3.6 Intervalles, inégalités, valeur absolue
3.6.1 Intervalles
Définition 3.5. Pour tous réelsaetbtels quea<b, on notera notation
l’ensemble des réelsxtels que
ensemble
[a;b] a6x6b
]a;b[ a6x6b
[a;b[ a6x<b
]a;b] a<x6b
]− ∞;a] x6a
]− ∞;a[ x<a
[a;+∞[ a6x
]a;+∞[ a<x
Définition 3.6. On appelle :
Intersection : des intervallesI etJ, notéeI∩J, l’ensemble des nombres qui appartiennent àIet àJ
Réunion : des intervallesI etJ, notéeI∪J, l’ensemble des nombres qui appartiennent àI ouà J, c’est-à-dire à au moins l’un des deux.
3.6 Intervalles, inégalités, valeur absolue Seconde
3.6.2 Inégalités
Propriété 3.5. Soit a, b et c des nombres réels et k un réel différent de 0. On a les règles suivantes : Si a<b :
• alors a+c<b+c et a−c<b−c
• et si k>0alors a×k<b×k et ak <bk
• et si k<0alors a×k>b×k et ak >bk
Cela peut aussi se formuler de la manière suivante :
On ne change pas l’ordre d’une inégalité : si on additionne ou soustrait à cette inégalité un nombre ou quand on multiplie ou divise cette inégalité par un nombre strictement positif.
On change l’ordre d’une inégalité : si on multiplie ou divise cette inégalité par un nombre stricte- ment négatif.
Propriété 3.6. Soit a, b, c et d des réels tels que a<b et c<d , alors a+c<b+c.
Cette propriété n’est pas vraie pour les soustractions, n’est pas toujours vraie pour les multiplica- tions et n’est pas vraie pour les divisions.
3.6.3 Valeur absolue
Définition 3.7(Valeur absolue). On appellevaleur absolued’un réelxle réel, noté|x|, tel que :
½ Six>0 alors|x| =x Six60 alors|x| = −x EXERCICE3.11.
Déterminer la valeur absolue des nombres suivants : 2,−3, 0,p 3,−π.
3.6.4 Valeur absolue et intervalles
Activité d’introduction ACTIVITÉ3.1.
On appelledistance entre deux nombres réels a et b, la distance entre les points A etB d’abscisses respectivesaetbsur la droite réelle munie d’un repère (O;~ı).
1. Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance entre les deux nombres réels :
• 2 et 3
• 3 et−1
• −1 et 3
• −2 et−4
• 0 et 3
• 0 et−3 2. Conjecturer le lien entre distance entre deux réels et valeur absolue.
En se basant sur les deux dernières distances calculées dans la question précédente, donner une nouvelle définition de|x|.
3. Pour un intervalle [a;b], le nombrec = a+2b est appelécentrede l’intervalle, le nombred = b−a est appeléamplitudeou diamètre de l’intervalle et enfin le nombrer= b−2a est appelé rayon de l’intervalle.
Seconde 3.7 Exercices
(a) Calculer le centre et le rayon de [2 ; 6].
(b) Traduire|x−4|en termes de distance entre deux réels.
(c) Compléter :x∈[2 ; 6]⇔ |x−4|6...
(d) Traduire les inégalités suivantes en intervalles :
• |x−1|62 • |x+2| <3 • |x−1|>4 • |x+3| >1 (e) Traduire les intervalles suivants en termes de valeurs absolues :
• x∈[1 ; 25] • x∈[6 ; 20] • x∈[−6 ; 2]
Bilan et compléments
Définition 3.8(Une autre définition de la valeur absolue). Soitaetb deux réels. On appelle dis- tance entreaetble nombre|a−b|et|a| = |a−0|la distance du nombreaà 0.
On admettra que cette définition est équivalente à la précédente.
Définition 3.9. Soitaetbdeux nombres tels quea<b.
On dira que l’intervalle [a;b] a :
• pourcentrele nombrec=a+2b;
• pouramplitude(ou diamètre) le nombred= |a−b|;
• pourrayonle nombrer=|a−2b|.
Propriété 3.7. Soit a et b deux nombres tels que a<b.
x∈[a;b]⇔
¯¯
¯x−...
...
¯¯
¯6...
... et x∈]a;b[⇔
¯¯
¯x−...
...
¯¯
¯...
...
3.7 Exercices
Les exercices suivants sont piochés dans le manuel.
EXERCICE3.12.
On donneA=3p 20+p
45 etB=p
180−3p 5.
1. ÉcrireAetB sous la formeap
5 avecaen- tier.
2. Démonter queA×BetBAsont des nombres entiers.
EXERCICE3.13.
Soit C = 5
p12 2p
3. À quel ensemble de nombre C appartient-il ?
EXERCICE3.14.
On poseD=207559488 −38.
1. Écrire, en détaillant les calculs, le nombre D sous la forme d’une fraction irréduc- tible.
2. Le nombre D est-il décimal ? Rationnel ? Justifier.
EXERCICE3.15.
SoitE=35754225 etF =E+264.
1. ÉcrireE sous la forme d’une fraction irré- ductible.
2. À quel ensemble de nombreF appartient- il ?
EXERCICE3.16.
SoitG=83−53:2021 etH=¡ 2+23¢
:¡4
5−23¢ . Pour chacun de ces deux nombres :
1. Les calculer en détaillant les étapes de cal- culs et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
3.8 Travaux dirigés Seconde
2. Déterminer le plus petit ensemble de nombre qui le contient.
EXERCICE3.17.
Déterminer la 314èdécimale deI=2537 . EXERCICE3.18.
SoitJ=0,999 ...=0,9.
1. Justifier queJest solution de 10J−9=J.
2. Résoudre 10J−9=J.
3. Conclure.
EXERCICE3.19.
Calculer : 1. | −4| 2. |3,8|
3. |5−6| 4. |p
17−2| EXERCICE3.20.
Sans calculatrice, simplifier : 1. |4| + | −3|
2. |1,2| − | −1,2|
3. |5−82|−3
4. 2|4−10| + |7−5| EXERCICE3.21.
Les questions sont indépendantes.
1. Donner les amplitudes des intervalles sui- vants :
(a) [5 ; 100]
(b) £ 1 ;43¤ (c) £
2−13; 2+13¤
(d) £
5−n1; 5+n1¤ oùn∈N∗ (e) h
p−p1n;p+p1ni oùn∈N∗
2. Donner un intervalle d’amplitude 0,1 contenantp
2.
3. Donner un encadrement entre deux déci- maux d’amplitude 10−2contenantπ.
EXERCICE3.22.
Soitxun nombre réel tel que 06x612.
À quel intervalle appartient le résultat de cha- cune des expressions suivantes?
1. 2x5+8 2. 4x
3. 8−2x 4. 10−0,2x EXERCICE3.23.
Soitxetydeux nombres réels tels que 1,46x6 3,2 et 06y61. Que peut-on en déduire pour :
1. x+y? 2. x+3y?
3. x−y? 4. 2x−3y? EXERCICE3.24.
Donner, sous forme d’intervalle, l’ensemble des solutions des inéquations suivantes :
1. 52x+4>x+6 2. 143x62x−13 3. 79x+4>13x−3 4. −12x−1<15x+14 EXERCICE3.25.
Déterminer l’ensemble (sous forme d’intervalle) des réelsxvérifiant :
1. |x−10|61 2. |x−2,5|60,2 3. ¯
¯x−12¯
¯652
4. |x+5|63 5. |x+1|>2 6. |x−3| >1 EXERCICE3.26.
Écrire une inégalité vérifiée parxet utilisant une valeur absolue dans les cas suivants :
1. x∈[−4 ; 5]
2. x∈[0 ; 1,1]
3. x∈£1
3;23¤
3.8 Travaux dirigés
On va découvrir plusieurs méthodes pour obtenir une valeur approchée dep 33.
Méthode 1 : Avec une calculatrice
1. Sans calculatrice, donner un encadrement à l’unité dep 33.
2. Après avoir complété le tableau ci-dessous, donner un encadrement dep
33 au dixième :
n 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6
n2
Seconde 3.8 Travaux dirigés
3. Quel est l’encadrement dep
33 au millième?
Méthode 2 : Avec un tableur
1. Construire la feuille de calcul suivante :
2. Quelle formule doit-on écrire dans la cellule B1 pour calculer le pas qui permet d’aller de B2 à L2 en 10 étapes?
Compléter la cellule C2 pour augmenter B2 du pas calculé en B1, puis recopier la formule jusqu’en K2.
Pour recopier la formule sans changer B1, écrire $B$1 au lieu de B1 (le $ fixe la lettre ou le nombre lors des copiés-collés).
3. Compléter la cellule B3 pour obtenir le carré du nombre en B2, puis recopier la formule jusqu’à L3.
4. Observer le tableau et donner un encadrement dep
33 au dixième.
5. Remplacer le contenu de B2 et de L2 par les bornes de l’encadrement.
Quel encadrement dep
33 obtient-on?
Quelle est sa précision?
6. Recommencer la question précédente avec le nouvel encadrement jusqu’à obtenir une précision de 10−4.
Changer si besoin le format d’affichage des nombres.
7. Utiliser la feuille de calcul pour obtenir une approximation dep
125 à 10−4près.
Méthode 3 : Avec un programme
HÉRON D’ALEXANDRIE1 a donné son nom à une formule qui permet, à l’aide des longueurs des trois côtés d’un triangle, d’obtenir l’aire de ce triangle :
Propriété(Formule de HÉRON). Soit un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c.
Soit p le demi-périmètre de ce triangle, c’est-à-dire p= a+b2+c. Alors, l’aire S de ce triangle est donnée par :
S=
qp(p−a)(p−b)(p−c)
Problème : cette formule nécessite de rechercher la racine carrée d’un nombre et, au premier siècle apr. J.-C. il n’y avait ni calculatrice, ni tableur mais on savait faire les opérations de base, y compris les divisions.
Qu’à cela ne tienne, HÉRONinventa une méthode pour obtenir rapidement une valeur appro- chée de la racine carrée de tout nombre à l’aide d’un algorithme.
Algorithme de HÉRON: Pour obtenir une valeur approchée dep n On débute avec un nombrea0tel que 0<a0<pn.
Étape 1 : On fait la moyenne dea0et de an0 on trouvea1
1. ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du 1ersiècle apr. J.-C.
3.8 Travaux dirigés Seconde
Étape 2 : On fait la moyenne dea1et de an
1 on trouvea2 On continue autant d’étapes que l’on veut.
La suite de nombres va tendre vers la racine carrée cherchée
On va appliquer cet algorithme pour déterminer une valeur approchée dep 33.
1. Choisir un entier naturela0qui convient.
2. Compléter :
n 0 1 2 3 4 5
an
3. Que dire de la précision du résultat obtenu en 5 étapes?
4. Déterminer une approximation dep 125.
