Feuille d'exercices 3. Suites usuelles et récurrence

Feuille d'exercices 3. Suites usuelles et récurrence

Exercice I.

Ecrire sans les symbolesX et Y

les expressions :

5

X

k=1

k²,

8

X

j=3

j² 3^j,

5

X

n=1

(−1)ⁿ²x²ⁿ⁺⁴ n ,

5

X

p=3

x(1−x²)^p,

8

X

s=2

s² s²+ 1,

8

Y

p=3

2^p,

Exercice II.

Ecrire les expressions suivantes avec les symboleX ouY

, si nécessaire : 1. A= 2⁵+ 3⁵+ 4⁵+· · ·+n⁵

2. B= 1−a+a²−a³+· · · −a⁷ 3. C=a²

2 +a⁴ 4 +a⁶

6 +· · ·+a²ⁿ 2n 4. D=1

1 +2 2+2²

3 +2³

4 +..+2²⁰⁰⁵ 2006

5. E= 1 2−2

3 +3 4−4

5+· · ·+ (−1)ⁿ⁺¹ n n+ 1 6. F = ln(1×2×3× · · · ×n)

7. F = 1 2×2

4 ×3 8 × 4

16× · · · × n 2ⁿ

Exercice III.

Etudier la monotonie des suites(u_n)_n∈Ndénies par :

1. un=n−n² 2. un = 1

n! 3. un =√

n+ 3 4. u_n= n!

2ⁿ 5. u_n =

n

X

k=1

1 k² +1

n 6. u_n = ( X

1≤k≤n

lnk)−nlnn

7. u_n= Y

1≤k≤n

2k

2k+ 1 8. u₀= 1

2 et u_n+1=u_n+ 2 9. u₀<0 et u_n+1= 4 3u_n 10. u₀=−10 et u_n+1=−u²_n+ 3u_n−1 11. u₀= 1

2 et u_n+1= u_n

n+ 1 12. u₀=1

2 et u_n+1= 3u²_n 1 + 4un

Exercice IV.

1. Vérier rapidement les égalités suivantes : 1

k(k+ 1) = 1 k− 1

k+ 1, et 1

k(k+ 1)(k+ 2) = 1 2

1 k − 2

k+ 1 + 1 k+ 2

2. Calculer alors

n

X

k=1

1

k(k+ 1) puis

n

X

k=1

1 k(k+ 1)(k+ 2)

Exercice V.

Déterminer trois réelsa, b, ctels que∀k∈N\{0,1}, k−5

k(k²−1) = a k−1 + b

k+ c k+ 1. En déduire la valeur de la somme Pⁿ

k=2

k−5 k(k²−1).

Exercice VI.

Deviner le terme général des suites proposées et le démontrer.

1. u1= 1 et ∀n≥1, un+1= un

u_n+ 1 2. v0= 0 et ∀n≥1, vn =vn−1+n

3. u0= 1 et ∀n≥0, un+1=un+n³+ 5n 6 + 1

Exercice VII.

Soit(ak)_k∈[[0,n]] une famille de nombres réels. Justier l'égalité suivante

n−1

X

k=0

k(ak−ak+1) =

n

X

k=1

ak

!

−nan

1

Exercice VIII.

Montrer par récurrence que : 1. ∀n∈N,

n

P

k=0

k= n(n+ 1) 2 2. ∀n∈N,

n

P

k=0

k²= n(n+ 1)(2n+ 1) 6

3. ∀n∈N,

n

P

k=0

k³=

n(n+ 1) 2

²

4. ∀q∈R\{1}, ∀n∈N,

n

P

k=0

q^k =1−qⁿ⁺¹ 1−q 5. ∀n∈N^∗,

n−1

P

k=0

(2k+ 1) =n²

6. ∀n∈N^∗,

n

P

k=1

1

k(k+ 1) = n n+ 1 7. ∀n∈N,

n+1

P

k=1

k.2^k−1=n.2ⁿ⁺¹+ 1

8. ∀a∈R+, ∀n∈N, (1 +a)ⁿ >1 +na 9. ∀n>2, n!>2×3ⁿ⁻²

10. ∀n>5, 3ⁿ n! 6 1

2ⁿ⁻⁷

Exercice IX.

Reconnaître la nature des suites présentées, et calculer leur terme général : 1. ∀n≥0, un+1−un= 3 et u0= 10

2. ∀n∈N, un+1=−2un avec u0= 7 3. ∀n>2, 2un=u_n−1 avec u1= 3 4. ∀n∈N^∗, u_n= u_n−1

3 + 4 avec u₀= 1 5. ∀n∈N, un+1=−1

3un+3

5 avec u0= 0

6. ∀k∈N, uk+2−2uk+1+uk= 0 avec u0= 2 et u1= 1

7. ∀n∈N, 2un+2+un+1−un= 0 avec u1=u2= 1

8. ∀n∈N^∗, un+1=un+ 3u_n−1 avec u0= 1 et u1= 2

Exercice X.

Calculer les sommes suivantes : 1. S_n=

n

P

k=0

(2k+ 1) 2. Sn=

n+1

P

k=0

(6k²+ 4k+ 1) 3. Sn=

8

P

k=2

(−2k³+ 5k²+ 1) 4. S=

2005

P

k=945

3 5. S_n=

2n

P

k=1

k(2k−1)(k+ 1)

6. S_n= 1−3+3²−3³+· · ·+(−1)ⁿ3ⁿ

7. Sn = 1 + 2²+ 2⁴+ 2⁶+· · ·+ 2²ⁿ 8. Sn = 2.3²+ 2.3³+· · ·+ 2.3ⁿ 9. S=

5

P

k=2

5^k+1 7^k−2 10. Sn =

n

P

k=0

3 10^k 11. S_n =

2n

P

k=0

3×4^k+1 12. S_n =

n

P

k=0

5×2^k 3^k+1 13. Sn =

n−1

P

k=1

3^2k+1

14. S_n=

6

P

k=2

1 3

^k

15. Sn=

n+1

P

k=3

2^k 3^k+2 16. Sn=

n

P

k=1

5×2^k+ 2×3^2k

17. Sn=

2n

P

k=3

2^3k+1.3^k+1 4^k 18. S =

10

P

k=0

(2^k+1+k²)

Exercice XI.

1. Soit(un)_n∈N la suite arithmétique dénie par u0= 52et r=−2.5. Calculer S=

33

X

k=7

uk.

2. Soit(un)_n∈N la suite arithmétique dénie par u3= 4etr=2

3. Calculer S=

14

X

k=1

uk.

3. Soit(un)_n∈N la suite géométrique dénie par u0= 1.5et r= 3. Calculer S=

7

X

k=2

uk.

4. Soit(un)_n∈N la suite géométrique dénie par u0= 4 etr= 2

3. Calculer S=

5

X

k=1

uk.

5. Soit(un)n∈N la suite géométrique dénie par u7= 28et r= 2. Calculer S=

10

X

k=3

uk.

2

Exercice XII.

Soituune suite vériant ∀n>0, un+1= 2un+net u0= 1.

1. Montrer qu'il existe un couple(a, b)de réels tels que la suite dénie par : ∀n∈N, wn =an+b vérie la relation

∀n∈N, wn+1= 2wn+n.

2. Montrer que la suite zn=un+n+ 1 vérie zn+1= 2zn. 3. En déduire l'expression dezn en fonction denpuis celle deun.

Exercice XIII.

Soientαet β deux suites satisfaisant la relation

∀k∈N,

α_k+1= 3α_k+β_k β_k+1= 2α_k+ 4β_k et

α₀= 2 β₀=−1 On introduit deux suites auxiliairesz ett en posantz_k=α_k+β_k et t_k= 2α_k−β_k.

1. Montrer que les deux suitesz ett sont géométriques.

2. Donner l'expression dezk et tk en fonction dek, puis celle deαk etβk.

Exercice XIV.

Soit(un)n>0 la suite dénie par la relation ∀n>0, un+1= 2un+ 5ⁿ, et de premier termeu0quleconque.

Pour expliciter le terme général de cette suite, on pose ∀n∈N, vn =un

5ⁿ. 1. Vérier que ∀n∈N, v_n+1=2

5v_n+1 5.

2. En déduire l'expression dev_n en fonction denpuis celle deu_n.

Exercice XV.

On considère deux suites(un)_n∈Net (vn)_n∈Ntelles que

∀n∈N,

un+1= 2un−vn

vn+1=un+ 4vn et

u0= 1 v0=−2 1. On considère la suitepdénie par ∀n∈N, pn=un+vn.

Montrer que la suite(pn)_n∈Nest géométrique.

En déduire l'expression depn en fonction den.

2. A l'aide de la question précédente, montrer que ∀n∈N, vn+1= 3vn−3ⁿ. 3. Montrer que la suitez_n= v_n

3ⁿ est arithmétique.

En déduire l'expression dezn en fonction den

4. Donner enn l'expression devn puis deun en fonction den.

Exercice XVI.

1. On considère la suite(u_n)_n∈Ndénie paru₀= 1 et ∀n∈N^∗, u_n+1=1 2

X

0≤k≤n

u_k. a. Calculer les 5 premiers termes de la suite.

b. En déduire une expression possible pour le terme général de la suite.

c. Démontrer le résultat précédent.

2. Même exercice avec la suite (u_n)_n∈N^∗ dénie paru₁= 1et ∀n≥2, u_n+1= X

1≤k≤n

ku_k.

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