SUITES & Récurrence – Feuille d’exercices
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Exercice 1 : conjecturer les éventuelles majorations ou minorations des suites représentées ci-dessous.
𝑢"= (𝑛 − 3))− 2 𝑢"= (𝑛 + 1))
𝑢"= sin(𝑛) 𝑢"= 1 +1
𝑛
𝑢"= ln 1𝑛
103
Exercice 2 :
1) Montrer dans chaque cas que la suite donnée est bornée par 𝑚 = 0 et 𝑀 = 2 :
a) 𝑢" = 2 −6" pour 𝑛 entier non-nul.
b) 𝑣" = 1 + sin(𝑛) pour 𝑛 entier.
2) Donner un minorant de la suite (𝑤") définie pour tout entier 𝑛 par 𝑤" = 𝑛) − 2𝑛 + 6.
3) Montrer que la suite (𝑥") définie pour tout entier 𝑛 par 𝑥" =;"<=
"<6 est minorée par −1.
Exercice A : majorant et minorant de suites
1) Donner un minorant de la suite (𝑢") définie pour tout entier 𝑛 par 𝑢" = 5 + 2𝑛 16
?3". 2) Donner un majorant de la suite (𝑠") définie pour tout entier 𝑛 par 𝑠" = −2𝑛)+ 8𝑛 + 3.
3) Montrer que la suite (𝑣") définie pour tout entier 𝑛 par 𝑣" = B"<)
)"<6 est majorée par 3.
Exercice 3 : Vrai ou Faux ?
Justifier les réponses fausses par un contre-exemple (éventuellement graphique).
a) Une suite négative est majorée par 0.
b) Si une suite est majorée ou minorée, alors elle est bornée.
c) Une suite décroissante est minorée par son 1er terme.
d) Si une suite est bornée, alors elle est minorée.
e) Une suite positive est minorée par 0.
f) Une suite croissante est minorée par son 1er terme.
Exercice 4 : soit (𝑣") la suite définie par 𝑣C = 1 et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣"<6 =FFG
G<6.
a) Calculer les premiers termes de la suite (𝑣") et conjecturer l’expression de 𝑣" en fonction de 𝑛.
b) Démontrer cette conjecture.
Exercice 5 : (𝑢") est la suite définie par 𝑢C = 2et 𝑢"<6 = 2𝑢"− 3 pour tout entier naturel 𝑛.
On va démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢" = 3 − 2". Compléter :
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, appelons 𝑃(𝑛) la propriété : «……….».
§ Initialisation : pour 𝑛 =…
𝑢C =……….. donc 𝑃(0) est vraie.
§ Hérédité : supposons qu’il existe un entier 𝑘 tel que 𝑃(𝑘) est vraie, c’est-à-dire : ………..…
Alors 𝑢J<6 = 2𝑢J− 3 par définition de la suite (𝑢").
= 2 × (… … … . ) − 3 par hypothèse de récurrence =………..
Donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.
§ Conclusion : 𝑃 a été ………. en 0, 𝑃 est ……….. à partir de ….., donc d’après le raisonnement par récurrence, ……… pour ……….
Exercice 6 : soit la suite (𝑢") définie pour tout entier naturel n par : 𝑢C = 2 et 𝑢"<6 = 5 −N=
G
a) Calculer 𝑢6 et 𝑢).
b) Démontrer par récurrence que pour tout 𝑛, 1 ≤ 𝑢" ≤ 4.
c) Montrer que la suite (𝑢") est croissante.
Exercice 7 : soit (𝑢") la suite définie par 𝑢C = 5 et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢"<6 = 3𝑢" + 6.
Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢" > 0.
On justifiera chaque étape de construction de la suite (𝑢").
Exercice 8 : soit (𝑢") la suite définie par 𝑢C = 9 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢"<6 = S𝑢". a) Rappeler le sens de variations de la fonction racine carrée.
b) Montrer que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝑢" ≤ 9.
c) Montrer par récurrence que (𝑢") est strictement décroissante.
Exercice B : étude d’une suite grâce au raisonnement par récurrence
Soit (𝑢") la suite définie par 𝑢C = 10 et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢"<6= S𝑢"+ 5.
a) Montrer par récurrence que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 2,5 ≤ 𝑢"<6 ≤ 𝑢" ≤ 10 b) Quelles conclusions peut-on en tirer ?
Exercice C : montrer par récurrence qu'une suite est bornée.
Soit (𝑟") la suite définie par 𝑟C = 6 et, pour tout entier 𝑛, 𝑟"<6 = S𝑟" + 4.
Montrer par récurrence que, pour tout entier 𝑛, 2 ≤ 𝑟" ≤ 6.
Que peut-on en déduire ?
Exercice 9 : montrer que pour tout entier 𝑛 ≥ 6, 2" ≥ (𝑛 + 2))
Indication : on sera amené à résoudre dans ℕ l’inéquation 𝑘)+ 2𝑘 − 1 ≥ 0.
Exercice 10 :
a) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 2" ≥ 𝑛 b) Que peut-on dire pour le cas 𝑛 = 0 ?
c) Étendre la propriété.
Exercice 11 : montrer par récurrence que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 4 divise 5"− 1.
Exercice 12 : l’objectif est de prouver par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 7" + 2 est divisible par 3.
Compléter :
Pour tout 𝑛 ∈………….. , appelons 𝑃(𝑛) la propriété : «………..….».
§ Initialisation : pour 𝑛 =…
76+ 2 = ⋯ × 3 donc 𝑃(… ) est vraie.
§ Hérédité : supposons qu’il existe un entier 𝑘 ≥ 1 tel que 𝑃(𝑘) est vraie, c’est-à-dire : ………..…
Autrement dit : il existe un entier non nul 𝑝 tel que 7J+ 2 = 3 × 𝑝 (ou encore 7J = 3𝑝 − 2).
Alors 7J<6+ 2 = 7 × 7J+ 2
= 7 × (… … … . ) + 2 par hypothèse de récurrence =………..
=………..
= 3 × 𝑝′ avec 𝑝\ =………..
Donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.
§ Conclusion : 𝑃 a été ………. en … , 𝑃 est ……….. à partir de ….., donc d’après le raisonnement par récurrence, ……… pour ……….
Rappel : soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls.
On dit que 𝑎 est divisible par 𝑏 (ou que 𝑏 divise 𝑎 ou encore que 𝑎 est un multiple de 𝑏) lorsqu’il existe un entier naturel 𝑝 non nul tel que 𝑎 = 𝑏 × 𝑝.
Par exemples : 3 divise 72 car 72 = 3 × 14.
𝑁 est divisible par 5 si et seulement s’il existe un entier 𝑝 non nul tel que 𝑁 = 5𝑝.
Exercice D : divisibilité et récurrence On donne les propriétés suivantes :
𝑷𝒏 : « 𝟒𝒏− 𝟏 est divisible par 𝟑 » 𝑸𝒏 : « 𝟒𝒏 + 𝟏 est divisible par 𝟑 » a) Montrer que si 𝑃J est vraie, alors 𝑃J<6 est vraie.
b) Montrer que si 𝑄J est vraie, alors 𝑄J<6 est vraie.
c) Que peut-on conclure pour 𝑃" et 𝑄" ?
Exercice 13 : on pose ∑ =" 1)+ 2)+ 3?+ ⋯ . . +𝑛) pour 𝑛 un entier naturel non nul.
a) Calculer Σ₁, Σ₂, Σ₃ et Σ₄.
b) Exprimer ∑"<6𝑒𝑛 fonction de ∑ ."
c) Démontrer par récurrence que, pour tout 𝑛 entier naturel non nul, ∑ =" "("<6)()"<6) B
Exercice 14 : pour tout entier 𝑛 ≥ 1, on note 𝑛! (et on lit « factorielle 𝑛 ») le nombre tel que : 1 × 2 × 3 × … × 𝑛 = 𝑛!
Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, on a : 𝑛! ≥ 2";6.
Exercice 15 : (𝑢") est la suite définie par 𝑢C = 3 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢"<6 = ?<)N?NG
G. 1. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢" > 0.
b) En déduire que la suite (𝑢") est décroissante.
2. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑣" = N?
G (on a donc 𝑣" > 0 pour tout entier 𝑛).
a) Démontre que (𝑣") est une suite arithmétique.
b) En déduire une expression de 𝑣" puis 𝑢" en fonction de n.
c) Démontrer par une autre méthode le résultat de la question 1. b)
Exercice 16 :
a) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, le nombre 3𝑛)+ 3𝑛 + 6 est un multiple de 6.
b) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 2?"− 1 est un multiple de 7.
En route vers le Grand Oral :
Maths C qui ? #7 : la légende du petit Gauss
Exercice 17 : le flocon de Koch
Le premier polygone de la suite, note 𝑃6, est le triangle 𝐴𝐵𝐶, de centre 𝑂. Son côté est de longueur 1 (cf. Figure 1).
On divise chaque côté en trois parties égales, on construit sur le segment du milieu de chacun des côtés un nouveau triangle équilatéral à l’extérieur et on efface les segments communs aux nouveaux triangles et à l’ancien polygone : ceci donne 𝑃) (cf. Figure 2).
On répète cette opération et on obtient une suite de polygones 𝑃6, 𝑃), 𝑃?, … 𝑃" dont le troisième et quatrième sont représentés sur les figures 3 et 4.
Pour le polygone 𝑃", on désigne par :
§ 𝑐" le nombre de ses côtés ;
§ 𝑙" la longueur de chaque côté ;
§ 𝑝" son périmètre ;
§ 𝐴" son aire.
1) Déterminer 𝑐6, 𝑙6, 𝑝6, 𝐴6 puis 𝑐), 𝑙), 𝑝), 𝐴).
2) a) Calculer 𝑐"<6 en fonction 𝑐". En déduire 𝑐" en fonction de 𝑛.
b) Calculer 𝑙"<6 en fonction 𝑙". En déduire 𝑙" en fonction de 𝑛.
c) Calculer 𝑝" en fonction 𝑛. En déduire lim
"→<r𝑝".
3) a) Montrer par récurrence que, pour tout entier 𝑛 > 1, on a :
𝐴" = 𝐴6+√3
12t1 +4
9+ ⋯ u4 9v
";)
w b) Déterminer lim
"→<r𝐴". On justifiera la réponse.
