DM2:Suites récurrence

DM2:Suites récurrence

Soitaetb deux nombres réels vérifiant : 0< a < b.

On définit les suites⎧ (un)et(vn)par :

⎨

⎩

u0=a

un+1= 2u_nv_n un+vn

et

( v0=a

v_n+1= u_n+v_n 2

1. Démontrer que(un)et (vn)sont des suites à termes strictement positifs 2. On pose, pour tout entiern:wn =vn−un.

Démontrer que0≤w_n+1≤ 1

2w_n.et en déduire par récurrence que : ∀n∈N,0≤w_n ≤b−a 2ⁿ . 3. Démontrer que la suite(u_n)est croissante et que la suite(v_n)est décroissante.

4. Que peut-on en déduire pour les suites (u_n)et(v_n)?

5. A l’aide de la suite(u_nv_n)dont le terme général est le produit des termes généraux des deux suites précédentes, déterminer la valeur limite commune des suites(u_n)et(v_n).

Application : En prenanta= 3etb= 5,déterminer à l’aide des suites(u_n)et(v_n)un encadrement d’amplitude inférieure à10⁻² de√

15par deux rationnels.