Suites et récurrence
1. Quelques rappels sur les suites Une suite est
Suite définie par l’expression du terme général Suite définie par récurrence
Suite majorée, minorée, bornée Suite croissante, décroissante
Représentation d’une suite récurrente = ( )
On représente la fonction , et sur le même graphique la droite ∆ d’équation = . Ensuite, on place le point de coordonnées ( , 0) sur l’axe des abscisses.
On se déplace verticalement vers la courbe de pour construire le point , ( ) c’est-à-dire ( , ).
Ensuite, on cherche à obtenir comme une abscisse. Pour cela, on se déplace horizontalement jusqu’à la droite ∆. On conserve donc l’ordonnée , et sur ∆, est égal à . Ainsi on a construit le point ( , )
Et on recommence, déplacement vertical puis horizontal …
2. Le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence (on dit aussi par induction) permet de démontrer qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel
Il comporte quatre étapes
Préparation : on annonce la propriété à démontrer Initialisation : on montre que la propriété est vraie Hérédité : on montre que si est vraie, alors est vraie
Conclusion : c’est la phrase magique « D’après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel »
Exemple1 :
On considère la suite définie par = 0 et pour tout : = 2 + 1 On a ainsi = 1, = 3, = 7, = 15…
On conjecture une égalité
Prouvons par récurrence la propriété « pour tout entier naturel : = 2 − 1 » Initialisation : = 0 et 2 − 1 = 1 − 1 = 0, vérifié
Hérédité :
Soit tel que = 2 − 1. On veut démontrer que = 2 − 1 On sait que = 2 + 1 donc par hypothèse = 2 × (2 − 1) + 1 On obtient = 2 × 2 − 2 + 1
Or 2 × 2 = 2 et −2 + 1 = −1
On a bien = 2 − 1 et la propriété est héréditaire
Conclusion : d’après le principe de récurrence, la propriété = 2 − 1 est vraie pour tout entier naturel
Quelques remarques :
Exemple 2 :
Vous savez certainement que la somme 1 + 2 + 3 + ⋯ + est égale à Nous allons prouver que la somme = 1 + 2 + 3 + ⋯ + est égale à
( )( )
Initialisation pour = 1 : = 1 = 1 et ×( )×( )= 1, vérifié Hérédité : soit tel que = ( )( ).
On veut prouver que =( )( )( ( ) ), c’est-à-dire =( )( )( )
Par définition = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( + 1) , donc = + ( + 1) D’après l’hypothèse de récurrence, on obtient = ( )( )+ ( + 1) Reste à terminer le calcul : = ( )( ) ( ) =( )( ( ) ( )) Or pour tout : (2 + 1) + 6( + 1) = 2 + 7 + 6
et ( + 2)(2 + 3) = 2 + 7 + 6
On a bien finalement obtenu =( )( )( ) et la propriété est héréditaire D’après le principe de récurrence, on a pour tout entier ≥ 1 :
1 + 2 + ⋯ + = ( + 1)(2 + 1) 6
3. Autres démonstrations
a) Montrer qu’une suite récurrente est borné
Exemple : Soit ( ) définie par = 1 et, pour tout : = 1 + 2 Montrer que, pour tout : 1 ≤ ≤ 3
Initialisation pour = 0 : On a = 1 donc 1 ≤ ≤ 3 est vrai Hérédité : soit tel que 1 ≤ ≤ 3
Donc 2 ≤ 2 ≤ 6 et 3 ≤ 1 + 2 ≤ 7
Comme la fonction racine est croissante, on a √3 ≤ 1 + 2 ≤ √7, c’est-à-dire
√3 ≤ ≤ √7 et à plus forte raison 1 ≤ ≤ 3, ce qui prouve l’hérédité D’après le principe de récurrence, pour tout ≥ 0 : 1 ≤ ≤ 3
b) Montrer qu’une suite récurrente est croissante (ou décroissante)
Faisons-le pour la suite précédente : on va montrer par récurrence que, pour tout : ≤
Initialisation : = 1, = √3, on a bien ≤
Hérédité : soit tel que ≤ . On veut prouver que ≤
Par hypothèse, ≤ donc 2 ≤ 2 , 1 + 2 ≤ 1 + 2 , donc 1 + 2 ≤ 1 + 2 , ce qui est bien l’inégalité ≤
D’après le principe de récurrence, on a bien pour tout : ≤ et la suite est croissante
Remarques :
On aurait pu démontrer d’un seul coup les deux, en prouvant par récurrence que, pour tout : 1 ≤ ≤ ≤ 3
On aurait pu utiliser les variations de la fonction ∶ → √1 + 2 pur s’éviter tout calcul
c) Montrer une inégalité :
On va démontrer l’inégalité de Bernoulli : pour tout ≥ 0, pour tout entier naturel : (1 + ) ≥ 1 +
Initialisation : pour = 0, (1 + ) = 1, 1 + 0 × = 1, il y a égalité donc l’inégalité large est vraie
Hérédité : soit tel que (1 + ) ≥ 1 + .
On veut démontrer que (1 + ) ≥ 1 + ( + 1) . Or (1 + ) = (1 + ) × (1 + )
D’après l’hypothèse de récurrence, (1 + ) ≥ 1 +
On multiplie cette inégalité par le réel positif 1 + , elle ne change pas de sens On obtient (1 + ) ≥ (1 + )(1 + )
Or (1 + )(1 + ) = 1 + + + = 1 + ( + 1) + ≥ 1 + ( + 1)
car est positif
On a donc (1 + ) ≥ (1 + )(1 + ) ≥ 1 + ( + 1) et la propriété est héréditaire.
D’après le principe de récurrence, on a pour tout : (1 + ) ≥ 1 +
4. Algorithmes
Calculer un terme donné d’une suite récurrente
Déterminer le premier terme d’une suite (récurrente ou non) qui dépasse une valeur donnée
