» . Nous pouvons déduire de ce résultat que

D1858. La saga de l'angle de 45° (2ième épisode) ****

Soit un triangle ABC dont l'angle en A est égal à 45°. On trace l'orthocentre H et le point M milieu du côté BC. Les droites symétriques de la droite AM respectivement par rapport aux hauteurs BB1 et CC1

du triangle ABC se rencontrent au point X. Démontrer que AX = BC.

Proposition Th Eveilleau

Dans l’exercice D1877 (1^er épisode) de Diophante, il a été démontré que :

«

» . Nous pouvons déduire de ce résultat que

(*)

Nous allons maintenant démontrer que AH = BC.

Soit (O) le cercle circonscrit au triangle ABC.

Soit H l’orthocentre du triangle ABC.

Soit H’ le point diamétralement opposé à B sur le cercle (O).

Le triangle BAH’ inscrit dans (O) est rectangle car [BH’] est un diamètre de (O).

Ainsi (H’A) (BA)

Comme (CH) (BA) il s’ensuit (H’A) // (CH)

De même BCH’ inscrit dans (O) est rectangle car [BH’] est un diamètre de (O).

Et (H’C) (BC)

Comme (HA) (BC) il s’ensuit (H’C) //(HA) Des deux relations (H’A) // (CH) et (H’C) //(HA),

nous déduisons que le quadrilatère HAH’C est un parallélogramme.

Il s’ensuit que AH = H’C.

(**)

= = 45° car ce sont des angles inscrivant le même arc dans le cercle (O).

Il s’ensuit que le triangle rectangle BCH’ est un triangle rectangle isocèle et que BC = H’C

(***)

Des deux relations

(**)

(***)

(*) :

nous concluons AX = BC

CQFD.

Remarques sur la figure

Soient (D1) et (D2) respectivement les droites symétriques de (AM) par rapport à (BB1) et (CC1).

 = 45°, donc = 45°, puisque le triangle BB1A est rectangle.

Ce triangle est donc rectangle isocèle et BB1 = AB1. Idem pour le triangle CB₁H.

 HAH’C étant un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu et I est le milieu de [AC]et de HH’.

Le symétrique de l’orthocentre H par rapport au milieu de [AC] est bien sur (O).

 Les deux hauteurs (CC1) et (BB1) se coupent en formant un angle de 45°.

En effet ces deux hauteurs sont respectivement perpendiculaires aux deux côtés de = 45° . Le triangle HB1C est donc rectangle isocèle et HB1 = CB1.

 (D1) a pour symétrique (AM) par rapport à (BB1).

(AM) a pour symétrique (D2) par rapport à (CC1).

Donc (D1) a pour image (D2) dans la composition de deux symétries axiales se coupant en H.

rotation de centre H et d’angle 90° = 2 * 45°

Nous avons donc (D1) (D2).