Exercices du bac sur les suites (feuille 3)
I Polynésie juin 2001
Monsieur A emprunte 40000 F à un taux de 5%. Il désire effectuer chaque année, à la date anniversaire de l’obtention du prêt, des remboursements constants de 6000 F, sauf éventuellement la dernière année où le remboursement pourra être moindre. Ces 6000 F com- prennent le remboursement des intérêts sur le capital dû et un amortissement du capital.
Le but de l’exercice est de déterminer le nombre p d’an- nées nécessaires pour effectuer le remboursement de ce prêt.
Pour tout entier naturel n, on désigne par Cn le capital, exprimé en francs, restant dû après len-ième remboursement. On a donc : C0=40000 et C1=36000.
1. (a) Montrer que C2=31800.
(b) Montrer que, pour tout entier natureln tel que 0Én<p, l’égalité suivante est vraie :
Cn+1=1, 05Cn−6000.
2. Pour tout entier naturel n tel que 0 Én <p on pose Un= Cn−αoùαest un réel.
(a) Déterminer α pour que les nombres Un soient les termes successifs d’une suite géo- métrique de raison 1,05 dont on détermi- nera le premier terme.
(b) En déduire, dans ce cas, l’expression de Un en fonction den, puis celle de Cn en fonc- tion den.
3. Déterminer le plus petit entier n tel que Cn <
6000.
On appelle cet entier n0. Calculer alors Cn0, et le montant du (n0+1)-ième remboursement.
Quelle a donc été la duréepdu remboursement ? Quel est le montant du remboursement total ? (Les résultats seront arrondis au centime.)
II France juin 2001
Un club de sport propose deux types d’abonnement non permutables.
FormuleA : une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s’ajoute la première année seulement un droit d’entrée de 10000 F.
FormuleB : une cotisation annuelle initiale de 1000 F qui augmente de 10% par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 50 F sur la cotisation annuelle. Si C, est le montant, ex- primé en francs, de la cotisation annuelle lan-ième an- née, on a C1=1000, et pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, on a Cn+1=1, 1Cn−50.
1. Déterminer la somme Tnversée au club de sport par membre pendantnannées avec la formule A.
2. Soit (Dn) la suite définie pour tout entiernsupé- rieur ou égal à 1 par Dn=Cn+αoùαest un réel.
Déterminer le réelαpour que la suite (Dn) soit une suite géométrique de raison 1,1 et préciser le terme initial de la suite.
3. On suppose dans cette question queα= −500.
(a) Exprimer Dnpuis Cnen fonction den. (b) Soit Sn la somme versée au club par un
membre pendantn années avec la formule B.
Montrer que Sn=5000£
(1, 1)n−1¤
+500n.
(c) Quel nombre minimum d’années un membre doit-il cotiser pour que la formule A soit plus avantageuse que la formule B ?
III Nouvelle Calédonie juin 2002
Une personne place, le 1er janvier 2001, sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 4 %, une somme deaeuros.
De plus, chaque 1erjanvier des années suivantes, c’est- à-dire au le 1er janvier 2002, 1er janvier 2003, . . . , etc, elle place sur ce compte la somme de 1000 euros.
On poseU0 =a. Plus généralement, pour tout entier naturel n, on appelleUn la somme disponible sur le compte, le 1erjanvier de l’année (2001 +n).
1. (a) Justifier que, pour tout entier natureln, on a :Un+1=1, 04Un+1000.
(b) Montrer que cette suite n’est ni arithmé- tique, ni géométrique.
2. Optimisation du placement sur une durée de quatre ans.
On poseVn=Un+2500.
(a) Vérifier que la suiteVn est géométrique, de raison 1,04. Préciser son premier terme en fonction dea.
(b) ExprimerVnen fonction deaetn.
(c) En déduire que, pour tout entiern : Un= 1, 04n×(a+25000)−25000.
3. Optimisation du placement sur une durée de quatre ans
Calculer à 0,01 euro près le placement initial mi- nimalapermettant de disposer sur ce compte, le 1er janvier 2005, d’une somme d’au moins 15000 euros.
