LES SUITES EXERCICES BAC

Les suites, exercices bac TES 1/4

LES SUITES EXERCICES BAC

I. D après Asie juin 2015

Valentine place un capital c 0 dans une banque le 1 ^er janvier 2014 au taux annuel de 2 %. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s’élèvent à 25 € par an.

On note c n la valeur du capital au 1 ^er janvier de l’année 2014 + n.

Partie A

1. On considère l’algorithme ci-dessous : N  0

Tant que C < 2 000 faire N  N + 1 C  1,02C − 25 Fin Tant que

2.

a. Au début de l algorithme, C a la valeur 1 900. Pour cette valeur de C , recopier le tableau ci- dessous et le compléter, en suivant pas à pas l’algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.

Valeur de

N 0

Valeur de

C 1 900

b. Quel est la valeur de N à la fin de l algorithme ? Dans le contexte de l’exercice, interpréter ce résultat.

3. Que se passerait-il si au début de l algorithme, C avait pour valeur 1 250 ? Partie B

Valentine a placé 1 900 € à la banque au 1 ^er janvier 2014. On a donc c 0 1 900.

1. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a : c n+1 1, 02c n − 25.

2. Soit (u n ) la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par u n c n − 1 250.

a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Soit n un nombre entier naturel ; exprimer u n en fonction de n.

En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : c n 650 × 1, 02 ⁿ + 1 250.

3. Montrer que la suite (c n ) est croissante.

4. Déterminer le nombre d’années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse 2 100 €.

II. Métropole sujet dévoilé juin 2013

Un industriel étudie l’évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu’il l’a achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an.

Du fait de l’usure de la machine, la production diminue de 2 % par an.

On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l’année (2000 + n) par une suite (U n ). On a donc U 0 = 120 000.

1. Montrer que pour tout entier naturel n : U n = 120 000 0,98 ⁿ . 2.

a. Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ? b. Déterminer la limite de la suite ( ^U

) .

c. Cet industriel décide qu’il changera la machine lorsqu’elle produira moins de 90 000 jouets

par an. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette de déterminer le plus

petit entier naturel n tel que U N < 90 000.

Les suites, exercices bac TES 2/4

A  12 000 n  0

tant que A > 90 000

n prend la valeur ...

...

3.

a. Exprimer 1 + 0,98 + 0,98 ² + · · · + 0,98 ⁿ en fonction de n.

b. On pose S n U 0 + U 1 + U 2 + · · · + U n . Montrer que S n 6 000 000 (1 − 0,98 ⁿ⁺¹ ).

c. En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production.

III. Métropole juin 2018.

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de 10 m. On mesure le niveau de l’eau chaque jour à midi.

Le 1 ^er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6,05 m.

Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

• d’abord une augmentation de 6% (apport de la rivière);

• ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).

1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite ( u n ) n , le terme u n représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1 ^er janvier 2018.

Ainsi le niveau d’eau du lac, en cm, le 1 ^er janvier 2018 est donné par u 0 605.

a. Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.

b. Montrer que, pour tout n de , u

1,06u

15.

2. On pose, pour tout n de , v n u n −250.

a. Montrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 1,06. Préciser son terme initial.

b. Montrer que, pour tout n de , u n 355 1,06

250.

3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.

a. Déterminer la limite de la suite (u n ).

b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d’eau? Justifier la réponse.

4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.

N 0 U 605

Tant que ...

U...

NN 1 Fin Tant que

a. Recopier et compléter l’algorithme.

b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable N ?

c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du barrage.

IV. Pondichéry juin 2018.

On considère la suite ( ) ^u

définie par u

65 et pour tout entier naturel n, u

0,8u

18.

1. Calculer u

et u

.

2. Pour tout entier naturel n, on pose : v

u

90.

a. Démontrer que la suite ( ) ^v

est géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur de v

.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u

90 25 0,8

.

Les suites, exercices bac TES 3/4

3. On considère l’algorithme ci-dessous : u65

n0

Tant que …………..

n n+1

u …………

Fin Tant que

a. Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturel n tel que u

85.

b. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l’exécution de l’algorithme?

4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52€ par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio. En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement. Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :

• d’un mois à l’autre, environ 20% des abonnements sont résiliés;

• chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.

a. Justifier que la suite ( ) ^u

permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le n

mois qui suit le mois de juillet 2017.

b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4420€

durant l’année 2018? Justifier la réponse.

c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette?

Argumenter la réponse.

V. Pondichéry avril 2017.

Soit la suite ( ) ^u

définie par u

150 et pour tout entier naturel n, u

0,8u

45.

1. Calculer u

et u

.

2. Voici deux propositions d’algorithmes : 150U

0N

Tant que U 220 U0,8U+45 N N+1

150U 0N

Tant que U 220 U0,8U+45 NN+1

a. Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que u

220.

Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas.

b. Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ? 3. On considère la suite ( ) ^v

définie pour tout entier naturel n par : v

u

225.

a. Démontrer que ( ) ^v

est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

b. En déduire que pour tout entier naturel n, u

225 75 0,8

.

4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150. On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :

•20 % des participants ne reviennent pas l’année suivante ;

• 45 nouveaux participants s’inscrivent à la course.

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250.

Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir? Justifier la réponse.

Les suites, exercices bac TES 4/4

VI. D après Antilles-Guyane juin 2018.

On définit deux suites ( ) ^u

^et ( ) ^v

par, pour tout entier naturel n,

 

 u

10

u

u

0,4 et

 

 v

8

v

1,028v

1.

a. Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique; donner leurs raisons respectives.

b. Exprimer u

et v

en fonction de l’entier naturel n.

2. On donne l’algorithme suivant dans lequel n est un entier naturel, et U et V des réels.

n0 U 10 V 8

Tant que U V U U 0,4 V V 1,028 nn 1 Fin Tant que

En sortie de cet algorithme, n a pour valeur 46. Interpréter ce résultat.