Année 2000-2001
EMD 2 : Mécanique Rationnelle Durée : 1h 30 mn
Partie I : (10 pts)
1) Soit une plaque carrée de côté a , homogène, de masse m . Déterminer la matrice d’inertie au point O, par rapport au repère Oxyz. Le centre de masse de la plaque est en O, l’axe (Ox) étant perpendiculaire à cette dernière.
2) A l’aide de plaques similaires, on construit une boite cubique. On désigne par O2 , le centre de masse de la boite.
a) Donner les coordonnées des centres de masse des faces de la boite, par rapport au repère
2 2 2
2x y z
O ;
b) Déterminer la matrice d’inertie au point O2 , par rapport au repère O2x2y2z2. On note par M la masse de la boite
c) Le repère O2x2y2z2 est-il un repère principal d’inertie ?
d) Calculer le moment d’inertie de la boite par rapport à l’axe passant par les points O2 et F.
z
x
y
a o
A B
E F )
,2 ,2 (−2a a a
G z
x
y
D C
H O2
Partie II : (10 pts)
On pratique deux petits trous dans les faces supérieure et inférieure AEFB et CDHG
respectivement, en leur centre, puis on enfile la boite sur une tige mince, sur laquelle elle peut glisser et autour de laquelle elle peut tourner. Le système est en mouvement et est décrit par les schémas ci-dessous.
On note
→
−
−
= − 2
) (t OO
r . On déduit les repères suivants : )
, , ,
( 0 0 0
0 O x y z
R repère fixe ;
) , , ,
( 1 1 1
1 O x y z
R repère lié à la tige ; )
, , ,
( 2 2 2
2 O x y z
R repère lié à la boite.
Calculer :
a) La vitesse instantanée de rotation
0 2
Ω→ de la boite par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) et dans R2(O,x2,y2,z2) ;
b) La vitesse du point O2 par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ; c) La vitesse du point M par rapport à R2(O,x2,y2,z2) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ; d) La vitesse d’entraînement du point M , R2(O,x2,y2,z2) étant le repère relatif, exprimée
dans R1(O,x1,y1,z1) ;
e) La vitesse du point M par rapport à R0(O,x0,y0,z0)et exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ; f) L’accélération du point O2 par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ; g) L’accélération du point M par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ;
θ
θ y→0
→
z0
→
→ 1 0,x x
→
→ 2 1,z z
→
x2
→
y2
→
y1
O2
→
x2
→
x1
→
y2
→
y1
ϕ ϕ O2
M
Solution :
La plaque est un solide plan de masse m=σ a2 dont l’axe Ox est l’axe perpendiculaire à celle-ci alors :Ixx =Iyy +Izz
Les axes Oy et Oz jouent le même rôle d’où : Iyy =Izz
Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie : Ixy =Ixz =Iyz =0
On choisi un élément de masse dm=σdydz de coordonnées (0 , y , z) tel que : 2
2 y a a ≤ ≤
− ;
2 2
z a a ≤ ≤
− On aura ainsi :
12 12
. . .
) (
2 2 4
/
2 /
2 2
/
2 / 2
2 2
2 a ma
dz z dy dydz
z dm z dm z x I
a a S
a a S
S
yy =
∫
+ =∫
=∫
=∫ ∫
= =−
−
σ σ σ
12 12
. . .
) (
2 2 4
/
2 / 2
/
2 /
22 2
2 2
2 a ma
dz dy y dydz
y dm y dm y x I
a a S
a a S
S
zz =
∫
+ =∫
=∫
=∫ ∫
= =−
−
σ σ σ
2 6
ma2
I I I
Ixx = yy + zz = yy =
Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre O est :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0 12 0
12 0 0
0 6 0
) (
2 2
2
ma ma
ma
S IO
2.a. Coordonnées des centres d’inertie de chaque plaque formant la boite :
La boite est composée de six plaques identiques symétriques deux à deux par rapport au repère )
, , ,
(O2 x2 y2 z2
R , O2 est aussi le centre d’inertie de la boite.
Les centres d’inertie des plaques ont pour coordonnées :
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ , 0, 0 : 2
)
( a
ABCD ; ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛− , 0, 0 : 2
)
( a
EFGH
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ , 2 0 , 0 : )
( a
AEFB ; ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
, 2 0 , 0 : )
( a
DHGC
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ , 0
, 2 0 : )
( a
BFGH ; ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − , 0 , 2
0 : )
( a
AEHD
2.b. Matrice d’inertie de la boîte dans le repère R(O2,x2,y2,z2) ;
Comme la boîte est cubique, alors tous les plans sont des plans de symétrie et tous les axes jouent le même rôle. Nous aurons une matrice diagonale dont les éléments sont tous égaux.
On va procéder en cherchant les matrices d’inertie des plaques deux à deux.
Les plaques (ABCD) et (EFGH) ont les mêmes matrices d’inertie en leur centre d’inertie :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
=
0 12 0
12 0 0
0 6 0
) (
) (
2 2
2
ma ma
ma
EFGH I
ABCD
IG G , en utilisant le théorème de Huygens on déduit
leurs tenseurs d’inertie au point O2.
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
=
=
2 2 2 2
2
2 2
2 0 12
0
2 0 0 12
0 6 0
) (
) (
m a ma m a
ma ma
EFGH I
ABCD
IO O
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
=
0 3 0
3 0 0
0 6 0
) (
) (
2 2
2
2 2
ma ma
ma
EFGH I
ABCD
IO O
on déduit facilement par rotation des axes :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
=
0 3 0
6 0 0
0 3 0
) (
) (
2 2
2
2 2
ma ma
ma
AEHD I
BFGC
IO O
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
=
0 6 0
3 0 0
0 3 0
) (
) (
2 2
2
2 2
ma ma
ma
DHGC I
AEFB
IO O
) (
2 ) (
2 ) (
2 )
( 2 2 2
2 boite I ABCD I BFGC I AEFB
IO = O + O + O
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0 6 0
3 0 0
0 3 0
2
0 3 0
6 0 0
0 3 0
2
0 3 0
3 0 0
0 6 0
2 ) (
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
ma ma
ma
ma ma
ma
ma ma
ma
boite IO
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
3 0 5
0
3 0 0 5
0 3 0
5 ) (
2 2
2
2
ma ma
ma
boite IO
La masse de la boite est donnée par : M = 6m ⇒ 6
m= M la matrice s’écrirait :
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
0 18 0
18 0 0 5
0 18 0
5 ) (
2 2
2
2
Ma Ma
Ma
boite IO
2.c. Le repère R(O2,x2,y2,z2) est-il un repère principal d’inertie ?
Comme tous les plans de ce repère sont des plans de symétrie et que tous les axes ont le même rôle alors le repèreR(O2,x2,y2,z2) est un repère principal d’inertie. La matrice étant diagonale nous pouvons facilement le vérifier avec tous les axes.
En effet nous avons : IO2(boite).x→2 =Ixx(boite) de même pour les deux autres axes.
2.d. Moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe ∆ passant par O2 et F.
Nous avons :
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
→⎛−
−
−
2 /
2 /
2 /
2
a a a F
O , soit
→u le vecteur unitaire porté par cet axe, il s’écrira :
) (
3 1
2
2→ → → →
→ −−
+ +
−
=
= i j k
F O
F u O
Le moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe passant par O2 et F est donné par la relation :
→ →
∆ =u I boite u I T. O2( ).
18 5
3 1
3 1
3 1
0 18 0
18 0 0 5
0 18 0
5
3 , 1 3 , 1 3
1 2
2 2
2
Ma Ma
Ma Ma
I =
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛−
∆ =
18
5Ma2
I∆ = L’axe O2F est aussi un axe principal d’inertie.
Parie II.
a) Vitesse instantanée de rotation
0 2
Ω→ de la boite par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans )
, , ,
( 1 1 1
1 O x y z
R et dans R2(O,x2,y2,z2) ;
1 1 0 1
1 2
0
2
→
•
→
→ •
→
→ =Ω + Ω = −
Ω ϕ z θ x ; avec
2
2
1 cos sin
→
→
→x = ϕ x − ϕ y ;
2
1
→
→k = k
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧−
= + +
−
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
−
= Ω
•
•
•
→
•
→
•
→
•
→
→
•
→
→ •
ϕ ϕ θ
ϕ θ ϕ
ϕ θ ϕ θ ϕ
ϕ θ
ϕ sin
cos sin
cos sin
cos
2 2 2
2
2
2
2
0 2
R z y x
y x
z
b) Vitesse du point O2 par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ;
0 0 0 0 0 0 0
)
( 2
0 1 2 1 2 0 2 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
=
= •
•
•
•
→
−
→ −
→
−
−
→
−
→ −
r r r r
dt OO OO d dt
OO O d
V θ
θ
c) Vitesse du point M par rapport à R2(O,x2,y2,z2) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ;
2
2
2( ) 0
→ →
→ −−
=
= dt M O M d
V car O−−2M→ ∈R2 ( il est fixe dans R2(O,x2,y2,z2))
d) Vitesse d’entraînement du point M, R2(O,x2,y2,z2) étant le repère relatif, exprimée dans )
, , ,
( 1 1 1
1 O x y z
R ;
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
− +
−
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
=
∧ Ω +
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
−
→ −
→
−
→ −
−
ϕ θ
ϕ ϕ θ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
θ θ
sin 2
cos 2
sin 2
0 sin 2
cos 2 0
0
)
( 2
0 2 2 0
0 2
) (a/
r
) (a/
r
) (a/
) (a/
) (a/
r r M dt O
OO M d
V
e) Vitesse absolue du point M par rapport à R0(O,x0,y0,z0)et exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ;
0 2
0 2
2
0( ) ( ) ( ) ( )
→
→
→
→ M =V M +V M =V M
V
f) Accélération du point O2 par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− +
⎪ =
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧ +
=
∧ Ω +
=
=
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
−
−
→ →
−−
→
→ −−
2 1 1
1 1
2 0
0 1
2 0 1
2 0 0 2 0
2 0
0 0
0
0
) ) (
( )
) ( (
θ θ θ θ
θ θ
θ γ
r r
r r r R
r R R
r r r R
O dt V
O V d dt
O V O d
g) Accélération du point M par rapport à R0(O,x0,y0,z0) exprimée dans R1(O,x1,y1,z1) ;
⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ Ω ∧
∧ Ω + Ω ∧
+
= −−−→ → → −−−→
→ →
→
M O M
d O O
M 2
0 2
0 2 2
0 2 0
2 0
0
dt ) ( )
( γ
γ
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
+
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
= Ω
∧ Ω Ω + Ω =
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
→ →
→
ϕ θ ϕ
θ ϕ
θ θ
ϕ
θ
0
0 0 0
dt
dt
1 1
1 1
0 2
0 1 0 2 1
0 2 0
R R R
R d
d
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
⎪ +
⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧−
+
= •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
→
→
0 sin 2
cos 2 0
0
0 sin 2
cos 2
)
( ) (
1 1
1 1
1
2 0
0 ϕ
ϕ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
ϕ ϕ
θ ϕ
θ γ
γ (a/ )
) (a/
R R R
) (a/
) (a/
R R O M
θ a aθ
θ r r
θ a a θ a
r θ r
a a
(M) γ
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
− +
+
−
−
=
•
•
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
• •
•
→
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
cos 2 sin
2 sin 2 sin
2 cos 2
2 cos 2 sin
2
2 2
2
0
