Partie II : EXERCICE 2

(1)

"

Les calculatrices sont autoris´ees

Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème, tous indépendants.

(2)

Partie I : EXERCICE 1

Soit les suites r´eelles (un),(vn) et (wn) d´efinies par :

∀n∈N







un+1 = un + 3vn

vn+1 = 3un + vn + 4wn

wn+1 = 4vn + wn

et (u0, v0, w0) = (1,0,1).

I.1.

I.1.a Justifier sans calcul que la matriceA=



 1 3 0 3 1 4 0 4 1



∈ M³(R) est diagonalisable.

I.1.b Diagonaliser la matriceA∈ M³(R).

I.1.c D´eterminer la matriceAⁿpour toutn∈N.On pourra utiliser la calculatrice.

I.2. Expliciter les termesun, vnetwnen fonction den.

Partie II : EXERCICE 2

Soit n un entier supérieur à 2 et E un espace vectoriel sur R de dimension n. On appelle projecteur deE, tout endomorphismepdeEvérifiantp◦p=p.

II.1. Soitpun projecteur deE.

II.1.a D´emontrer que les sous-espaces vectoriels Ker(p) et Im (p) sont suppl´ementaires dansE.

II.1.b En déduire que la trace dep(notée Tr (p)) est égale au rang dep(noté rg (p)).

II.1.c Un endomorphismeudeEv´erifiant Tr (u) = rg (u) est-il n´ecessairement un projecteur deE?

II.2. Donner un exemple de deux matrices A et B de M³(R) de rang 1 telles que A soit diagonalisable etBne soit pas diagonalisable. Justifier la r´eponse.

II.3. Soituun endomorphisme deEde rang 1.

II.3.a D´emontrer qu’il existe une baseβ= (e1,· · ·, en) deEtelle que la matriceM atβ(u) deudansβsoit de la forme :

M atβ(u) =







0 · · · 0 a1

0 · · · 0 a2

... ... ...

0 · · · 0 an







∈ Mⁿ(R) o`ua1,· · ·, ansontnnombres r´eels.

II.3.b D´emontrer queuest diagonalisable si, et seulement si, la trace deuest non nulle.

II.3.c On suppose que Tr (u) = rg (u) = 1.D´emontrer queuest un projecteur.

II.3.d Soit la matriceA=





1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1



∈ M³(R).D´emontrer queAest la matrice d’un projecteur deR³dont on d´eterminera l’image et le noyau.

(3)

Partie III : PROBLEME

Notations et rappels

Soitnun entier supérieur à 1.On désigne par diag (α1,· · ·, α_n) la matrice diagonale deMn(R) dont les coefficients diagonaux sont les réelsα1,· · ·, α_ndans cet ordre. SiM∈ Mn(R),on note

tMsa transpos´ee.

On munit l’espace vectoriel E = Rⁿ du produit scalaire canonique noté | et de la norme euclidienne|| ||associée. On noteS(E) le sous-espace des endomorphismes symétriques deE, c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismessdeEvérifiant :

∀(x, y)∈E²,s(x)|y=x|s(y).

Un endomorphisme symétrique sdeE est dit symétrique positif (respectivement symétrique défini positif) si :

∀x∈E, s(x)|x0 (respectivement∀x∈E\ {0},s(x)|x>0).

Une matrice symétriqueS deMn(R) est dite symétrique positive (respectivement symétrique définie positive) si :

∀X∈ Mn,1(R), ^tXSX0 (respectivement∀X∈ Mn,1(R)\ {0}, ^tXSX >0).

On noteSn⁺(R) (respectivementSn⁺⁺(R)) l’ensemble des matrices symétriques positives (respectivement symétriques définies positives) deMn(R).

On rappelle qu’un endomorphismesdeE est symétrique (respectivement symétrique positif, symétrique défini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base orthonormée deEest symétrique (respectivement symétrique positive, symétrique définie positive).

On admet que, pour tous r´eels positifsa1,· · ·, a_n, _n

i=1

a_i ¹/n

1

n

i=1

a_i(inégalité arithmético-géométrique).

Objectif du probl`eme

On se donne une matriceSdeSn⁺(R) (ouSn⁺⁺(R)) et on ´etudie le maximum (ou minimum) de la forme lin´eaireA→Tr (AS) sur des ensembles de matrices.

Questions pr´ eliminaires

III.1.

III.1.a Enoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des endomorphismes symé- triques de l’espace euclidienEet sa version relative aux matrices symétriques réelles.

III.1.b Toute matrice symétrique à coefficients complexes est-elle nécessairement diagonalisable ? On pourra par exemple considérer la matrice deM2(C) :

S= i 1

1 −i

.

(4)

III.2. Soits∈ S(E),de valeurs propres (r´eelles)λ1,· · ·, λ_nrang´ees dans l’ordre croissant : λ1λ2· · ·λ_n.

Soitβ= (ε1,· · ·, ε_n) une base orthonormée de E telle que, pour touti∈ {1,· · ·, n}, ε_i est un vecteur propre associé à la valeur propreλ_i.Pour tout vecteurxdeE,on pose :

R_s(x) =s(x)|x.

III.2.a ExprimerR_s(x) `a l’aide desλ_iet des coordonn´ees dexdans la baseβ.

III.2.b En déduire l’inclusion : Rs(S(0,1)) ⊂ [λ1, λn] où S(0,1) désigne la sphère unité deE.

III.3.

III.3.a On suppose dans cette question quesest symétrique positif (respectivement symétrique défini positif). Démontrer que les valeurs propres dessont toutes positives (respectivement strictement positives).

III.3.b SoitS= (si,j)∈ Sn⁺(R),de valeurs propresλ1,· · ·, λ_nrang´ees dans l’ordre croissant : 0λ1λ2· · ·λ_n.

On note s l’endomorphisme de E représenté par S dans la base canonique B= (e1,· · ·, e_n).Exprimer le terme générals_i,jdeScomme un produit scalaire et démontrer que :

∀i∈ {1,· · ·, n} λ1s_i,iλ_n.

Un maximum sur O

ⁿ

( R )

On noteInla matrice unit´e deMn(R) etOn(R) le groupe des matrices orthogonales deMn(R).

III.4. D´emontrer que l’applicationM → ^tM M−I_nest continue deMn(R) dansMn(R).

III.5. Justifier que, siA= (ai,j) est une matrice orthogonale, alors :

∀(i, j)∈ {1,· · ·, n}² |a_i,j|1.

III.6. En d´eduire que le groupe orthogonalOn(R) est une partie compacte deMn(R).

III.7. SoitS∈ Sn⁺(R),de valeurs propres (positives)λ1,· · ·, λ_n.On pose ∆ = diag(λ1,· · ·, λ_n).

SiAest une matrice orthogonale, on noteT(A) le nombre r´eelT(A) = Tr (AS).

III.7.a Soit A∈ On(R).D´emontrer qu’il existe une matrice orthogonale B telle que : T(A) = Tr (B∆).

III.7.b D´emontrer que l’application T de On(R) dansR admet un maximum sur On(R), que l’on noterat.

III.7.c Démontrer que, pour toute matrice orthogonaleAdeOn(R), T(A)Tr (S), puis déterminer le réelt.

(5)

In´ egalit´ e d’Hadamard

SoitS= (s_i,j)∈ Sn⁺(R),de valeurs propres (r´eelles positives)λ1,· · ·, λ_nrang´ees dans l’ordre croissant :

0λ1λ2· · ·λ_n. III.8. Démontrer l’inégalité valable pour toutS∈ Sn⁺(R) :

det(S) 1

nTr (S) n

(∗).

III.9. Soit α = (α1,· · ·, α_n) ∈ Rⁿ, D = diag (α1,· · ·, α_n) et S_α = ^tDSD. D´emontrer que S_α∈ Sn⁺(R) et calculer Tr (Sα).

III.10. Dans cette question, on suppose que les coefficients diagonauxs_i,ideS sont strictement positifs et, pour 1 i n, on poseα_i = 1

√s_i,i.En utilisant l’inégalité (∗),démontrer que :

det(S)

n

i=1

s_i,i.

III.11. Pour tout r´eelε >0,on poseS_ε=S+εI_n.D´emontrer que det(Sε) n i=1

(si,i+ε), puis conclure que :

n

i=1

λ_i

n

i=1

s_i,i (in´egalit´e d’Hadamard).

Application de l’in´ egalit´ e d’Hadamard : d´ etermination d’un minimum

Soit S ∈ Sn⁺⁺(R), de valeurs propres 0 < λ1 · · · λ_n, et ∆ = diag (λ1,· · ·, λ_n). Soit Ω ∈ On(R) telle que S = Ω∆^tΩ. On désigne parU l’ensemble des matrices de Sn⁺⁺(R) de déterminant égal à 1.

III.12. D´emontrer que, pour toutA∈ U,la matriceB= ^tΩAΩ est une matrice deU v´erifiant : Tr (AS) = Tr (B∆).

III.13. D´emontrer que{Tr (AS)\A∈ U}={Tr (B∆)\B∈ U},puis que ces ensembles admettent une borne inf´erieure que l’on noteram.

III.14. D´emontrer que, siB= (bi,j)∈ U :

Tr (B∆)n(λ1· · ·λn)^1/n(b1,1· · ·bn,n)^1/n. III.15. En d´eduire que, pourB= (bi,j)∈ U,Tr (B∆)n(det(S))¹^/n. III.16. Pour tout entierktel que 1kn, on poseµ_k= 1

λ_k(det(S))^1/netD= diag(µ1,· · ·, µ_n).

D´eterminer le r´eelm.

Fin de l’´enonc´e