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Partie II. Conjugaison par une matrice de rotation.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Énoncé

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥2 et E = (e1,· · · , en) une base orthonormée. Son produit scalaire est noté< / >.

Pour tout(p, q)∈J1, nK

2avecp < qet toutθ∈

π2,π2

, on dénit l'endomorphismerp,q,θ deE par l'image de la baseE :

∀i∈J1, nK, rp,q,θ(ei) =





ei sii6=pet i6=q cosθep+ sinθeq sii=p

−sinθep+ cosθeq sii=q

On noteRp,q(θ)la matrice derp,q,θ dansE et, pour touti∈J1, nK,e0i=rp,q,θ(ei). Pour toute matriceM = (mi,j)(i,j)∈

J1,nK2 on note kMk2= X

(i,j)∈J1,nK2

m2i,j= tr(tM M)

On ne demande pas de prouver la dernière égalité.

Partie I. Questions préliminaires.

1. On se donne quatre nombres réelsa≤b≤c≤dtels quea+d=b+c. Montrer que la fonctionx7→ |x−a| − |x−b| − |x−c|+|x−d|est à valeurs positives.

2. Montrer les trois propriétés suivantes

l'endomorphismerp,q,θ conserve le produit scalaire, la matriceRp,q(θ)est orthogonale,

la familleE0 = (e01,· · · , e0n)est orthonormée.

Partie II. Conjugaison par une matrice de rotation.

Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans la base E est symétrique. On la noteS= (si,j)(i,j)∈

J1,nK2. On supposesp,q 6= 0et on pose S0= s0i,j

(i,j)∈J1,nK

2= tRp,q(θ)S Rp,q(θ).

1. Montrer queS0 est symétrique et que

∀(i, j)∈J1, nK

2, s0i,j=< e0i/f(e0j)> .

2. Calcul deS0.

a. Exprimers0p,p ets0q,q en fonction desp,p,sq,q,sp,q. En déduire s0p,p+s0q,q=sp,p+sq,q

b. Exprimers0p,q en fonction desp,p, sq,q,sp,q.

c. Pourk /∈ {p, q}, exprimers0p,k ets0q,k en fonction desp,k,sq,k. 3. On cherche unθ pour lequels0p,q= 0.

a. Montrer ques0p,q = 0si et seulement sitanθest une solution de l'équation d'in- connuet

t2+sp,p−sq,q

sp,q t−1 = 0 (1)

b. Montrer que cette équation admet une unique solution t0 ∈]−1,+1]. On note θ0= arctant0. Dans la suite de cette partie, on suppose θ=θ0.

4. Montrer que :

sp,p−sq,q= 1−t20 t0

sp,q, s0p,p−sp,p=t0sp,q, s0q,q−sq,q=−t0sp,q. 5. On décomposeS sous la forme S =D+E avecD diagonale et E à diagonale nulle.

On décompose de mêmeS0 enS0=D0+E0. a. Montrer que

kE0k2=kEk2−2s2p,q. b. Montrer que

kS0k2=kSk2, kSk2=kDk2+kEk2, kS0k2=kD0k2+kE0k2. En déduire une expression dekD0k2 en fonction dekDk2 ets2p,q.

6. Montrer que les coecients deS0 s'expriment uniquement en fonction de ceux deSet det0= tanθ0.

7. On suppose dans cette question quesp,q est le coecient de E de plus grande valeur absolue parmi lessi,j aveci6=j.

a. Montrer quekEk2≤n(n−1)s2p,q. En déduire une minoration des2p,q en fonction dekEket de n.

b. Montrer quekE0k ≤ρkEk oùρ <1 est une constante que l'on précisera.

(2)

c. Montrer quekD−D0k ≤ kEk.

8. a. En utilisant les questions II.2. et II.4., montrer que s0q,q−s0p,p=−1 +t20

t0

sp,q.

b. En calculant(s0q,q−s0p,p)2−(sq,q−sp,p)2, montrer que s0q,q−s0p,p

≥ |sq,q−sp,p|.

9. a. Montrer quesp,p−s0p,pet s0q,q−sq,q sont du même signe quesq,q−sp,p. b. Soiti∈J1, nK, montrer que

si,i−s0q,q +

si,i−s0p,p

− |si,i−sp,p| − |si,i−sq,q| ≥0 10. On dénit

R= X

(i,j)∈J1,nK2

|si,i−sj,j|, R0= X

(i,j)∈J1,nK2

s0i,i−s0j,j

Montrer que

R0−R≥2

s0q,q−sq,q

+

s0p,p−sp,p

= 2

n

X

i=1

s0i,i−si,i

.

Partie III. Algorithme.

Soit A(m)

m∈N une suite quelconque de matrices dans Mn(R). On dit que A(m)

m∈N

converge vers A∈ Mn(R)si la suite de réels

A(m)−A

m∈N converge vers 0. Ceci est équivalent à :

∀(i, j)∈J1, nK

2, a(m)i,j

m∈N

→ai,j. On ne demande pas de le démontrer.

Dans l'algorithme de Jacobi, on part d'une matriceΣsymétrique et on construit une suite Σ(m)

m∈Nde matrices symétriques. Les coecients deΣ(m)sont notésσi,j(m). On poseΣ(0)= Σ.

LorsqueΣ(m)est connu, on considèrepmetqmavecpm< qmet tels queσp−m,q(m) m soit le coecient deΣ(m) de plus grande valeur absolue.

On applique alors les calculs de la partie II à la matriceS= Σ(m)et au couple(pm, qm). La matriceΣ(m+1)est alors la matriceS0 étudiée en II.

1. Soitm∈N. On dénit

Rm= X

(i,j)∈J1,nK2

σ(m)j,j −σ(m)i,i .

a. Montrer que

Rm≤2(n−1)

n

X

j=1

σ(m)j,j

,

n

X

j=1

σj,j(m)

2

≤n

n

X

j=1

σj,j(m)

2

.

b. Montrer que

Rm≤2(n−1)√ nkΣk. 2. Pourm∈N, on dénit

m=

n

X

i=1

σ(m+1)i,i −σ(m)i,i .

Vérier queRm+1−Rm≥2m. En déduire que la série(Pm)m≥1 est convergente.

3. On décomposeΣ(m)enΣ(m)=D(m)+E(m)avecD(m)diagonale etE(m)à diagonale nulle.

a. Montrer que D(m)

m∈Nest convergente.

b. Montrer que E(m)

m∈Nconverge vers la matrice nulle.

(3)

Corrigé

D'après X-ens 2013 PC

Partie I. Questions préliminaires.

1. Notonsf la fonction considérée, en exprimant les valeurs absolues dans les diérents cas, on obtient

x ]− ∞, a] [a, b] [b, c] [c, d] [d,+∞[

f(x) 0 2(x−a) 2(d−c) 2(d−x) 0

L'hypothèsea+d=b+c intervient pourf(x) = 0dans les deux intervalles innis.

On en déduit quef est à valeurs positives.

2. L'équivalence entre les trois propriétés est un résultat de cours. La base obtenue à partir de E en permutant les vecteurs de manière à ce que les deux premiers soient ep et eq est orthogonale. Dans cette base, la matrice de rp,q,θ est diagonale par blocs orthogonaux :

cosθ −sinθ sinθ cosθ

In−2

Le bloc en haut à gauche est la matrice d'une rotation du plan. Avec le produit matri- ciel par blocs, on vérie facilement que cette matrice est orthogonale donc querp,q,θ

conserve le produit scalaire.

Partie II. Conjugaison par une matrice de rotation.

1. La matriceS0 est symétrique d'après les propriétés usuelles de la transposition.

En regardant Rp,q(θ) comme la matrice de passage (orthogonale) de E dans E0, la dénition de S0 apparait comme une formule de changement de base. La matrice S0 est donc la matrice def dans la base orthonorméeE0. On en déduit

s0i,j= coordonnée selone0i def(e0j) =< e0i/f(e0j)> . 2. Calcul deS0.

a. D'après 1. et l'orthogonalité de la famille :

s0p,p=< e0p/f(e0p)>=<cosθep+ sinθeq/cosθf(ep) + sinθf(eq)>

=<cosθep+ sinθeq/cosθ(sp,pep+sq,peq) + sinθ(sp,qep+sq,qeq)>

= cos2θsp,p+ cosθsinθsp,q+ sinθcosθsq,p+ sin2θsq,q

= cos2θsp,p+ 2 cosθsinθsp,q+ sin2θsq,q.

Par un calcul analogue avece0q=−sinθep+ cosθeq, on trouve s0q,q= sin2θsp,p−2 cosθsinθsp,q+ cos2θsq,q. En sommant les deux expressions, on obtient

s0p,p+s0q,q=sp,p+sq,q

b. Le principe du calcul est le même qu'au dessus. On trouve s0p,q =−cosθsinθsp,p+ cos2θ−sin2θ

sp,q+ cosθsinθsq,q.

c. De même pourk /∈ {p, q}, on trouve :

s0p,k= cosθsp,k+ sinθsq,k, s0q,k=−sinθsp,k+ cosθsq,k (2) 3. a. Comme−π2 <cosθ < π2, on peut diviser parcos2θ6= 0. D'après 2.a.,

s0p,q= 0⇔ −tanθ sp,p+ (1−tan2θ)sp,q+ tanθ sq,q= 0

⇔sp,qtan2θ+ (sp,p−sq,q) tanθ−sp,q = 0 Commesp,q 6= 0, on a bien prouvé ques0p,q = 0si et seulement sitanθest solution de l'équation ent:

t2+sp,p−sq,q sp,q

t−1 = 0 (3)

b. L'équation3 admet deux racines réelles car son discriminant est strictement po- sitif. Le produit de ces deux racines est−1donc le produit des deux modules est 1. Ceci montre que exactement une des deux est dans ]−1,1[. On la note t0 et on poseθ0= arctant0.

(4)

4. La première relation est une simple reformulation de l'équation tan2θ0+sp,p−sq,q

sp,q

tanθ0−1 = 0⇔sp,p−sq,q=sp,q

1−tan2θ0

tanθ0

On reprend les formules de la question2 pour les exprimer avect0= tanθ0. s0p,p−sp,p= (cos2θ0−1)sp,p+ 2 cosθ0sinθ0sp,q+ sin2θ0sq,q

=−sin2θ0(sp,p−sq,q) + 2 cosθ0sinθ0sp,q

= cos2θ0 −t0(1−t20) + 2t0

sp,q= t0(t20+ 1)

1 +t20 sp,q =t0sp,q. De plus

s0p,p+s0q,q =sp,p+sq,q⇒s0q,q−sq,q=sp,p−s0p,p=−t0sp,q.

5. a. Lorsque niinijne sont dans{p, q},e0i=ei etf(e0j) =f(ej)doncs0i,j=si,j. On en déduit,

kE0k2=kEk2+

n

X

k=1 k6=p

(s0p,k2−sp,k2) +

n

X

k=1 k6=q

(s0q,k2−sq,k2)

En utilisant les relations2, on obtient pourk /∈ {p, q} : s0p,k2+s0q,k2=sp,k2

+sq,k2

Il ne reste donc plus que

kE0k2=kEk2+ (s0p,q2−sp,q2) + (s0q,p2−sq,p2) =kEk2−2sq,p2

cars0p,q= 0.

b. La relation kS0k =kSk vient de l'expression de la norme avec la trace et de la possibilité de permuter les matrices dans la trace d'un produit. Les autres formules sont évidentes à partir de l'expression comme somme des carrés des coecients.

On en déduit

kD0k2=kS0k2− kE0k2=kSk2− kEk2+ 2s2q,p=kDk2+ 2s2q,p.

6. Les expressions des coecients deS0 sont donnés par la question 2. Ils font intervenir dessinθ etcosθque l'on peut exprimer avect0

cosθ0= 1

p1 +t20,sinθ0= t0

p1 +t20

carθ0

π2,π2 donccosθ0>0. En fait on a même θ0

π4,π4à cause du choix de la racine dans]−1,1[.

7. On suppose dans cette question quesp,q est le coecient de E de plus grande valeur absolue parmi lessi,j aveci6=j.

a. À cause du choix du couplepm, qm, on peut majorer les n(n−1)2 coecients inter- venant dans la somme :

kEk2≤n(n−1)

2 s2p,q ⇒s2p,q≥ 2

n(n−1)kEk2. b. On peut en déduire une majoration de la norme deE0 :

kE0k2=kEk2−2sp,q

1− 2 n(n−1)

kEk2 Posons

ρ= s

1− 2 n(n−1).

Rappelons quen≥2est la dimension de l'espace. C'est un nombre xé indépen- dant deS pour lequel l'expression dans la racine est dans]0,1[tel que

kE0k ≤ρkEk.

c. Sur la diagonale, seuls les coecientsp, petq, q interviennent : kD0−Dk2= (s0p,p−sp,p)2+ (s0q,q−sq,q)2= 2t20s2p,q d'après la question 4.

Comme|t0| ≤1,

kD0−Dk2≤2s2p,q ≤ kEk2 carsp,q gure deux fois parmi les coecients deE.

(5)

8. a. D'après II.2. puis II.4.

s0p,p= cos2θsp,p+ 2 cosθsinθsp,q+ sin2θsq,q s0q,q= sin2θsp,p−2 cosθsinθsp,q+ cos2θsq,q

)

⇒s0q,q−s0p,p= cos2θ0−sin2θ0

(sq,q−sp,p)−4 sinθ0cosθ0sp,q

=−

1−t20 1 +t20

1−t20 t0

+ 4 t0 1 +t20

sp,q =−1 +t20 t0

sp,q.

b. D'après la question précédente et II.4., (s0q,q−s0p,p)2−(sq,q−sp,p)2=

(1 +t20)2

t20 −(1−t20)2 t20

s2p,q= 4s2p,q ≥0

s0q,q−s0p,p

≥ |sq,q−sp,p|. 9. a. On sait déjà d'après 2.a quesp,p−s0p,p=s0q,q−sq,q. Il sut donc de montrer que

l'un des deux est du signe desq,q−sp,p. Cela résulte de 4. et du choix det0

sp,p−sq,q= 1−t20 t0

sp,q, s0p,p−sp,p=t0sp,q, 1−t20>0

b. Supposons par exemple que les deux expressions de la question précédentes soient positives. Alors

s0p,p≤sp,p≤sq,q ≤s0q,q.

On peut appliquer le résultat de la question préliminaire et conclure en prenant la valeur ensi,i

|si,i−s0q,q|+|si,i−s0p,p| − |si,i−sp,p| − |si,i−sq,q| ≥0 L'autre cas se traite de manière analogue.

10. On a déni

R= X

(i,j)∈J1,nK2

|si,i−sj,j|, R0= X

(i,j)∈J1,nK2

s0i,i−s0j,j

Pour i /∈ {p, q}, on a s0i,i = si,i. Dans la diérence, il ne reste donc que les autres termes

R0−R=

n

X

i=1

|s0i,i−s0p,p| − |si,i−sp,p|+|s0i,i−s0q,q| − |si,i−sq,q|

D'après la question précédente, tous les termes de cette somme sont positifs. On ne garde que ceux aveciégal àpouq:

R0−R≥2 |s0p,p−s0q,q| − |sp,p−sq,q| Or

s0q,q−s0p,p= (s0q,q−sq,q) + (sq,q−sp,p) + (sp,p−s0p,p) avec les trois parenthèses de même signe d'après 9.a. On en déduit

|s0q,q−s0p,p|=|s0q,q−sq,q|+|sq,q−sp,p|+|sp,p−s0p,p|

⇒ |s0q,q−s0p,p| − |sq,q−sp,p|=|s0q,q−sq,q|+|sp,p−s0p,p|

⇒R0−R≥2 |s0q,q−sq,q|+|sp,p−s0p,p|

= 2

n

X

i=1

|s0i,i−si,i|

car les autres termes sont nuls.

Partie III. Algorithme.

1. a. On majore grossièrement (pour les termes non nuls) la valeur absolue de la dié- rence par la somme des valeurs absolues.

Rm≤ X

(i,j)∈J1,nK2 i6=j

σj,j(m)

+ X

(i,j)∈J1,nK2 i6=j

σ(m)i,i

n

X

j=1

(n−1) σj,j(m)

+

n

X

i=1

(n−1) σ(m)i,i

= 2(n−1)

n

X

j=1

σ(m)j,j

La deuxième inégalité est l'inégalité de Cauchy-Schwarz en écrivant

n

X

j=1

σ(m)j,j

2

=

n

X

j=1

1× σ(m)j,j

2

.

b. On a vu en II.5.b. que la norme est conservée :

∀m∈N, Σ(m)

=kΣk.

(6)

D'après la question précédente

Rm≤2(n−1)√ n

v u u t

n

X

j=1

j,j(m))2≤2(n−1)√ nkΣk

en négligeant les coecients qui ne sont pas sur la diagonale et en utilisant la conservation de la norme.

2. On peut appliquer la dernière question de la partie II. avecS= Σ(m),S0= Σ(m+1). Rm+1−Rm=R0−R≥2

n

X

i=1

|s0i,i−si,i|= 2m.

La série desm étant à termes positifs, il sut de montrer que les sommes partielles sont majorées. Or l'inégalité précédente entraîne

m

X

k=0

k ≤1

2(Rm+1−R0)≤ Rm+1

2 ≤(n−1)√ nkΣk.

La série est donc convergente (rappelons quenest la dimension de l'espace).

3. a. On peut regarder chaque coecient de la suite de matrices D(m) comme une somme partielle de la série

(m+1)i,i −σ(m)i,i .

D'après la question précédente, cette série est absolument convergente donc convergente. On en déduit la convergence de chaque suite de coecients donc de la partie diagonale.

b. D'après la question 7.b.S= Σ(m),S0= Σ(m+1),

E(m+1)

≤ρ

E(m)

. La suite des

E(m)

est dominée par une suite géométrique de raisonsρ∈]0,1[. Elle converge donc vers0. On en déduit que la suite des matricesE(m)converge vers la matrice nulle. Toutes les suites de coecients hors de la diagonale convergent vers0.

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