1. La série ( P

(1)

Exercice.

Partie I. Convergence.

1. La série ( P

x

n

16

⁻ⁿ

)

_n∈

N

est à termes positifs car 1

8n + 5 < 1 8n + 4 1

8n + 6 < 1 8n + 4



 

 

⇒ x

n

> 4 1

8n + 1 − 1 8n + 4

> 0.

Elle est convergente car

∀n ∈ N , x

n

16

⁻ⁿ

< 4

8n + 1 16

⁻ⁿ

< 4

8n 16

⁻ⁿ

= 1

2n 16

⁻⁽ⁿ⁾

<

1 16

n

qui est le terme général d'une série géométrique convergente.

2. La minoration 0 < r

_n

vient de ce que la série est à terme positif. Majorons comme dans la question précédente :

∀k > n, x

k

16

^−k

≤ 1

2(n + 1) 16

^−k

. On en déduit

∀m > n,

m

X

k=n+1

x

k

16

^−k

≤ 16

⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

n + 1

1 + 16

⁻¹

+ · · · + 16

^{−(m−n−1)}

≤ 16

⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

n + 1

1 1 −

₁₆¹

= 16

15(n + 1) 16

⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

< 16

⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

. On peut noter que l'on a un peu gaspillé le terme en n + 1 du dénominateur. En fait le reste est négligeable devant 2

⁻⁴ⁿ

.

Partie II. Développements hexadécimaux.

1. a. Écrivons la division euclidienne, divisons par q puis multiplions par 16

⁻ⁿ

16

ⁿ

u = q

n

v + r

n

avec 0 ≤ r

n

< q ⇒ 16

ⁿ

x = q

n

+ r

n

q avec 0 ≤ r

n

q < 1

⇒ x = 16

⁻ⁿ

q

_n

+ 16

⁻ⁿ

r

_n

q avec 0 ≤ 16

⁻ⁿ

r

_n

q < 16

⁻ⁿ

.

On en déduit

a

n

(x) = 16

⁻ⁿ

q

n

, b

n

(x) = 16

⁻ⁿ

r

n

q .

b. D'après la question a., le coecient de 16

⁻ⁿ

dans le développement de x est le reste modulo 16 de q

n

.

c. D'après la question a., le coecient de 16

⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

dans le développement de x est le quotient de la division par q de 16 × q

_n

.

2. Comme 47 est congru à 2 modulo 15 et 16 congru à 1 modulo 15 , la suite des restes modulo 15 de 16

ⁿ

× 47 est constante égale à 2 . La même division 16 × 2 = 2 × 15 + 2 se repète. Le développement hexadécimal de x

0

ne contient que des 2 sauf le premier coecient égal à 3 .

3. a. D'après la question 2., la première ligne du tableau ne contient que des 2 . Les deux premières divisions nous donnent

x

1

= 2 × 16

⁻¹

+ 58

819 × 16

⁻¹

= 2 × 16

⁻¹

+ 1 × 16

⁻²

+ 109

819 × 16

⁻²

. On en déduit la deuxième ligne.

Comme 16 × 829 < 19635 , on a x

2

< 16

⁻¹

donc la troisième ligne commence par quatre 0 . La troisième ligne également à cause de la question I.2. ε

2

< 16

⁻³

.

n 0 1 2 3 4

x

₀

3 2 2 2 2

x

1

16

⁻¹

0 0 2 1 ? x

₂

16

⁻²

0 0 0 0 ?

ε

2

0 0 0 0 ?

b. Dans le tableau précédent, il manque trois valeurs dans la dernière colonne. Il est possible qu'une retenue soit nécessaire mais même avec une retenue (la plus grande possible est 2 ), la somme des termes de la colonne n = 3 sera strictement plus petite que 16 . On en déduit que les colonnes précédentes fournissent un développement correct.

Le développement hexadécimal de s commence par 3.24 4. D'après la question précédente

3 + 2 × 16

⁻¹

+ 4 × 16

⁻²

< s < 2 + 2 × 16

⁻¹

+ 5 × 16

⁻²

⇔ 3 + 1 8 + 1

64 < s < 3 + 1 8 + 5

256 ⇒ 3.13970 < s < 3.14454

(2)

Partie III. Calculs formels de sommes.

1. a. Il est évident que

Z

c 0

t

^8n+l

dt = c

^8n+l+1

8n + l + 1 . Pour faire apparaitre le 16

⁻ⁿ

il faut choisir c =

^√¹

2

.

b. La série est à termes positifs, elle est majorée par une série géométrique convergente car c < 1 . Elle est donc convergente.

2. a. Comme les dénominateurs sont positifs, la diérence (droite - gauche) est du signe de

c

⁸

(1 − t

⁸

) − t

⁸

(1 − c

⁸

) = c

⁸

− t

⁸

> 0 car t < c.

On en déduit l'inégalité demandée.

b. On utilise la formule pour la somme des termes en progression géométrique

n

X

i=0

t

^8i+l

= t

^k

1 − t

⁸⁽ⁿ⁺¹⁾

1 − t

⁸

⇒ t

^l

1 − t

⁸

−

n

X

i=0

t

^8i+l

= t

^8(n+1)+l

1 − t

⁸

⇒

t

^l

1 − t

⁸

−

n

X

i=0

t

^8i+l

≤ c

^8n+l

t

⁸

1 − t

⁸

≤ c

^8(n+1)+l

1 − c

⁸

. c. Notons

θ

n

(t) = t

^l

1 − t

⁸

−

n

X

i=0

t

^8i+l

de sorte que

t

^l

1 − t

⁸

dt =

n

X

i=0

t

^8i+l

+ θ

n

(t)

Intégrons entre 0 et c : Z

c

0

t

^l

1 − t

⁸

dt =

n

X

i=0

c

^8i+l+1

8i + k + 1 +

Z

n 0

θ

_n

(t) dt

De plus

Z

n 0

θ

n

(t) dt

≤ Z

c

0

|θ

n

(t)|dt ≤ c

^8(n+1)+l+1

1 − c

⁸

.

Pour 0 < c < 1 xé, la suite en n à droite converge vers 0 . Comme on sait que la série converge, on obtient une valeur pour la somme

Z

c 0

t

^l

1 − t

⁸

dt =

+∞

X

i=0

c

^8i+l+1

8i + l + 1 . 3. Considérons c =

^√¹

2

dans la relation précédente.

+∞

X

i=0

c

^8i+l+1

8i + l + 1 =

1 √ 2

^{l+1 +∞}

X

i=0

16

⁻ⁱ

8i + l + 1 On combine ces relations :

pour l = 0 , on multiplie par 4 pour l = 3 , on multiplie par −2 pour l = 4 , on multiplie par −1 pour l = 5 , on multiplie par −1 On obtient

s = 4 √ 2

Z

^√¹₂

0

1 1 − t

⁸

dt − 8 Z

^√¹₂

0

t

³

1 − t

⁸

dt − 4 √ 2

Z

^√¹₂

0

t

⁴

1 − t

⁸

dt − 8 Z

^√¹₂

0

t

⁵

1 − t

⁸

dt

= Z

^√¹₂

0

8t

⁵

+ 4 √

2t

⁴

+ 8t

³

− 4 √ 2

t

⁸

− 1 dt

4. Les racines de X

⁸

− 1 sont les racines 8 -èmes de l'unité U

8

=

1, 1 + i

√ 2 , i, −1 + i

√ 2 , −1, −1 − i

√ 2 , −i, 1 + i

√ 2

En regroupant les racines conjuguées, on obtient X

⁸

− 1 = (X − 1)(X + 1)(X

²

+ 1)(X

²

+ √

2X + 1)(X

²

− √

2X + 1).

La fraction dans l'intégrale se simplie donc par (X

²

+ 1)(X

²

+ 1)(X

²

+ √

2X + 1) : s =

Z

^√¹₂

0

8(t −

^√¹

2

) (t

²

− 1)(t

²

− √

2t + 1) dt On procède au changement de variable x = √

2t : s =

Z

1 0

√8

2

(x − 1) (

^x₂²

− 1)(

^x₂²

− x + 1)

√ dx 2 = 16

Z

1 0

x − 1

(x

²

− 2)(x

²

− 2x + 2) dx

(3)

5. La décompostion proposée découle d'une décomposition en éléments simples. On cal- cule les coecients en formant des équations. On multiplie par x et on va en ∞ , on prend les valeurs en 0 en 1 et en −1 .



 

 

 

 

α − γ =0 β

2 + δ 2 =4 α + β + γ + δ =0

−α + β

5 − γ + δ = 32 5 Après calculs, on trouve α = γ = −4 , δ = 0 et β = 8 soit :

16 X − 1

(X

²

− 2X + 2)(X

²

− 2) = −4X + 8

X

²

− 2X + 2 + −4X 2 − X

²

6. On met la fraction sous une forme plus commode à intégrer :

16 X − 1

(X

²

− 2X + 2)(X

²

− 2) = −2 2X − 2

X

²

− 2X + 2 + 4 1

1 + (X − 1)

²

+ 2 −2X 2 − X

²

On en déduit

s = −2

ln(x

²

− 2x + 2)

¹

0

+ 4 [arctan(x − 1)]

¹₀

+ 2

ln(2 − t

²

)

¹

0

= −2 ln 2 + 4 π

4 + 2 ln 2 = π

Problème.

D'après X-ens 2013 PC

Partie I. Questions préliminaires.

1. Notons f la fonction considérée, en exprimant les valeurs absolues dans les diérents cas, on obtient

x ] − ∞, a] [a, b] [b, c] [c, d] [d, +∞[

f (x) 0 2(x − a) 2(d − c) 2(d − x) 0

L'hypothèse a + d = b + c intervient pour f (x) = 0 dans les deux intervalles innis.

On en déduit que f est à valeurs positives.

2. L'équivalence entre les trois propriétés est un résultat de cours. La base obtenue à partir de E en permutant les vecteurs de manière à ce que les deux premiers soient e

_p

et e

_q

est orthogonale. Dans cette base, la matrice de r

_p,q,θ

est diagonale par blocs orthogonaux :





cos θ − sin θ sin θ cos θ

I

_n−2





Le bloc en haut à gauche est la matrice d'une rotation du plan. Avec le produit matri- ciel par blocs, on vérie facilement que cette matrice est orthogonale donc que r

p,q,θ

conserve le produit scalaire.

Partie II. Conjugaison par une matrice de rotation.

1. La matrice S

⁰

est symétrique d'après les propriétés usuelles de la transposition.

En regardant R

p,q

(θ) comme la matrice de passage (orthogonale) de E dans E

⁰

, la dénition de S

⁰

apparait comme une formule de changement de base. La matrice S

⁰

est donc la matrice de f dans la base orthonormée E

⁰

. On en déduit

s

⁰_i,j

= coordonnée selon e

⁰_i

de f (e

⁰_j

) =< e

⁰_i

/f (e

⁰_j

) > . 2. Calcul de S

⁰

.

a. D'après 1. et l'orthogonalité de la famille :

s

⁰_p,p

=< e

⁰_p

/f(e

⁰_p

) >=< cos θe

p

+ sin θe

q

/ cos θf(e

p

) + sin θf(e

q

) >

=< cos θe

p

+ sin θe

q

/ cos θ (s

p,p

e

p

+ s

q,p

e

q

) + sin θ (s

p,q

e

p

+ s

q,q

e

q

) >

= cos

²

θs

_p,p

+ cos θ sin θs

_p,q

+ sin θ cos θs

_q,p

+ sin

²

θs

_q,q

= cos

²

θs

p,p

+ 2 cos θ sin θs

p,q

+ sin

²

θs

q,q

. Par un calcul analogue avec e

⁰_q

= − sin θe

p

+ cos θe

q

, on trouve

s

⁰_q,q

= sin

²

θs

p,p

− 2 cos θ sin θs

p,q

+ cos

²

θs

q,q

. En sommant les deux expressions, on obtient

s

⁰_p,p

+ s

⁰_q,q

= s

p,p

+ s

q,q

b. Le principe du calcul est le même qu'au dessus. On trouve s

⁰_p,q

= − cos θ sin θs

p,p

+ cos

²

θ − sin

²

θ

s

p,q

+ cos θ sin θs

q,q

.

(4)

c. De même pour k / ∈ {p, q} , on trouve :

s

⁰_p,k

= cos θs

p,k

+ sin θs

q,k

, s

⁰_q,k

= − sin θs

p,k

+ cos θs

q,k

(1) 3. a. Comme −

^π₂

< cos θ <

^π₂

, on peut diviser par cos

²

θ 6= 0 . D'après 2.a.,

s

⁰_p,q

= 0 ⇔ − tan θ s

p,p

+ (1 − tan

²

θ)s

p,q

+ tan θ s

q,q

= 0

⇔ s

_p,q

tan

²

θ + (s

_p,p

− s

_q,q

) tan θ − s

_p,q

= 0 Comme s

p,q

6= 0 , on a bien prouvé que s

⁰_p,q

= 0 si et seulement si tan θ est solution de l'équation en t :

t

²

+ s

p,p

− s

q,q

s

_p,q

t − 1 = 0 (2)

b. L'équation 2 admet deux racines réelles car son discriminant est strictement positif. Le produit de ces deux racines est −1 donc le produit des deux modules est 1 . Ceci montre que exactement une des deux est dans ] − 1, 1[ . On la note t

₀

et on pose θ

₀

= arctan t

₀

.

4. La première relation est une simple reformulation de l'équation tan

²

θ

₀

+ s

_p,p

− s

_q,q

s

p,q

tan θ

₀

− 1 = 0 ⇔ s

_p,p

− s

_q,q

= s

_p,q

1 − tan

²

θ

₀

tan θ

0

On reprend les formules de la question 2 pour les exprimer avec t

0

= tan θ

0

. s

⁰_p,p

− s

p,p

= (cos

²

θ

0

− 1)s

p,p

+ 2 cos θ

0

sin θ

0

s

p,q

+ sin

²

θ

0

s

q,q

= − sin

²

θ

₀

(s

_p,p

− s

_q,q

) + 2 cos θ

₀

sin θ

₀

s

_p,q

= cos

²

θ

0

−t

0

(1 − t

²₀

) + 2t

0

s

p,q

= t

0

(t

²₀

+ 1)

1 + t

²₀

s

p,q

= t

0

s

p,q

. De plus

s

⁰_p,p

+ s

⁰_q,q

= s

_p,p

+ s

_q,q

⇒ s

⁰_q,q

− s

_q,q

= s

_p,p

− s

⁰_p,p

= −t

0

s

_p,q

.

5. a. Lorsque ni i ni j ne sont dans {p, q} , e

⁰_i

= e

_i

et f (e

⁰_j

) = f (e

_j

) donc s

⁰_i,j

= s

_i,j

. On en déduit,

kE

⁰

k

²

= kEk

²

+

n

X

k=1 k6=p

(s

⁰_p,k²

− s

p,k2

) +

n

X

k=1 k6=q

(s

⁰_q,k²

− s

q,k2

)

En utilisant les relations 1, on obtient pour k / ∈ {p, q} : s

⁰_p,k²

+ s

⁰_q,k²

= s

p,k2

+ s

q,k2

Il ne reste donc plus que

kE

⁰

k

²

= kEk

²

+ (s

⁰_p,q²

− s

p,q2

) + (s

⁰_q,p²

− s

q,p2

) = kEk

²

− 2s

q,p2

car s

⁰_p,q

= 0 .

b. La relation kS

⁰

k = kSk vient de l'expression de la norme avec la trace et de la possibilité de permuter les matrices dans la trace d'un produit. Les autres formules sont évidentes à partir de l'expression comme somme des carrés des coecients.

On en déduit

kD

⁰

k

²

= kS

⁰

k

²

− kE

⁰

k

²

= kSk

²

− kEk

²

+ 2s

²_q,p

= kDk

²

+ 2s

²_q,p

.

6. Les expressions des coecients de S

⁰

sont donnés par la question 2. Ils font intervenir des sin θ et cos θ que l'on peut exprimer avec t

₀

cos θ

₀

= 1

p 1 + t

²₀

, sin θ

₀

= t

₀

p 1 + t

²₀

car θ

₀

∈

−

^π₂

,

^π₂

donc cos θ

₀

> 0 . En fait on a même θ

₀

∈

−

^π₄

,

^π₄

à cause du choix de la racine dans ] − 1, 1[ .

7. On suppose dans cette question que s

p,q

est le coecient de E de plus grande valeur absolue parmi les s

i,j

avec i 6= j .

a. À cause du choix du couple p

m

, q

m

, on peut majorer les

ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂

coecients inter- venant dans la somme :

kEk

²

≤ n(n − 1)

2 s

²_p,q

⇒ s

²_p,q

≥ 2

n(n − 1) kEk

²

. b. On peut en déduire une majoration de la norme de E

⁰

:

kE

⁰

k

²

= kEk

²

− 2s

_p,q

≤

1 − 2 n(n − 1)

kEk

²

Posons

ρ = s

1 − 2

n(n − 1) .

(5)

Rappelons que n ≥ 2 est la dimension de l'espace. C'est un nombre xé indépen- dant de S pour lequel l'expression dans la racine est dans ]0, 1[ tel que

kE

⁰

k ≤ ρ kEk .

c. Sur la diagonale, seuls les coecients p, p et q, q interviennent : kD

⁰

− Dk

²

= (s

⁰_p,p

− s

_p,p

)

²

+ (s

⁰_q,q

− s

_q,q

)

²

= 2t

²₀

s

²_p,q

d'après la question 4.

Comme |t

0

| ≤ 1 ,

kD

⁰

− Dk

²

≤ 2s

²_p,q

≤ kEk

²

car s

_p,q

gure deux fois parmi les coecients de E . 8. a. D'après II.2. puis II.4.

s

⁰_p,p

= cos

²

θs

p,p

+ 2 cos θ sin θs

p,q

+ sin

²

θs

q,q

s

⁰_q,q

= sin

²

θs

p,p

− 2 cos θ sin θs

p,q

+ cos

²

θs

q,q

)

⇒ s

⁰_q,q

− s

⁰_p,p

= cos

²

θ

₀

− sin

²

θ

₀

(s

_q,q

− s

_p,p

) − 4 sin θ

₀

cos θ

₀

s

_p,q

= −

1 − t

²₀

1 + t

²₀

1 − t

²₀

t

₀

+ 4 t

0

1 + t

²₀

s

_p,q

= − 1 + t

²₀

t

₀

s

_p,q

. b. D'après la question précédente et II.4.,

(s

⁰_q,q

− s

⁰_p,p

)

²

− (s

q,q

− s

p,p

)

²

=

(1 + t

²₀

)

²

t

²₀

− (1 − t

²₀

)

²

t

²₀

s

²_p,q

= 4s

²_p,q

≥ 0

⇒

s

⁰_q,q

− s

⁰_p,p

≥ |s

q,q

− s

p,p

| . 9. a. On sait déjà d'après 2.a que s

_p,p

− s

⁰_p,p

= s

⁰_q,q

− s

_q,q

. Il sut donc de montrer que

l'un des deux est du signe de s

_q,q

− s

_p,p

. Cela résulte de 4. et du choix de t

0

s

p,p

− s

q,q

= 1 − t

²₀

t

0

s

p,q

, s

⁰_p,p

− s

p,p

= t

0

s

p,q

, 1 − t

²₀

> 0

b. Supposons par exemple que les deux expressions de la question précédentes soient positives. Alors

s

⁰_p,p

≤ s

_p,p

≤ s

_q,q

≤ s

⁰_q,q

.

On peut appliquer le résultat de la question préliminaire et conclure en prenant la valeur en s

i,i

|s

i,i

− s

⁰_q,q

| + |s

i,i

− s

⁰_p,p

| − |s

i,i

− s

p,p

| − |s

i,i

− s

q,q

| ≥ 0 L'autre cas se traite de manière analogue.

10. On a déni

R = X

(i,j)∈J1,nK²

|s

i,i

− s

j,j

| , R

⁰

= X

(i,j)∈J1,nK²

s

⁰_i,i

− s

⁰_j,j

Pour i / ∈ {p, q} , on a s

⁰_i,i

= s

i,i

. Dans la diérence, il ne reste donc que les autres termes

R

⁰

− R =

n

X

i=1

|s

⁰_i,i

− s

⁰_p,p

| − |s

i,i

− s

p,p

| + |s

⁰_i,i

− s

⁰_q,q

| − |s

i,i

− s

q,q

|

D'après la question précédente, tous les termes de cette somme sont positifs. On ne garde que ceux avec i égal à p ou q :

R

⁰

− R ≥ 2 |s

⁰_p,p

− s

⁰_q,q

| − |s

p,p

− s

q,q

| Or

s

⁰_q,q

− s

⁰_p,p

= (s

⁰_q,q

− s

q,q

) + (s

q,q

− s

p,p

) + (s

p,p

− s

⁰_p,p

) avec les trois parenthèses de même signe d'après 9.a. On en déduit

|s

⁰_q,q

− s

⁰_p,p

| = |s

⁰_q,q

− s

_q,q

| + |s

_q,q

− s

_p,p

| + |s

_p,p

− s

⁰_p,p

|

⇒ |s

⁰_q,q

− s

⁰_p,p

| − |s

q,q

− s

p,p

| = |s

⁰_q,q

− s

q,q

| + |s

p,p

− s

⁰_p,p

|

⇒ R

⁰

− R ≥ 2 |s

⁰_q,q

− s

q,q

| + |s

p,p

− s

⁰_p,p

|

= 2

n

X

i=1

|s

⁰_i,i

− s

i,i

|

car les autres termes sont nuls.

(6)

Partie III. Algorithme.

1. a. On majore grossièrement (pour les termes non nuls) la valeur absolue de la dié- rence par la somme des valeurs absolues.

R

m

≤ X

(i,j)∈J1,nK2 i6=j

σ

_j,j^(m)

+ X

(i,j)∈J1,nK2 i6=j

σ

_i,i^(m)

≤

n

X

j=1

(n − 1) σ

_j,j^(m)

+

n

X

i=1

(n − 1) σ

^(m)_i,i

= 2(n − 1)

n

X

j=1

σ

^(m)_j,j

La deuxième inégalité est l'inégalité de Cauchy-Schwarz en écrivant





n

X

j=1

σ

^(m)_j,j





2

=





n

X

j=1

1 × σ

_j,j^(m)





2

.

b. On a vu en II.5.b. que la norme est conservée :

∀m ∈ N , Σ

^(m)

= kΣk . D'après la question précédente

R

m

≤ 2(n − 1) √ n

v u u t

n

X

j=1

(σ

_j,j^(m)

)

²

≤ 2(n − 1) √ n kΣk

en négligeant les coecients qui ne sont pas sur la diagonale et en utilisant la conservation de la norme.

2. On peut appliquer la dernière question de la partie II. avec S = Σ

^(m)

, S

⁰

= Σ

^(m+1)

. R

m+1

− R

m

= R

⁰

− R ≥ 2

n

X

i=1

|s

⁰_i,i

− s

i,i

| = 2

m

.

La série des

m

étant à termes positifs, il sut de montrer que les sommes partielles sont majorées. Or l'inégalité précédente entraîne

m

X

k=0

k

≤ 1

2 (R

m+1

− R

0

) ≤ R

_m+1

2 ≤ (n − 1) √ n kΣk .

La série est donc convergente (rappelons que n est la dimension de l'espace).

3. a. On peut regarder chaque coecient de la suite de matrices D

^(m)

comme une somme partielle de la série

X σ

^(m+1)_i,i

− σ

^(m)_i,i

.

D'après la question précédente, cette série est absolument convergente donc convergente. On en déduit la convergence de chaque suite de coecients donc de la partie diagonale.