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Texte intégral

(1)

Assistant: [email protected] S´ erie 8 15/04/2013

Cours de Physique Math´ ematique EPFL, Lausanne

Exercice 1

• Montrer que la matrice repr´ esentant une rotation d’un angle θ en 2 dimensions peut s’´ ecrire comme:

R(θ) = e

θX

; X =

0 1

−1 0

• Montrer que la matrice repr´ esentant une transformation de Lorentz en 2 dimensions (une spatiale et une temporelle) de rapidit´ e δ = tanh

−1 vc

peut s’´ ecrire comme:

L(δ) = e

δX

; X =

0 −1

−1 0

Exercice 2

Soient σ

i

, i = 1, 2, 3 les matrices de Pauli:

σ

1

= 0 1

1 0

, σ

2

=

0 −i i 0

, σ

3

=

1 0 0 −1

Calculer:

e

iα1σ1

, e

iα2σ2

, e

iα3σ3

e

δ1σ1

, e

δ2σ2

, e

δ3σ3

Exercice 3

Montrer que tout U ∈ SU(2) peut s’´ ecrire sous la forme:

U = exp(−it n · σ)

avec t ∈ R , n ∈ R

3

tel que |n| = 1 et σ

i

les trois matrices de Pauli.

Indication: Utiliser le resultat vu dans l’ex. 1 de la s´ erie 3 selon lequel l’expression la plus generale pour une matrice de SU(2) est:

U =

α β

− β ¯ α ¯

avec |α|

2

+ |β|

2

= 1.

Exercice 4

Soient X et Y deux matrices n × n; verifier la relation suivante (Formule de Baker- Campbell-Hausdorff ):

e

X

e

Y

= exp n

X + Y + 1

2 [X, Y ] + 1

12 [X, [X, Y ]] − 1

12 [Y, [X, Y ]] + · · · o

Dans quelles circonstances vous attendez-vous ` a ce que la s´ erie se reduise ` a une fonction simple de x et y?

1

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