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Universit´e de Cergy-Pontoise Janvier 2018
Math´ematiques-MS3, session 1
Dur´ee 2 heures, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Questions de cours :
(1) On consid`ere la s´erie enti`ereP∞ n=1 n2
(2n)!xn, o`u n! = 1×2× · · · ×n. Cal- culer son rayon de convergence.
(2) Etudier la nature de la s´erie P∞ n=0
2n+1 2n .
(3) Etudier la nature de l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
4
x+1 x3+2x−8dx.
Exercice 1:
On consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
2
cos√x x dx.
(1) StA un nombre sup´erieur `a 2. Justifier la formule suivante:
Z A
2
cosx
√x dx= [sinx
√x ]A2 +1 2
Z A
2
sinx (√
x)3dx.
(2) D´emontrer que l’int´egrale R+∞
2
sinx (√
x)3dx converge. En d´eduire la nature de l’int´egraleR+∞
2
cos√x x dx.
Exercice 2:
Soitf(x) une fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur Rtelle que f(x) = 3|x|, ∀x∈[−π;π].
(1) Tracer le graphique def(x) sur l’intervalle [−3π; 3π], et ´etudier la parit´e de f(x).
(2) Calculer les coefficients de Fourier de f(x).
(On remarque que cos(nπ) = (−1)n.)
(3) Enoncer la th´eor`eme de Dirichlet, puis calculer la valeur de la s´erie num´erique P+∞
m=0 1 (2m+1)2. Exercice 3:
Soit Ω le domaine d´efini par Ω ={(x;y)|y≥0, x2+y42 ≤1}. On consid`ere le changement de coordonn´ees suivant:
x=rcosθ, y = 2rsinθ.
(1) Calculer le Jacobien de ce changement de coordonn´ees.
(2) On suppose que le domaine en (r;θ) correspondant est Ω0 ={(r;θ)|0≤r≤1; 0≤θ≤2π}.
2
Calculer l’int´egrale doubleR R
Ωe−x2−y
2 4 dxdy.
Exercice 4:
Soitγ : [0; 2π]→R2 la courbe param´etr´ee ferm´ee d´efinie par
γ(t) = (cost; 2 sint).
(1) Justifier que la courbeγ est la fronti`ere du domaine Ω dans l’exercice 3 ci-dessus.
(1) En utilisant la d´efinition de l’int´egrale curviligne, calculer Z
γ
−2
3ydx+ (1
3x+y)dy.
(2) En appliquant le th´eor`eme de Green-Riemann, justifier que la valuer de cette int´egrale curviligne est ´egale `a l’aire du domaine Ω. En d´eduire l’aire du domaine Ω.
