Page 1 / 11 Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur chaque feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.
L’examen se déroule de 14H00 à 18H00.
Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.
Répondez à une question par feuille de papier ministre.
Déposez votre carte d’identité sur le banc.
Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 – Théorie /4
Q1.1 : Donnez la norme et le point d’application de la force ponctuelle équivalente à la charge répartie p(x) (démontrez).
Si l’on considère uniquement la charge répartie, il faut qu’elle soit équivalente à une force F située à une distance d de A. Il suffit d’écrire :
est la norme de la force.
est la distance par rapport à A du point support de la force, cette équation est obtenue à partir du calcul du moment de force.
Q1.2 : Les systèmes suivants sont il isostatiques ? Justifiez.
Système A :
Système B:
Système C :
Système D :
Système A : isostatique car 1 solide et 3 inconnues.
Page 2 / 11 Système B : hyperstatique car 1 solide et 4 inconnues.
Système C : hypostatique car 1 solide et 2 inconnues.
Système D : non-isostatique car le solide peut se déplacer de gauche à droite sur les rouleaux. Il est possible de trouver au moins 1 cas de charge qui ne respecte pas l’équilibre de la poutre.
Q1.3 : Un système bielle manivelle est schématisé ci-dessous. Les forces F1 et F2 sont connues. Quel type d’appui trouve-t-on au point C ? Par quelles réactions de liaison peut-on le remplacer (dessinez ces réactions sur un schéma)?
Glissière. Une force verticale vers le haut et un couple.
Q1.4 : A partir du schéma de la question Q1.3, proposez:
Un déplacement virtuel qui permette de trouver la position d’équilibre du système.
Un(des) déplacement(s) virtuel(s) qui permette(nt) de trouver la(les) force(s) de liaison au point C.
Un déplacement virtuel compatible avec les liaisons qui ne fait travailler que F1 et F2 : Rotation de la barre OA d’un angle .
Un déplacement qui ne brise que cette réaction là :
Translation verticale de la barre BC, dans ce cas on fait travailler F1.
Rotation de la barre AB autour du point A et on garde la barre BC horizontale, dans ce cas on fait travailler F2.
Page 3 / 11
Question 2 – Centre de masse /4
On suspend en A un corps constitué :
D’un demi-cercle homogène de rayon R.
De deux quarts de cercles homogènes EF et CD de rayon R/6.
De 2 tiges homogènes BC et AF de longueur R/3.
D’une tige homogène DE.
La masse linéaire est λ pour l’ensemble des éléments.
Les coordonnées du centre de masse d’un quart de cercle homogène de rayon R peuvent s’exprimer sous la
forme .
Q2.1 : Déterminez α afin d’exprimer les coordonnées du centre de masse d’un quart de cercle.
Q2.2 : Déterminez le centre de masse du corps.
Symétrie par rapport à l’axe Y XG=0. Il reste à déterminer YG :
Page 4 / 11 Q2.3 : Déterminez l’angle formé par AB et la verticale lorsque le corps est à l’équilibre.
d=0 où d est le bras de levier du poids.
Q2.4 : Déterminez les réactions de liaison en A.
et est dirigée vers le haut.
Page 5 / 11
Question 3 – Théorèmes généraux /4
Un vélo tout terrain est muni d’une suspension arrière fonctionnant avec un amortisseur contenant un bain d’huile et une chambre à air haute pression. Cette dernière est assimilable à un ressort linéaire classique dont la constante de rappel k est fonction de la pression. Le mécanisme est représenté sur le schéma suivant.
Toutes les données géométriques sont connues. Le système est composé de 3 corps solides. La barre horizontale est liée au milieu extérieur au point H par une rotule. Le solide triangulaire est lié au milieu extérieur au point C par une rotule. La barre oblique est liée à la barre horizontale par une rotule au point A et au solide triangulaire par une rotule au point B. Le solide triangulaire est lié à la barre horizontale par
l’intermédiaire d’un ressort. Le système est soumis à une force verticale connue et appliquée sur la barre horizontale.
Q3.1 : Déterminez les diagrammes du corps libre pour le système complet ainsi que pour chaque solide isolé.
Pour le système complet, on peut choisir de représenter ou non le ressort, de toute façon, les forces du ressort n’interviennent pas dans les équations du système complet.
Page 6 / 11 Q3.2 : Le système est il isostatique ? Justifiez.
Le système est isostatique : 3 solides dans un plan 9 équations d’équilibre.
Le nombre d’inconnues est de 9 : 4 réactions de liaison avec le milieu extérieur (en H et C) et 5 forces de liaison interne (2 en A, 2 en B, 1 en H et E).
Ce système constitue un mécanisme à un degré de liberté α qui est déterminé à partir du moment où l’on utilise un ressort.
Q3.3 : Par la méthode des théorèmes généraux, écrivez un système d’équations qui permette de trouver toutes les inconnues du système (réactions avec le monde extérieur, liaisons entre solides et force dans le ressort de l’amortisseur). Ne pas résoudre le système.
Solide triangulaire :
Barre horizontale :
Page 7 / 11 Barre oblique :
Page 8 / 11
Question 4 – Travaux virtuels /4
Une lampe munie de son système de positionnement est représentée sur la figure suivante. La lampe est fixée à un triangle qui est raccordé à un piquet par l’intermédiaire de deux barres parallèles. Le frottement dans la liaison lampe-triangle est suffisant pour empêcher tout mouvement relatif. L’ensemble triangle-lampe possède une masse m. La longueur libre du ressort hélicoïdal est b/2.
Q4.1 : Quel est le nombre de degrés de liberté du système ? Le système est il isostatique ? Indiquez votre raisonnement.
Le système possède 1DDL et est isostatique. C’est un mécanisme à 4 barres parallèles.
Les liaisons avec le monde extérieur : 4 forces dans 2 rotules et 1 force de rappel du ressort.
Les liaisons entre solides : 4 forces dans 2 rotules.
Force connue : le poids de la lampe
4 liaisons avec le monde extérieur, 4 liaisons entre solide 8 liaisons 1DDL que l’on bloque avec un ressort (9ème inconnue).
9 inconnues et 3 solides dans un plan isostatique
Q4.2 : En utilisant la méthode des travaux virtuels, déterminez, en fonction de , la constante de rappel k du ressort pour que le système soit à l’équilibre.
On choisit un déplacement virtuel compatible avec les liaisons qui fait travailler le poids ainsi que la force de rappel du ressort. De cette manière, on obtiendra une équation faisant intervenir l’inconnue que l’on veut déterminer en fonction du poids de la lampe. Le déplacement consiste en un accroissement de l’angle d’une amplitude
La coordonnée en Y du centre de masse de la lampe est définie à une constante près par : Le déplacement virtuel de lampe est :
Le travail du poids s’écrit :
La force de rappel du ressort peut s’écrire sous la forme : où l’allongement est dans notre cas positif.
La longueur du ressort peut s’exprimer en fonction de l’angle :
Page 9 / 11 La force de rappel est alors :
La composante du déplacement selon la direction de la force est donnée par : Le travail de la force de rappel s’écrit :
Le travail virtuel total du système s’écrit alors :
La constante de rappel du ressort à l’équilibre vaut :
Q4.3 : Donnez la ou les conditions sur l’angle pour que le système soit à l’équilibre. (Note : simplifiez au maximum l’équation obtenue au point précédent)
L’angle doit être supérieur à pour que le système soit à l’équilibre. Physiquement, cela correspond à un allongement positif du ressort.
Page 10 / 11
Question 5 - Frottement /4
Une pile de classeurs est posée sur le sol (cf. figure ci-dessous). On suppose que chaque corps (classeur) subit un système de forces concourantes passant par son centre de masse. Le coefficient de frottement entre 2 classeurs est f1 et entre un classeur et le sol est f0.
Système A Système B
!!! Pour les questions Q5.1 et Q5.2, considérez un système constitué de 2 classeurs (système A). !!!
Q5.1 : Dessinez les diagrammes du corps libre pour le système complet ainsi que pour chacun des corps.
Système complet :
Classeur inférieur :
Classeur supérieur :
Q5.2 : Ecrivez les équations d’équilibre, résolvez le système obtenu et déterminez l’angle limite β correspondant à l’équilibre limite.
Les forces sont concourantes on ne va considérer que les équations d’équilibre de translation.
On suppose un système d’axe classique : axe X horizontale vers la droite et axe Y vertical vers le haut.
Page 11 / 11 Equations d’équilibre pour le classeur inférieur :
Equations d’équilibre pour le classeur supérieur :
Equations d’équilibre pour le système complet :
Le système d’équations devient :
L’angle limite est obtenu lorsque le frottement est maximum et vaut , c'est-à-dire pour . Il n’y a pas de condition sur puisque la force de frottement avec le sol est nulle.
Q5.3 : Comment varie cet angle si l’on considère un système constitué de 3 classeurs ? Et avec 4 classeurs ? Justifiez et déduisez le nombre de classeurs que l’on peut empiler sans faire tomber toute la pile.
Avec plus de classeurs, cet angle n’augmente pas. Les valeurs de N1 et T1 augmentent dans la même proportion, pour s’en rendre compte, il suffit d’augmenter le poids du classeur supérieur dans le système de la question Q5.1.
