Feuille d’exercices 2 Limites de suites et de fonctions

S3 MIMP 2008-2009

M202.MIMP ´ El´ements de calcul diff´erentiel Responsable: S. De Bi` evre

Feuille d’exercices 2 Limites de suites et de fonctions

Exercice 1

Pour chacune des suites (u _n ∈ R ² ) _n ci-dessous: placer quelques-uns des points u _n dans le plan, et d´ecrire qualitativement le comportement de la suite lorsque n tend vers +∞. Puis, ´etudier la convergence des suites et d´eterminer leur limite le cas ´ech´eant.

(a) u _n = ( _n

+4n+3 ⁴ⁿ

, cos _n ¹ ).

(b) u _n = ( ⁿ

_n ^arctan

+1 ⁿ , sin( ^π ₄ exp − ¹ _n )).

(c) u _n = (sinh n, ^ln _n ⁿ ).

(d) u _n = (a ⁿ cos αn, a ⁿ sin αn), en fonction de a > 0, α ∈ R.

Exercice 2

Etudier l’existence des limites suivantes : ´ 1. lim (x,y)→(0,0) x

y

x+y ; 2. lim (x,y,z)→(0,0,0) xyz+z

2x

+yz

. 3. lim (x,y)→(0,0) |x|+|y|

x

+y

4. lim (x,y)→(0,0) x

y x

−y

5. lim (x,y,z)→(0,0,0) xy+yz x

+2y

+3z

Exercice 3 Soit

f : R ² \ {(0, 0)} → R, f(x, y) = x ² y ² x ² y ² + (x − y) ² . D´emontrer que

x→0 lim lim

y→0 f (x, y) = lim

y→0 lim

x→0 f (x, y) = 0

et que lim (x,y)→(0,0) f(x, y) n’existe pas.

Exercice 4

D´eterminer les limites lorsqu’elles existent:

1. lim (x,y)→(0,0) x x

+y

; 2. lim (x,y)→(0,0) (x+2y)

x

+y

; 3. lim (x,y)→(1,0) log(x+e √

) x

+y

; 4. lim (x,y)→(0,0) x

+y

−xy

x

+y

; Exercice 5

Etudier l’existence d’une limite en (0, ´ 0, 0) pour les fonctions f suivantes : 1. f(x, y, z) = _x+y+z ^xyz ;

2. f(x, y, z) = _x

−y ^x+y

+z

.