Etude de la convergence des séries de Fourier
Lise Monnier Marie Fouré Lamine Sokhna
Table des matières
1 Introduction 3
2 Définition des séries de Fourier 3
2.1 Série de Fourier . . . 3
2.2 Coefficients de Fourier . . . 3
2.3 Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires . . . 5
2.4 Types de convergence . . . 6
3 La convergence uniforme 7 3.1 L’espaceξ . . . 7
3.2 Théorème de Dirichlet . . . 7
3.3 Démonstration du théorème de Dirichlet . . . 7
3.3.1 Prérequis . . . 7
3.3.2 Démonstration de i) et ii) du théorème (1). . . 8
3.3.3 Démonstration de iii) . . . 10
4 Application : Phénomène de Gibbs 11
5 Bibliographie 13
1 Introduction
Une des questions centrales est celle du comportement de la série de Fourier d’une fonction et en cas de convergence de l’égalité de sa somme avec la fonction initialement considérée, ceci dans le but de pouvoir remplacer l’étude de la fonction elle-même par celle de sa série de Fourier, qui autorise des opérations analytiques aisément manipulables. Mais, sous quelles hypothèses peut-on étudier la série de Fourier d’une fonction plutôt qu’elle-même ?
2 Définition des séries de Fourier
2.1 Série de Fourier
Etant donnée une fonctionf deRversC, 2π-périodique, intégrable (au sens de Riemann) sur tout intervalle borné, on souhaiterait trouver des coefficients (cn, n∈Z) tels quef se développe en :
f(x) =X
n∈Z
cneinx (1)
ou, ce qui revient au même, trouver des coefficients (an, n∈ N) et (bn, n ∈ N∗) tels que f se développe en la série trigonométrique :
f(x) =a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nx) +bnsin(nx)). (2)
En 1807, le mathématicien Joseph Fourier propose de prendrecn égal à cn = 1
2π Z 2π
0
f(t)e−intdt.
La série de fonctions définie par (1) et (2) est appelée série de Fourier associée àf.
2.2 Coefficients de Fourier
Définition 1. Soitf :R−→R une fonction2π-périodique et intégrable sur tout segment de R. Alors :
• Les coefficients de Fourier de f sont :
a0= 1 2π
Z 2π
0
f(x)dx, an= 1
π Z 2π
0
f(x) cos(nx)dx, bn= 1
π Z 2π
0
f(x) sin(nx)dx.
• La série de Fourier def est la série trigonométrique :
S(f) =
+∞
X
n=0
ancos(nx) +bnsin(nx) (3)
avec an, bn définis comme précédemment.
Remarque. Il n’est pas évident que S(f) converge et même si c’est le cas, il n’est pas évident que la somme soitf!
Exemple 1. Soitf une fonction 2π-périodique surR, donnée par :f(x) =x, sur [0,2π[.
On a :
a0= 1 2π
Z 2π
0
x dx= 1
2π x2
2 2π
0
=π, pour n≥1,
an = 1 π
Z 2π
0
xcos(nx)dx= 1 π
xsin(nx) n
2π
0
+ Z 2π
0
cos(nx) n dx
!
= 0,
bn= 1 2π
Z 2π
0
xsin(nx)dx= 1 2π
−xcos(nx) n
2π
0
+ Z 2π
0
cos(nx) n dx
!
= 1 π
−2π n
= −2 n . Ainsi,
S(f) = π−2
+∞
X
n=1
sin(nx) n .
Dans cet exemple, on voit que S(f)(x)6=f(x) pourx= 0 etx= 2π.
Lemme 1. Si f est une fonction 2π-périodique surRet intégrable sur tout segment deR, alors les coefficients de Fourier de f sont :
a0= 1 2π
Z α+2π
α
f(x)dx, an= 1
π Z α+2π
α
f(x) cos(nx)dx, bn= 1
π Z α+2π
α
f(x) sin(nx)dx.
Autrement dit, on peut intégrer sur tout intervalle de longueur 2π! Démonstration. On fait le casan :
an= 1 π
Z 2π
0
f(x) cos(nx)dx
= 1 π
Z α
0
f(x) cos(nx)dx+ Z α+2π
α
f(x) cos(nx)dx+ Z 2π
α+2π
f(x) cos(nx)dx
= 1 π
Z α+2π
α
f(x) cos(nx)dx
car :
Z 2π
α+2π
f(x) cos(nx)dx= Z 0
α
f(x) cos(nx)dx
=− Z π
0
f(x) cos(nx)dx.
2.3 Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires
Pour les fonctions paires et impaires, les coefficients de Fourier sont remarquables.
−→Soit f, fonction 2π-périodique, paire (f(x) =f(−x),∀x∈R).
Dans ce cas, on choisit l’intervalle [−π, π] pour calculer les coefficients de Fourier : a0= 1
2π Z π
−π
f(x)dx= 1 π
Z π
0
f(x)dx, an= 1
π Z π
−π
f(x) cos(nx)dx= 2 π
Z π
0
f(x) cos(nx)dx, bn= 1
π Z π
−π
f(x) sin(nx)dx= 0.
Ainsi, pour f paire,
S(f) =
+∞
X
n=0
ancos(nx).
−→Soit f, fonction 2π-périodique, impaire (f(x) =−f(−x),∀x∈R).
Dans ce cas,
an= 0,∀n≥0, bn = 2
π Z π
0
f(x) sin(nx)dx, d’où
S(f) =
+∞
X
n=1
bnsin(nx).
Exemple 2. Trouvons la série de Fourier def donnée par f(x) =xsur [−π, π[.f est impaire, doncan= 0,∀n≥0 :
bn= 2 π
Z π
0
xsin(nx)dx
= 2 π
−xcos(nx) n
π
0
+ Z π
0
cos(nx) n dx
= 2 π
−πcos(nπ n
= 2
n(−1)n+1. Donc
S(f) = 2
+∞
X
n=1
(−1)n+1
n sin(nx).
2.4 Types de convergence
Plusieurs types de convergence peuvent être considérés , par exemple :
• la convergence ponctuelle (ou simple), (Lejeune Dirichlet, 1824) :
N→+∞lim SNf(x)−f(x) = 0, ∀x∈[−π, π]
• la convergence uniforme :
N→+∞lim sup
x∈[−π,π]
|SNf(x)−f(x)|= 0
• la convergence en norme dansLp : lim
N→+∞
Z π
−π
|SNf(x)−f(x)|pdx= 0
• la convergence presque partout (Lennart Carleson, 1964).
Chacune de ces notions de convergence requiert des hypothèses différentes sur la fonctionf, ainsi que différents types de preuves, dont certaines nécessitent des notions d’analyse fonction- nelle avancée. Dans cet exposé, nous allons nous concentrer sur l’une des ces convergences : la convergence uniforme.
3 La convergence uniforme
3.1 L’espace ξ
On considère l’espaceξdes fonctions f :R→Rqui sont :
• 2π-périodiques,
• continues par morceaux sur [−π, π] (ie : continues sauf en un nombre fini de points de [−π, π], points en lesquels ces fonctions admettent une limite à droite,f(x+), et une limite à gauche,f(x−) finies),
• f0 est continue par morceaux sur [−π, π].
Exemple 3.
f(x) =
(0 si −π≤x <0 π−x si0≤x≤π
x y
f est continue par morceaux.
3.2 Théorème de Dirichlet
Théorème 1. Soitf ∈ξ. Alors, la série de Fourier S(f) def :
i) converge versf en tout point de continuité de f (S(f)(x) =f(x)sif est continue en x), ii) converge vers f(x+)+f(x2 −) en tout point de discontinuité,
iii) la convergence est uniforme sur tout segment[a, b] ne contenant pas de point de disconti- nuité.
3.3 Démonstration du théorème de Dirichlet
3.3.1 Prérequis
Lemme 2 (Riemann-Lebesgue).
Si f est intégrable sur [a, b], alors :
t→∞lim Z b
a
f(x)cos(tx)dx= 0,
t→∞lim Z b
a
f(x)sin(tx)dx= 0.
3.3.2 Démonstration de i) et ii) du théorème (1) Soitf ∈ξ. Sa série de Fourier est :
S(f) =
∞
X
0
ancos(nx) +bnsin(nx)
avec
a0= 1 2π
Z π
−π
f(t)dt, an = 1
π Z π
−π
f(t)cos(nt)dt, bn = 1
π Z π
−π
f(t)sin(nt)dt.
On veut montrer queS(f)(x)→ f(x+)+f(x2 −) , ce qui équivaut à :
n→∞lim
Sn(x)−f(x+) +f(x−) 2
= 0 oùSn(x) sont les sommes partielles de S(f).
Remarque.
• Si f continue en x, alors f(x+) = f(x−) =f(x)d’où f(x+)+f(x2 −) =f(x) Ainsi, on peut démontrer i)et ii)dans le même temps.
• Sn(x)est la nième somme partielle deS(f). Alors, Sn(x) = 1
2π Z π
−π
f(t) [1 + 2cos(x−t) +. . .+ 2cos n(x−t)]dt.
(Rappel : cos k(x−t) =cos(kx)cos(kt) +sin(kx)sin(kt)).
Définition 2. On appelleDn(u) = 2π1 (1 + 2cos(u) +. . .+ 2cos(nu))le Noyau de Dirichlet.
Donc,
Sn(x) = Z π
−π
f(t)D(x−t)dt. (4)
Propriétés. deDn(u)
• Rπ
−πDn(u)du= 1
• Dn(u) = 2π1 sin[(n+sin(u12)u]
2)
• Dn(u)est une fonction paire et C∞.
Maintenant, on peut écrire (4) comme : Sn(x) =
Z π
−π
f(t)Dn(x−t)dt
= Z x−π
x+π
f(x−u)Dn(u) (−du) (5)
= Z π+x
−π+x
f(x−u)Dn(u)du
= Z π
−π
f(x−u)Dn(u)du (6)
= Z π
0
f(x−t)Dn(t)dt+ Z 0
−π
f(x−t)Dn(t)dt
= Z π
0
f(x−t)Dn(t)dt+ Z π
0
f(x+t)Dn(t)dt.
En (5), on effectue le changement de variable :u=x−t⇒t=x−u, du=−dt.
L’égalité (6) est vraie carf Dn est 2π-périodique donc on peut intégrer sur n’importe quel inter- valle.
Puisque
Z π
0
Dn(t)dt= 1 2
Z π
−π
Dn(t)dt=1 2, on a :
Sn(x)−
f(x+) +f(x−) 2
= Z π
0
[f(x−t)−f(x−)]Dn(t)dt+ Z π
0
[f(x+t)−f(x+)]Dn(t)dt.
Comme
Dn(u) = 1 2π
sin[(n+12)u]
sin(u2) on a :
Z π
0
[f(x−t)−f(x−)]Dn(t)dt+ Z π
0
[f(x+t)−f(x+)]Dn(t)dt
= 1
2π[f(x−t)−f(x−)]sin[(n+12)u]
sin(u2) dt+ 1
2π[f(x+t)−f(x+)]sin[(n+12)u]
sin(u2) dt
= 1 π
Z π
0
f(x−t)−f(x−) t
t 2
sin(2t)sin[(n+1 2)t]dt +1
π Z π
0
f(x+t)−f(x+) t
t 2
sin(2t)sin[(n+1 2)t]dt.
Donc, par le lemme (2) de Riemann-Lebesgue, ces intégrales convergent vers 0 lorsquentend vers l’infini, d’où :
n→∞lim
Sn(x)−
f(x+) +f(x−) 2
= 0.
Ceci conclut la démonstration du point i) et ii) du théorème (1).
3.3.3 Démonstration de iii) (dans le cas où f est de classeC2) Idée :
S(f) =
+∞
X
n=0
ancos(nx) +bnsin(nx)
Sn(x) =
+∞
X
k=0
akcos(kx) +bksin(kx)
On sait queSn(x) converge simplement versf(x) donc il suffit de montrer que (Sn) converge uniformément.
• On montre que :
n→+∞lim n2|an|= 0 et
n→+∞lim n2|bn|= 0,
d’où∃N tel que∀n≥N, on a |an| ≤ n12 et|bn| ≤ n12, ce qui implique que : X
n≥N
|ancos(nx) +bnsin(nx)| ≤ X
n≥N
|an|+|bn| ≤ X
n≥N
2 n2. Cela implique que (Sn) converge normalement, donc uniformément.
• Montrons que∃N tel que∀n≥N,|an| ≤ n12 :
an= 1 π
Z π
−π
f(x) cos(nx)dx (7)
= 1 π
f(x)sin(nx) n
π
−π
−1 n
Z π
−π
f0(x) sin(nx)dx
!
= 1 π
1
n2[f0(x)cos(nx)]π−π− 1 n2
Z π
−π
f00(x) cos(nx)dx
=⇒n2an=−1 π
Z π
−π
f00(x) cos(nx)dx.
(NB : Dans (7),f estC2)
Mais f00 est continue (carf estC2) donc intégrable d’où :
n→∞lim
−1 π
Z π
−π
f00(x) cos(nx)dx
= 0
par le lemme (2) de Riemann-Lebesgue.
Donc,∃N tel que∀n≥N,
|n2an|=
−1 π
Z π
−π
f00(x) cos(nx)dx
≤1
=⇒ ∀n≥N,|an| ≤ 1 n2.
• De même pourbn :∃N0 tel que ∀n≥N0,|bn| ≤ n12.
• Ainsi, il existeN00= max{N, N0}tel que : X
n≥N00
|ancos(nx) +bnsin(nx)| ≤ X
n≥N00
(|an|+|bn|)
≤ X
n≥N00
2 n2. Alors, (Sn) converge normalement donc uniformément versf. Ceci conclut la démonstration du iii) du théorème (1).
4 Application : Phénomène de Gibbs
Voici un exemple de ce qui peut se passer lorsque l’on se place en dehors des conditions d’application du théorème (1).
Lors de l’étude des séries de Fourier et de la transformée de Fourier, il apparaît parfois une déformation de signal connu sous le nom de Gibbs. Ce phénomène est un effet de bord qui se produit à proximité d’une discontinuité, lors de l’analyse d’une fonction dérivable par morceaux.
Soit f(x) une fonction continue périodique de période T ≥0. Supposons que la limite def enx0+ soit différente de la limite enx0− et notonsala différence de ces deux limites qui est non nulle :
f(x0+)−f(x0+) =a6= 0.
Pour tout entiern≥1 etSn la nième somme partielle de la série de Fourier, Snf(x) :=Xfˆ(n)e2πinxT = 1
2a0+X
(ancos(2πnx
T ) +bnsin(2πnx T )) où les coefficients de Fourier ˆf(n), an etbn sont donnés par les formules suivantes :
fˆ(x) := 1 T
Z T
0
f(x)e2πinx/Tdx,
an := 2 T
Z T
0
f(x) cos2πnx T dx, bn := 2
T Z T
0
f(x) sin2πnx T dx.
Donc on a :
N→∞lim Snf(x0+ T
2N) =f(x+0) +a(0.089) et
N→∞lim Snf(x0+ T
2N) =f(x−0)−a(0.089) mais
lim
N→∞Snf(x0) =f(x−0)−f(x+0)
2 .
Plus généralement, sixn est une séquence de nombres réels qui converge enx0quand N tend vers +∞et si l’écart est positif alors :
lim sup
N→∞
Snf(xN)≤f(x0+) +a(0.089) et
lim inf
N→∞ Snf(xN)≥f(x0−)−a(0.089).
Si l’écart est négatif :
lim inf
N→∞ Snf(xN)≥f(x0+) +a(0.089) et
lim sup
N→∞
Snf(xN)≤f(x0−)−a(0.089).
Exemple 4. L’onde carrée Soit :
Snf(x) = sin(x) +1
3sin(3x) +...+ 1
N−1sin((N−1)x) En prenant x= 0 on obtient :
Snf(x) = 0 =
π 4 −π4
2 =f(0−) +f(0+) 2
Ensuite nous calculons :
Snf(2π
N) = sin(π N) +1
3sin(3π
N) +...+ 1
N−1sin((N−1)π) Si nous introduisons la fonction "sinus cardinal",sinc(x) =sin(x)x , alors on a :
Snf(2π N) = π
2 2
Nsinc(1 N) + 2
Nsinc(3
N) +...+ 2
Nsinc(N−1 N )
lim
N→∞Snf(2π N) = π
2 Z 1
0
sinc(x)dx
lim
N→∞Snf(2π N) = π
2 Z 1
0
sin(πx) πx dx
= 1 2
Z 1
0
sin(πx) x dx
= π 4 +π
2.(0.0899490).
De même, on a par l’imparité de la fonction sinus :
N→∞lim Snf(−2π
N) = lim
N→∞−Snf(2π N) =−π
4 −π
2.(0.0899490).
5 Bibliographie
• Wikipédia
• Dr Guy-Bart Stan,Convergence d’une série de Fourier
• Mr Mark Baker, Cours de Suites et séries de fonctions, 2010
• Mr Thomas Hakon Gronwall,Phénomène de Gibbs et les séries trigonométriques
