Chapitre 2:
Chapitre 2:
A- A - Rappels et compléments de Rappels et compléments de mathématiques
mathématiques Série de Fourier Série de Fourier
Soit une fonction f(x) définie dans l’intervalle [
Soit une fonction f(x) définie dans l’intervalle [-L,+L] et -L,+L] et déterminée à l’extérieur par f(2L+x)=f(x) (fonction déterminée à l’extérieur par f(2L+x)=f(x) (fonction périodique).
périodique).
On définit
On définitle développement de Fourier ou série de le développement de Fourier ou série de Fourier (SF) par:
Fourier (SF) par:
∑
+∞=
π
π + +
=
1 n
n 0 n
L x sin n L b
x cos n 2 a
) a x ( f
anet bn sont appelés coefficients d Fourier:
L dx x sin n
) x ( L f b 1
L dx x cos n
) x ( L f a 1
L L n
L
L n
= π
= π
∫
∫
+
− +
−
Sous forme complexe, le développement de Fourier s’écrit:
∑
+∞−∞
=
π
=
n
L x in n
e C )
x ( f
dx e
) x ( L f 2
C 1
Lx in L
L n
− π +
−
∫
=
Avec
Relation de Parseval- Bessel
[ ]
∫ ∑
+∞= +
−
+ +
=
1
2 2
2 0 2
) 2 1 (
n
n n
L
L
b a a
dx x
L f
Remarques:
Remarques:
--Une série de Fourier en sinus est une SF où aUne série de Fourier en sinus est une SF où ann=0.=0.
--Une série de Fourier en cosinus est une SF où bUne série de Fourier en cosinus est une SF où bnn=0.=0.
--On a aussi:On a aussi:
On utilisera:
On utilisera:
δδnmnmest le symbole de Kronecker.est le symbole de Kronecker.
∫ ∑
+∞= +
−
=
1
2 2
) 2 (
1
n
n L
L
C dx
x L f
nm L
L
x m n
i
dx
L
+∫ e = δ
−
− ) (
2 1
Transformée de Fourier Transformée de Fourier
Une fonction non périodique peut
Une fonction non périodique peut--être considérée être considérée comme périodique avec une période infinie.
comme périodique avec une période infinie.
∑
+∞−∞
=
π
=
n
L x in n
e C )
x (
f
Lx in
n
L y in L
L
e dy e
) y ( L f 2 ) 1
x ( f
π
− π +
∑ ∫
−
=
Posons:
k
nL n π =
On peut écrire:
) k k
1 (
1 = −
dk k
k k
et L 0
2 : 1
L → ∞ →
n+1−
n= ∆ →
→ π
∑ ∫ → et 2 1 L 2 dk
et
f(x) s’écrit alors:
ikx iky
dy e e
) y ( 2 f
dk 1 )
x (
f
+∞∫ ∫
∞
−
− +∞
∞
−
= π dy e
) y ( 2 f
1
+∞ −iky∞
−
∫
π
C’est la transformée de Fourier de la fonction f(y) notée T.F.(f(y))
D’où
) k F(
dx e
) x ( 2 f
)) 1 x ( f .(
F .
T
ikx=
= π
+∞ −∞
−
∫
Et
)) k ( F ( . F . T dk e
) k F(
)) x (
f
ikx 1-
− +∞ +
∞
=
= ∫
T.F.
-1est la T.F. inverse C’est la transformée de Fourier
de la fonction f(x) notée T.F.(f(x))
Remarques:
Remarques:
Les constantes figurant devant les intégrales (T.F. directe et Les constantes figurant devant les intégrales (T.F. directe et T.F. inverse) n’ont aucune importance dans la mesure où leur T.F. inverse) n’ont aucune importance dans la mesure où leur produit est égal à .
produit est égal à .
Pour cette raison, nous allons choisir deux constantes égales Pour cette raison, nous allons choisir deux constantes égales (qui répondent à la condition citée ci
(qui répondent à la condition citée ci-dessus)-dessus)
et afin d’avoir des expressions de T.F. directe et T.F. inverse et afin d’avoir des expressions de T.F. directe et T.F. inverse symétriques. En conséquence:
symétriques. En conséquence:
dx e
) x ( 2 f
F(k) 1 ))
x ( f .(
F .
T
−ikx+∞
∞
−
∫
= π
=
dk e
) k 2 F(
)) 1 k ( F ( . F . T )) x (
f
ikx-
1 +∞ +
∞
−
= π ∫
=
2π 1 2π
1
Propriétés de la T.F.
Propriétés de la T.F.
) k F(
) ik ( )) x ( f .(
F . T
) k F(
e )) b x ( f .(
F . T
a) F(k a )) 1 ax ( f .(
F . T
)) x ( g .(
F . bT )) x ( f .(
F . aT )) x ( g ( b ) x ( af .(
F . T
n )
n (
ikb
=
=
−
=
+
= +
−
∫ ∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
= F ( k ) dk dx
) x (
f
2 2Egalité de Parseval- Plantherel
Théorème de convolution Théorème de convolution
Soient deux fonctions f(x) et g(x) tq:
Soient deux fonctions f(x) et g(x) tq:
T.F.(f(x))=F(k) et T.F.(g(x))=G(k).
T.F.(f(x))=F(k) et T.F.(g(x))=G(k).
dy ) (
) 2 (
) 1
( x f g f y g x y
h = ∗ =
+∞∫ −
∞
π
−On définit le produit de convolution de f et g par :
) k G(
) k ( F ) g f .(
F . T )) x ( h .(
F .
T = ∗ =
On montre que: (Voir T.D. n°2)
Utilisation du Produit Utilisation du Produit
de convolution de convolution
Le produit de convolution est très utilisé en physique.
Le produit de convolution est très utilisé en physique.
--Si l'on a un signal entrant SSi l'on a un signal entrant S((tt) et un élément filtrant ayant ) et un élément filtrant ayant une fonction de transfert
une fonction de transfert HH((tt) alors le signal de sortie ) alors le signal de sortie SSss(t(t) ) sera la convolution de ces deux fonctions
sera la convolution de ces deux fonctions: S: Sss(t(t) = ) = SS**HH --Il est aussi utilisé en mécanique quantique.Il est aussi utilisé en mécanique quantique.
Fonction de Dirac Fonction de Dirac
Soit
Soit δδεε(y-(y-yy00) une fonction définie autour de y) une fonction définie autour de y00dans un dans un domaine de largeur
domaine de largeur εεoù elle a une valeur appréciable.où elle a une valeur appréciable.
Si ε Si ε tend vers zéro, tend vers zéro, δδaura une seule valeur appréciable aura une seule valeur appréciable au point y=y
au point y=y00. En plus:. En plus:
ε
ε <
= δ
εailleurs
0
y 2 - y 1 si
0
Exemples:
1 dy ) y y
( −
0=
∫ δ
+∞
∞
− ε
Soit une suite de fonctions, des courbes en cloche ayant Soit une suite de fonctions, des courbes en cloche ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes). Lorsque la largeur des (donc de plus en plus hautes). Lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent la
représente souvent la « fonction »« fonction »de Dirac comme un de Dirac comme un pic positionné en a et de hauteur 1.
pic positionné en a et de hauteur 1.
) (
)
( x x a
a = δ −
δ
f ∗ δ a
g f ∗
Propriétés de Propriétés de δ δ
) x x ( d 2 e
1
k d 2 e
e 1 2 ) 1 2 e
( 1 . F . T
2 e dx 1 ) x x ( 2 e
)) 1 x x ( .(
F . T
) f(x dx ) x x ( ) x ( f
0 )
x x ( ik
ikx ikx 1 ikx
ikx 0
ikx 0
0 0
0
0 0
0
− δ
= π λ
=
π
= π π
= π
− π δ
=
− δ
=
− δ
∫
∫
∫
∫
∞ +
∞
−
− +
∞ +
∞
− + −
− −
∞ − +
∞
−
− +∞
∞
−
) x ( 2 )
( 1 . F . T
2 )) 1
x ( .(
F . T
1
= δ
π
= π δ
−
