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TSEMO
KAM
PLEG
Probatoire Série F-BT.
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KAM TSEMO Patrick Noël Professeur de Lycée
Lauréat de la 55 ieme promotion de l’ENS de Yaoundé
CAMEROUN .
Catalogue des Probatoire F-BT
Cameroun Session 2010-2021
Adresse
:+237696445986 : +237673414635 : +237667872725 : kam.noel@yahoo.fr : kamtsemo@gmail.com :
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Sujets des séries
(F 2 , F 3 , F 4 , F 5 , F 6 , F 7 , F 8 , EF, M EB, IS, IB )
Session 2010-2021
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EXERCICE 1 : 1. Soit A et B deux point distincts du plan.
a. Déterminer le point Gbarycentre des points pondérés (A,2) et (B,3).
b. Construire un quadrilatère ACBD tel que :
G soit aussi le barycentre des points pondérés (C,1) et (D,4).
2. On pose ~u:= 2−−→
M A+ 3−−→
M B−−−→
M C−4−−→
M D. où M est un point quelconque du plan.
En utilisant le point G, vérifier que~u=~0 pour tout point M du plan.
3. En déduire que :
a. D est le barycentre des points (A,2),(B,3) et (C,−1).
b. A est le barycentre des points B, C etD affectés des coefficients que l’on précisera.
EXERCICE 2 : On considère les nombres complexes z1 := 1 +i z2 := 1−i√
3.
1. Mettre z1 et z2 sous forme trigonométrique.
2. On pose Z := z1 z2.
a. Donner la forme algébrique de Z.
b. Écrire Z sous forme trigonométrique.
3. En déduire les valeurs exactes de cos7π
12 et sin7π 12. Problème : Soit la fonction f de R vers R définie par : f(x) = 1 +x
1 +x2 et (Cf) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal tel que : k~ik= 2cm et k~jk= 10cm
1. Étudier les variation de f et dresser son tableau de variations.
2. a. Déterminer les coordonnées du pointA intersection de (Cf) avec l’axe des abscisses et le point B intersection avec l’axe des ordonnées.
b. Donner les équations des tangentsT1 etT2 à la courbe (Cf) enA et enB respectivement.
3. a. Étudier suivant les valeurs de x, le signe de chacune des expressions suivantes : f(x)− 1
2(x+ 1) et f(x)−(x+ 1).
b. En déduire les positions relatives de (Cf) et T1 d’une part et de (Cf) et T2 d’autre part.
c. Déterminer les coordonnées du point de rencontre D de (Cf) et T1; autre que A.
d. Construire (Cf) ;T1 etT2.
4. Discuter graphiquement le nombre de solutions dans Rde l’équation : mx2−x+m−1 = 0 où m est un paramètre réel.
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1. a. Vérifier que :
q
3 + 2√
2 = 1 +√ 2.
b. Résoudre dansR l’équation 2x2+ (1−√ 2)x−
√2 2 = 0.
c. En déduire les solutions de l’équation 2x2+ (1−√ 2)x−
√2 2 >0.
2. a. Déduire les solutions dans R de l’équation : 2cos2x+ (1−√
2)cosx−
√2 2 = 0.
b. Représenter les images des solutions de cette équation sur un cercle trigonométrique
EXERCICE 2 :
1. (u)n∈N∗ est une suite numérique définie par : u1 = 50 etun+1 =un+ 1 10un. a. Montrer (un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
b. Exprimer un puis Sn=u1+u2+...+un en fonction de n etu1.
2. La production annuelle d’un agriculteur de mil augmente de 10% par rapport à l’année précé- dente. La première année il a produit 50 sacs.
a. Déterminer la production à la 10ème année.
b. Le prix de vente d’un sac de mil est de 1600 fcfa. Déterminer la somme totale perçue par cet agriculteur au bout de 10 ans.
Problème :
Partie A :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j), on considère les pointsA, B etC de coordonnées respectives : (−1; 1),(1; 1) et (0;−2).
1. Placer les points A, B et C dans le repère.
2. Calculer les distances AC, BC et en déduire la nature du triangle ABC.
3. Vérifier que les points B et C appartiennent à la droite d’équation 3x−y−2 = 0.
4. Calculer la distance du point A à la droite (BC).
5. Écrire l’équation du cercle (τ) du centre ω(−3,1) et de rayon 2.
6. Déterminer les coordonnées du barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 1 et 4.
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Partie B :
a, b etc sont des nombres réels.
On considère la fonction f définie par :f(x) = ax2+bx+c
x−1 et son tableau de variation est dressé ci- dessous :
x −∞ 0 1 2 +∞
f0(x) + 0 - - 0 +
-1 +∞ +∞
f(x) % & & %
−∞ −∞ 3
En vous aidant du tableau de variation ci-dessus : 1. Déterminer l’ensemble de définition de f. 2. a. Déterminer f(0), f(2) etf0(0).
b. En déduire les réelsa, b etc.
3. Soit la fonction g définie parg(x) = x2−x+ 1
x−1 etCg sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
a. Dresser le tableau de variation de g.
b. Déterminer l’asymptote et montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote oblique à la courbe Cg.
c. Construire Cg.
d. Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solution de l’équation g(x) =m.
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1. On considère deux nombres complexes : z1 =√
3−3i, z2 =−1 +i.
a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z1 et z2. b. Écrire sous la forme algébrique et sous la forme trigonométrique le produitz1z2.
c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes decos5π
12 et sin5π 12. 2. Soit ABC un triangle équilatéral.
a. Construire le barycentre I de (A,1) et (B,2) et le barycentre J de (A,2) et (B,1).
b. Écrire −−→
M A+ 2−−→
M B en fonction de −−→
M I puis 2−−→
M A+−−→
M B en fonction de −−→
M J.
c. Déterminer l’ensemble des pointsM du plan tels que : k−−→
M A+ 2−−→
M Bk=k2−−→
M A+−−→
M Bk.
EXERCICE 2 : 1. Calculer A = (1−√
3)2.
2. Résoudre dans Rl’équation 2x2−(1 +√ 3)x+
√3 2 = 0.
3. En déduire dans [−π;π[ la résolution de l’équation : 2sin2x−(1 +√
3)sinx+
√3 2 = 0 . 4. Soit la (un)n∈N la suite géométrique telle que :
a. Déterminer la raison q de cette suite.
b. Calculer le premier terme u1.
c. Écrire le terme général un de cette suite en fonction de n
Problème :
Partie A :
On effectue des essais sur un échantillon de 200 ampoules électriques afin de tester leur durée de fonctionnement. Les résultats sont regroupés en classe dans le tableau ci-dessous :
Durée de vie (heure) [1200; 1300[ [1300; 1400[ [1400; 1500[ [1500; 1600[ [1600; 1700[
Nombre d’ampoule 30 50 75 25 20
1. Dresser le tableau des effectifs cumulés décroissants.
2. Calculer la médiane et la moyenne de cette série.
3. Évaluer le nombre d’ampoule dont la durée de vie est inférieure à 1400.
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Partie B :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J) (unité sur les axes 1cm).
On considère la fonction f définie pour tout x6=−2 par : f(x) = x2+ 1 x+ 2 .
1. a. Déterminer les limites de f en +∞, en −∞ puis en −2 par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
b. Calculer f0(x) où f0 est la fonction dérivée de f.
c. Donner le sens de variation def, puis dresser son tableau de variation.
2. a. Déterminer trois réelsa, b etc tels que :f(x) =ax+b+ c x+ 2.
b. En déduire que la courbe (C) de f admet une asymptote oblique (D) dont on donnera suivant les valeurs dex, la position par rapport à (C).
c. Tracer (C) et (D).
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On considère la fonction polynôme p définie pour tout x par : p(x) = 2x3+ 5x2+ 4x+ 1.
1. a. Calculer p(−1).
b. En déduire que p(x) = (x+ 1)(ax2 +bx+c) où a, b, c sont des nombres réels que l’on déterminera.
2. Résoudre dans Rl’équation p(x) = 0.
3. En déduire les solutions réelles de l’équation : 2cos33x+ 5cos23x+ 4cos3x+ 1 = 0.
4. Placer les images des solutions sur le cercle trigonométriques.
EXERCICE 2 :
On considère les nombres complexes suivants : a=−1−11i, b= 11−i etc= 5−6i.
1. Mettre sous la forme algébrique les nombres complexes a c et b
c.
2. Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O;~i,~j), représenter les images des nombres complexes z1 := a
c et z2 := b c.
3. Résoudre dansCle système suivant :
4iz−z0 = 3i+ 5
(2−i)z−(2 +i)z0 =−6i et écrire zetz0 sous forme algébrique.
4. Écrire z etz0 sous forme trigonométrique.
Problème :
On considère la fonction numérique f définie pour tout x6= 2 par : f(x) = x(x+ 1) x−2 .
Dans le plan affine muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j), Γ désigne la courbe représentative de f. 1. Déterminer les limites de f au borne de son ensemble de définition.
2. Montrer que la droite d’équationy =x+ 3 est asymptote oblique à la courbe Γ représentative de f.
3. Montrer que le point K(2; 5) est centre de symétrie à Γ.
4. Calculer la dérivée et dresser son tableau de variation.
5. On considère les points A(2 +√
6; 5 + 2√
6) et B(2−√
6; 5−2√ 6).
a. Montrer que K est le milieu du segment [AB].
b. Trouver l’ensemble Λ des pointsM du plan tels que : −−→
AM .−−→
BM = 0.
c. Donner une équation cartésienne ; les éléments caractéristiques de Λ.
6. Tracer Γ et Λ dans le même repère.
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EXERCICE 1 : 1. Calculer (√
3−√ 2)2.
2. Résoudre dans Rl’équation : 4x2 + 2(√ 3 +√
2)x+√ 6 = 0.
3. En déduire la résolution de l’équation −4sin2+ 2(√ 3 +√
2)cosx+√
6 + 4 = 0 dans [0,2π[.
4. Placer sur le cercle trigonométrique les points images des racines de cette équation EXERCICE 2 :
1. Dans l’ensemble C des nombres complexes, on donne : z1 = 50 + 24i etz2 =x2+y2+ixy où (x;y)∈R2.
Déterminer l’ensemble des couples (x;y) pour que z1 = 2z2.
2. Dans un chantier de construction d’une maison d’habitation, FOUDA utilise une échelleAB de longueur 5 m pour atteindre le B du mur comme l’indique le schéma ci-dessous :
3. Quelles doivent être les distances BC etAC pour que l’aire du triangle ABC soit 6m2? Problème :
Soit f la fonction numérique d’une variable définie par :f(x) := x2 x+ 2.
On désigne par Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé (0;~i,~j).
Unité sur les axes : 1 cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f.
2. Déterminer les réels a, b etctels que f(x) =ax+b+ c x+ 2. 3. Étudier les variations de f.
4. Montrer que la droite ∆ d’équation : y=x−2 est asymptote à Cf. 5. Construire avec soins Cf.
6. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 2.
7. Montrer que le point I(−2,−4) est centre de symétrie pour la courbe Cf.
8. a. Comment peut-on obtenir la courbe représentative Cg de la fonctiong définie par : g(x) := x2
|x+ 2|.
b. Construire avec soinCg dans le même repère (0;~i,~j) que Cf.
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Une entreprise de production de composantes électroniques a reparti ses différents types de produc- tions mensuelles suivant le bénéfice (en million de francs) dans le tableau suivant :
Bénéfice [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 5[ [5 ; 8[
Effectifs 40 20 51 39 1. Déterminer le nombre de composants fabriqués.
2. Quelle est la classe modale de cette série statistique ? 3. Calculer la moyenne de cette série.
4. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants et construire sa courbe.
En déduire une valeur approchée de la médiane de cette série.
EXERCICE 2 : Soit (un) et (vn) les suites définies respectivement par :
u0 := 6 un+1 := 1
5un+4
5, ∀n∈N
et vn :=un−1 ∀n ∈N 1. Calculer u1,v0 etv1.
2. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. Exprimer (vn) puis (un) en fonction de n.
4. On pose tn:=v0+v1+...+vn etSn :=u0+u1+...+un. pour tout entier naturel n, calculer tn etSn.
Problème : On définit la fonction f de R vers R par f(x) := x2−3x+ 6
x−2 et (Cf) sa courbe dans un repère orthonormé (O;~i,~j).
1. a. Déterminer l’ensemble de définition de f.
b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. a. Montrer que f(x) peut s’écrire sous la forme : f(x) =x−1 + 4 x−2
b. En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation carté- sienne. Étudier la position relative de (Cf) par rapport à cette asymptote
c. Déterminer une équation de l’asymptote verticale à (Cf).
3. Démontrer que le point I(2; 1) est un centre de symétrie pour (Cf).
4. Calculer f0(x) où f0 est la fonction dérivée def et étudier son signe.
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b. Tracer la courbeCf.
6. On considère les points A(0;−3) et B(4; 5).
a. Écrire une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].
b. Déterminer l’ensemble des points du plan tels que : −−→
M A.−−→
M B = 60.
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On considère les nombres complexes : z1 =−1 +i√
3 ; z2 =−√
2−i√
2 et z := z1 z2.
1. Mettre sous la forme trigonométrique les trois nombres complexes suivants : z1;z2 etz.
2. Écrire z sous forme algébrique.
3. En déduire les valeurs exactes de cos7π
12 et de sin7π 12.
4. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A et B d’affixes respectives z1 etz2. Quelle est la nature du triangle OAB?
EXERCICE 2 :
Soit ABC un triangle équilatéral de coté 3 cm du plan etG un point du plan tel que : 4−−→
BG+ 3−→
AB+ 3−−→ CB =~0.
1. Montrer que G est un barycentre des points A, B etC affectés des coefficients à préciser.
2. Soit I le milieu de [AC].
a. Montrer que Gest le barycentre de I etB affectés des coefficients 6 et -2.
a. En déduire queG appartient à la médiatrice de [AC].
3. Calculer la distance GB.
4. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : −−→
M A.−−→
M C = 11 4 . Problème :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;~i,~j). Soitf une fonction rationnelle dont la courbe Cf est donner ci-dessous.
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1. L’ensemble de définition de f.
2. Les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3. Les sens de variations de f.
4. La courbe de f admet-elle un centre de symétrie ? si oui déterminer ses coordonnées.
On suppose que la fonction f est définie par : f(x) = ax+b− 1 x+c. a. Déterminer les réels a, bet c.
b. Donner une équation de chaque asymptote à Cf.
c. Donner suivant les valeurs du réel m le signe et le nombre de solutions de l’équation f(x) = m dans R.
5. On considère l’image C0 de la courbe Cf par la symétrie d’axe (Ox).
a. Reproduire la courbe ci-dessous et construire C0.
b. On suppose queC0 est la courbe d’une fonctiong, donner l’expression analytique de g(x).
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ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que BC2 := 36. I et G sont des points du plan tels que : I milieu du segment [BC] et −→
GA−−−→ GB−−→
GC =−→ 0 . 1. Déterminer la distance AB.
2. Montrer que le point Gest barycentre des points pondéré (A; 1) et (I;−2).
3. En déduire que le quadrilatère ABGC est un carré.
4. On considère l’ensemble (E) des points M du plan tels que : AM2−2IM2 =−18.
i. Montrer que pour tout point M du plan, AM2−2IM2 =−GM2+ 18.
ii. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (E).
iii. Construire l’ensemble (E).
EXERCICE 2 :
1. On considère le système (S) suivant :
20x+ 15y+ 5z = 134.500 10x+ 20y+ 5z = 143.500 10x+ 25y+ 5z = 170.500 Résoudre (S) dans R3
2. Les chrétiens d’une localité voudraient terminer la charpente de leur chapelle. Ils constatent qu’il leurs manque des lattes, des tôles et des chevrons. Trois personnes du groupe ont chacune un magasin contenant tous ces matériels. Tous les trois magasins ont la même grille des prix. Ils achètent dans :
. Le premier magasin 20 lattes 15 tôles et 5 chevrons pour un montant total de 134.500.
. Le deuxième magasin 10 lattes 20 tôles et 5 chevrons pour un montant total de 143.500.
. Le troisième magasin 10 lattes 25 tôles et 5 chevrons pour un montant total de 170.500.
Déterminer le prix d’une lattes, d’une tôles et celui d’un chevrons.
Problème :
g est la fonction définie pour tout réel x distinct de −1 par : g(x) := 8x−6
x+ 1 , (C) est la courbe représentative de g dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j), unité sur les axes 0,5cm.
1. a. Déterminer les limites de g en−∞, +∞, −1− et en −1+.
b. Montrer que la fonctiong est strictement croissante sur chacun des intervalles ]− ∞;−1[
et ]−1; +∞[.
c. Dresser le tableau de variation de g.
d. Déterminer les coordonnées des points de rencontre de la courbe (C) avec la droite d’équa- tion y=x.
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2. On considère la suite (Un) définie par :
0
Un+1= 8Un+ 6 Un+ 1
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a. Sans les calculer placer sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite (Un).
b. Conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (Un).
c. Donner graphiquement un minorant de la suite (Un).
3. Soit (Vn) la suite définie sur N par : Vn:= Un−6 Un−1
a. Montrer que (Vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer Vn, puis Un en fonction de n.
c. Exprimer en fonction den la somme :Tn:=V0+V1+V2+...+Vn.
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On considère le nombre complexe z :=
q
2 +√ 2 +i
q
2−√ 2.
1. Calculer le module du nombre complexe z.
2. Écrire z2 sous forme trigonométrique. En déduire un argument de z.
3. Écrire z sous forme trigonométrique.
4. Placer dans le plan complexe muni du repère (O;~i,~j) le point A d’affixe z.
EXERCICE 2 :
1. S désigne l’ensemble des solutions de l’inéquation (I) :−4(X−
√3
2 )(X+ 2)≤0.
a. Compléter par
√3
2 et −2, les pointillés suivants :
X appartient à S équivaut à X ≤... ouX ≥...
b. En déduire dans R les solutions de l’inéquation suivante : (I0) : −4(cos2x−
√3
2 )(cos2x+ 2)≤0 2. a. Montrer que les solution dans R de l’équation (E) : cosx=−cosx
2 sont de la forme : x= 2π
3 +k4π
3 , k ∈Z ou x= 2(2k−1)π k∈R
b. Représenter les images des solution de l’équation (E). En donner une interprétation géométrique.
Problème :
On considère les fonctionsf etg définies respectivement parf(x) :=x3 etg(x) :=x3−3x2+ 3x+ 1.
(C) et (C0) sont leurs courbes représentatives respectives.
1. Montrer que (C0) est l’image de (C) par la translation de vecteur~v(1; 2).
2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point O.
b. Déterminer la position relative de (C) par rapport à (T).
4. Construire (T), (C) et (C0).
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EXERCICE 1 :
1. a. Mettre sous forme algébrique le nombre complexe :u:= (3−4i)(1 + 2i) 2−i . b. Résoudre dansC l’équation 2−i
1 + 2iz−(3−4i) = 0 et donner la solution sous forme algébrique.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, I, J) on considère les points A, B et C d’affixes respectives −1 + 4i, −(2 + 2i) et 3 +i
2. Placer les points A, B et C dans le repère.
3. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatèreABCD soit un parallélogramme.
4. On note K le barycentre des points (A,1); (B,−1) et (C,−1).
a. Déterminer les coordonnées du point K.
b. Montrer que :−−→
M A−−−→
M B −−−→
M C =−−−→
M K. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (Γ) des points M tels que k−−→
M A−−−→
M B −−−→
M Ck= 2√ 10.
c. Donner une équation cartésienne de (Γ).
EXERCICE 2 :
On considère 180 élèves des classes de 1ereF d’un Lycée Technique à la toise.
Le tableau ci dessous donne la répartition de leur taille.
Taille en Cm [150 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 180[ [180 ; 190[ Total
Effectif 30 70 75 05 180
1. Indiquer la classe modale de cette série.
2. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants puis décroissants de cette série.
En déduire l’intervalle médian.
3. Calculer la moyenne et la variance de cette série.
Problème :
Partie A :
On considère la fonction numérique f définie par : f(x) = x2 + 2 x .
(C) désigne sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j).
1. a. Détermine le domaine D de définition de f. b. Écrire f(x) sous la forme f(x) = ax+ b
x oùa et b sont des réels que l’on déterminera.
2. Étudier la parité de f.
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Partie B :
On considère la suite (un) définie par : u0 =√
2 et ∀n∈N, un+1 = u2n+ 2 un . 1. Calculer u1,u2 et u3.
2. Soit n un entier naturel, on pose :vn= (un+1×un−u2n)n.
a. Montrer que vn = 2n et en déduire que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Exprimer Sn :=v0+v1+...+vn en fonction den.
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EXERCICE 1 :
AetBsont deux points du plan tels queAB:= 6. Le but de cet exercice est de déterminer l’ensemble (E) des points M du plan tels que : M A2+M B2 = 26 par deux méthodes.
1 Par la géométrie métrique.
a Soit I le milieu du segment [AB].
Montrer que pour tout point M du plan on a : M A2+M B2 = 2M I2+ 1 2AB2 b En déduire que :M A2+M B2 = 26 équivaut M I2 = 4.
c Déduire la nature et les éléments caractéristique de (E).
2 Par les nombres complexes.
On muni le plan du repère orthonormé (O;~u, ~v). Les pointsA et B ont pour affixes respectifs zA :=−2 +i et zB :=−2−5i. Le point M a pour affixez :=x+iy.
a Calculer le module du nombre complexezB−zA et l’affixe du milieuI du segment [AB].
b Calculer en fonction de x ety le module de chacun des nombres complexes z−zA etz−zB.
c Montrer que M A2+M B2 = 26 équivaut à x2+y2+ 4x+ 4y+ 4 = 0.
d En déduire queM appartient à l’ensemble (E) si et seulement si (x+ 2)2+ (y+ 2)2 = 4 et conclure.
EXERCICE 2 :
1 Le tableau ci-dessous donne la répartition des 100 ouvriers d’une société industrielle de la place en fonction de leur âge :
Age [18; 22[ [22; 26[ [26; 30[ [30; 34[ [34; 38[ [38; 42[
Nombre d’ouvriers 17 23 x2 18 12 x a Calculer x.
b Déterminer l’âge moyen de ces ouvriers lorsque x= 5.
2 Le chiffre d’affaire de cette société est de 100.000.000 F CFA au 1er janvier 2015 et augmente chaque année de 6%. Soit Cn le chiffre d’affaire en F CFA de cette société au 1er janvier de l’an 2015 +n années. On donne : C0 = 100.000.000F CF A
a Calculer C1 etC2.
b Montrer que pour tout entier naturel n : Cn+1 = 1,06Cn. c Quel sera ce chiffre d’affaires dans 10 ans ?
(On donnera le résultat arrondi à l’unité supérieur)
Problème :
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1 Calculer R lorsque :
a R1 := 0,5Ω et R2 := 0,75Ω b R1 := 1,5Ω et R2 := 2,5Ω
2 On suppose que les résistances R1 et R2 sont données en Ohms (Ω) par : R1 := 2x etR2 := 1−x avec 0< x <1.
Montrer que R = −2x2+ 2x 1 +x .
Partie B : On considère la fonction numérique f de la variable réelle définie sur l’intervalle ]0; 1[ par :
f(x) := −2x2+ 2x 1 +x 1 Calculer f0(x) pour tout x de l’intervalle ]0; 1[.
2 Montrer que pour tout xde l’intervalle ]0; 1[ : f0(x)>0⇐⇒x∈]0;−1 +√ 2[
3 En déduire les variation de f.
4 Dresser le tableau de variation de f
5 Quelle est la valeur de x pour laquelle la résistance R de la partie Aest maximale ? Quelle est cette résistance maximale.
.
EXERCICE 1 : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;~u, ~v).
Soient A, B etC les points d’affixes respectiveszA:=i√
3 + 1, zB :=−i√
3 + 1 etzC :=−2.
1. a. Montrer que : zA−zC zB−zC
= 1 2 +
√3 2 i.
b. Déterminer le module et un argument du nombre complexe zA−zC
zB−zC.
2. Déterminer l’affixe du centre de gravité G du triangle ABC, puis comparer G etO EXERCICE 2 :
I. 1. Résoudre dansR2 le système :
x+y = 6 1
x+ 1 y = 3
4
2. Le montage en dérivation ci-contre à pour résistance 4 3KΩ
Le montage en série ci-contre à pour résistance 6KΩ
Calculer les valeurs des résistances R1 et R2. (On suppose R1 < R2).
NB : Soit Re la résistance équivalente des résistances R1 et R2. Si R1 etR2 sont en parallèle, alors 1
Re = 1 R1 + 1
R2. Si R1 etR2 sont en série, alors Re =R1+R2.
II. On effectue des essais sur un échantillon de 150 ampoules électriques afin de tester leur durée de fonctionnement. Les résultats sont regroupés en classes et présentés dans le tableau ci-dessous : Durée de vie [1100; 1200[ [1200; 1300[ [1300; 1400[ [1400; 1500[ [1500; 1600[
en heure
Nombres 25 20 55 30 20
d’ampoules
Effectifs cumulés 45 150
croissants
Centres de classes 1150 1350 1550
1. Recopier puis compléter le tableau ci-dessus
2. a. Déterminer la classe médiane de cette série statistique.
b. Déterminer le nombre d’ampoules dont la durée de vie est supérieur ou égale à 1300 heures.
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Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~i,~j) ; Unité graphique : 1cm pour 5 unités.
Soit g la fonction définie de Rvers Rpar g(x) := −x+ 18 2x−1 . Partie A :
1. a. Montrer que l’ensemble de définition de g estD=
− ∞;1 2
∪
1 2; +∞
. b. Calculer les limites de g aux bornes de D.
2. a. Montrer que pour tout réel x6= 1
2,g0(x) = − 35
(2x−1)2 ; où g0 désigne la dérivée première deg.
b. Dresser le tableau de variation de g.
3. Montrer que pour tout xappartenant à D, g(x) = 17,5 2x−1− 1
2. 4. Montrer que le point S
1 2;−1
2
est un centre de symétrie de (Cg).
5. Construire la courbe (Cg) dans le repère orthonormé (O;~i,~j)
Partie B :
Soit (Un) la suite définie par U0 = 0 et Un+1 = −Un+ 18
2Un−1 . On pose Vn := Un−3
Un+ 3 pour tout entier naturel n
1. Calculer V0 etV1.
2. Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison
− 7 5
. 3. Exprimer Un puis Vn en fonction de n.
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Corrigés des sujets
Session 2010-2021
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