MT231-232 Université Paris 7 2001-2002 Problème 1
1. Etudier la convergence des séries suivantes selon les valeurs du para- mètre réel x :
+∞
X
n=0
e−x
√n,
+∞
X
n=1
1 (√
n+nx)2,
+∞
X
n=1
sin(nx) n2 .
2. Montrer (avec la formule de Taylor) que pour toutxdans[0,1]et pour tout n, on a
ex−
n
X
p=0
xp p!
≤ 1 n!
En déduire que la série
+∞
X
n=0
xn
n! converge versex pour toutx dans[0,1]. 3. On considère la série :
+∞
X
n=1
sin(n) n On pose Ap =
p
X
k=1
sin(k). Montrer que pour tout n, on a
n
X
k=0
sin(k)
k =
n
X
k=0
1
k − 1 k+ 1
Ak+ An n+ 1
Etablir que pour tout p, Ap = sin((p+ 1)/2) sin(p/2)
sin(1/2) . En déduire que Ap est borné indépendemment de p.
Montrer que la série suivante converge :
+∞
X
k=0
1
k − 1 k+ 1
Ak
.
En déduire que la série
+∞
X
n=1
sin(n)
n converge.
