Rappels et compléments de mathématiques
Série de Fourier
Soit une fonction f(x) définie dans l’intervalle [-L,+L]
et déterminée à l’extérieur par f(2L+x)=f(x). On suppose que toutes les conditions de Dirichlet sont vérifiées.
On définit le développement de Fourier ou série de Fourier (SF) par:
∑
+∞=
π + π
+
=
1 n
n 0 n
L x sin n L b
x cos n 2 a
) a x ( f
anet bn sont appelés coefficients d Fourier:
L dx x sin n
) x ( L f b 1
L dx x cos n
) x ( L f a 1
L L n
L
L n
= π
= π
∫
∫
+
− +
−
Sous forme complexe, le développement de Fourier s’écrit:
∑
+∞−∞
=
π
=
n
L x in n
e C )
x ( f
dx e
) x ( L f 2
C 1
Lx in L
L n
− π +
−
∫
=
Avec
Relation de Parseval- Bessel
[ ]
∫ ∑
+∞= +
−
+ +
=
1 n
2 n 2
n 2
0 L 2
b 2 a
) a x ( L f
1
Transformée de Fourier
Une fonction non périodique peut-être considérée comme périodique avec une période infinie.
∑
+∞−∞
=
π
=
n
L x in n
e C )
x (
f
Lx in n
L y in L
L
e dy e
) y ( L f 2 ) 1
x ( f
π
− π +
∑
−∫
=
Posons:
k
nL n π =
On peut écrire
) k k
2 ( 1 L
2 1
n 1
n
−
= π
+dk k
k k
et L 0
2 : 1
L → ∞ →
n+1−
n= ∆ →
→ π
∑ ∫ → et 2 1 L 2 dk
et
f(x) s’écrit alors:
ikx iky
dy e e
) y ( 2 f
dk 1 )
x (
f
+∞∫ ∫
∞
−
− +∞
∞
−
= π dy e
) y ( 2 f
1
+∞ −iky
∞
−
∫
π
C’est la transformée de Fourier
de la fonction f(y) notée T.F.(f(y))
D’où
) k F(
dx e
) x ( 2 f
)) 1 x ( f .(
F .
T ikx =
= π +∞ −
∞
− ∫
Et
)) k ( F ( . F . T dk e
) k F(
)) x (
f ikx 1
-
− +∞ +
∞
=
= ∫
T.F.
-1est la T.F. inverse C’est la transformée de Fourier
de la fonction f(x) notée T.F.(f(x))
Remarques
Les constantes figurant devant les intégrales (T.F. directe et T.F.
inverse) n’ont aucune importance dans la mesure où leur produit est égal à .
Pour cette raison, nous allons choisir deux constantes égales (qui répondent à la condition citée ci-dessus)
et afin d’avoir des expressions de T.F. directe et T.F. inverse symétriques. En conséquence:
dx e
) x ( 2 f
F(k) 1 ))
x ( f .(
F .
T
−ikx+∞
∞
−
∫
= π
=
dk e
) k 2 F(
)) 1 k ( F ( . F . T )) x (
f
ikx-
1 +∞ +
∞
−
= π ∫
=
2π π 1
2 1
Propriétés de la T.F.
) k F(
) ik ( )) x ( f .(
F . T
) k F(
e )) b x ( f .(
F . T
a ) F( k a )) 1 ax ( f .(
F . T
)) x ( g .(
F . bT )) x ( f .(
F . aT )) x ( g ( b ) x ( af .(
F . T
n )
n (
ikb
=
=
−
=
+
= +
−
∫ ∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
= F ( k ) dk dx
) x (
f
2 2Egalité de Parseval- Plantherel
Théorème de convolution
Soient deux fonctions f(x) et g(x) tq:
T.F.(f(x))=F(k) et T.F.(g(x))=G(k).
dy ) y x ( g ) y ( 2 f
g 1 f ) x (
h −
= π
∗
=
+∞∫
∞
−
On définit le produit de convolution de f et g par :
) k G(
) k ( F ) g f .(
F . T )) x ( h .(
F .
T = ∗ =
On montre que: (Voir T.D. n°2)
Fonction de Dirac
Soit δε(y-y0) une fonction définie autour de y0 dans un domaine de largeur εoù elle a une valeur appréciable.
Si ε tend vers zéro, δ aura une seule valeur appréciable au point y=y0. En plus:
< ε
= ε δε
ailleurs
0
y 2 - y 1 si Exemples:
01 dy ) y y
( −
0=
∫ δ
+∞
∞
− ε
On a bien: 1 dy 1
dy ) y y (
2
2
0
=
= ε
−
δ ∫
∫
+ε
−ε
∞ +
∞
− ε
Propriétés de δ
) x x ( d 2 e
1
k d 2 e
e 1 2 ) 1 2 e
( 1 . F . T
2 e dx 1 ) x x ( 2 e
)) 1 x x ( .(
F . T
) f(x dx ) x x ( ) x ( f
0 )
x x ( ik
ikx ikx
ikx 1
ikx 0
ikx 0
0 0
0
0 0
0
− δ
= π λ
=
π
= π π
= π
− π δ
=
− δ
=
− δ
∫
∫
∫
∫
∞ +
∞
−
− +
∞ +
∞
−
− +
−
−
∞ − +
∞
−
− +∞
∞
−
) x ( 2 )
( 1 . F . T
2 )) 1
x ( .(
F . T
1
= δ
π
= π δ
−
