où f 0 (T ) est l'énergie libre volumique en l'absence d'aimantation dénie par f 0 = u 0 − T s 0 et a et b sont deux constantes positives.

Préparation Transition Para-Ferromagnétique

On s'intéresse à un métal placé dans un thermostat à la température T et dont on étudie la transition ferromagnétique - paramagnétique. On appelle ferromagnétique un métal dôté d'une aimantation − → M non nulle en l'absence de champ extérieur et paramagnétique un métal qui ne présente pas d'aimantation en l'absence de champ extérieur.

Lev Davidovitch Landau a proposé une expression pour le potentiel thermodynamique volumique d'un tel métal à température proche de la température de Curie T _c :

f (T, M) = u − T s = f 0 (T ) + ¹ ₂ a (T − T c ) M ² + ¹ ₄ bM ⁴

où f 0 (T ) est l'énergie libre volumique en l'absence d'aimantation dénie par f 0 = u 0 − T s 0 et a et b sont deux constantes positives.

On se place pour l'instant en l'absence de champ extérieur.

1. Tracez la forme de f (T, M) en fonction de M pour diérentes valeurs de T et commentez.

2. Déterminez la valeur M S prise spontanément par l'aimantation pour une température T donnée et montrez que, pour T < T c cette aimantation est proportionnelle à

1 − _T ^T

c

^β

, où β est une constante à déterminer.

3. Etablir l'identité thermodynamique de l'énergie libre volumique f (T, M) et montrez que l'entropie prend une forme diérente pour T > T c et T < T c . Commentez.

4. Montrez que la capacité thermique volumique du matériau subit un saut ni lors de la transition de phase ferro - para.

Suite

On imagine à présent le matériau plongé dans un champ −−→

B ext uniforme.

1. Le travail volumique innitésimal à fournir un métal paramagnétique pour augmenter son moment magnétique de −−→

dM de façon réversible vaut δw _mag = −−→

B _ext . −−→

dM . (a) Rappelez la dénition d'un potentiel thermodynamique.

(b) Exprimez le potentiel thermodynamique volumique g ^∗ du métal pour une transformation monotherme et monomagnétique

(c) En déduire le potentiel thermodynamique volumique g du métal pour une transformation isotherme et isomagnétique

(d) Montrez l'identité thermodynamique dg = −MdB − sdT .

2. Déterminez l'équation traduisant l'équilibre du système sous T et B ext xé.

Evaluation

Connaissance du cours (/10)

• Identités thermodynamiques ( du = δw + δq , du = cdT , δq ^rev = T ds )

• Potentiel thermodynamique

Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4) Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)

Comportement (/2)

• Prise en compte des indications

• Adaptation au contexte de l'exercice

• Mojo

1 Daniel Suchet - 2012

Correction 1. _∂f

∂M

T

= a (T − T _c ) M + bM ³ = M b ^a _b (T − T _c ) + M ² Tableau de variation

Pour T > T _c −∞ 0 +∞

M b - 0 +

a

b (T − T c ) + M ²

+ +

_∂f

∂M

T - 0 : eq stable +

Pour T < T c −∞ − p _a

b T c (1 − T /T c ) 0 p _a

b T c (1 − T /T c ) +∞

M b - - 0 + +

a

b (T − T c ) + M ²

+ 0 - - 0 +

_∂f

∂M

T - 0, eq stable + 0 instable - 0 eq stable +

2. L'aimantation spontannée prend la valeur M S = ± p a

b T c (1 − T /T c )β = 1/2 3. df = du − T ds − sdT = −sdT donc s = − _∂f

∂T

M

= −f ₀ ⁰ (T ) − ¹ ₂ aM _s ² ; donc (a) pour T < T C , s = −f ₀ ⁰ (T ) − ^a _2b

(T c − T )

(b) pour T > T c , s = −f ₀ ⁰ (T )

4. D'après le premier principe, du = cdT = δq = T ds donc c _v = T _∂T ^∂s

= −f ₀ ⁰⁰ (T) + ^a _2b

T si T < T _c et = f ₀ ⁰⁰ (T ) si T > T _c : saut de ^a _2b

T _c .

5. Un potentiel thermo est une fonction d'état qui diminue lors de l'évolution spontanée du système et est minimale à l'équilibre.

(a) Pour un transfo monotherme et monomagnétique du = δw mag + δq = µ 0 H ext dM + δq et ds = _T ^δq

ext

+ δs _c ≥ _T ^δq

ext

donc 0 ≥ du − µ ₀ H _ext dM − T _ext ds = d (u − µ ₀ H _ext M − T _ext s) = dg ^∗ . (b) Pour une transformation isotherme et isomagnétique, g = u − µ ₀ HM − T s = f − µ ₀ HM et

dg = du − µ ₀ HdM − µ ₀ M dH − T ds − sdT donc dg = −µ 0 M dH − sdT 6. Equilibre : _∂g

∂M

T ,H = 0 ⇔ B ext = a(T − T c )M + bM ³ .

2 Daniel Suchet - 2012