Première S2 Exercices sur le chapitre 2 : E10 et E11. page n ° 1 2007 2008
E10 Avec une parabole…
P 36 n ° 27.
La courbe d'équation y = x² − 4x + 1 est une parabole. Son tableau de valeurs est :
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y 13 9.25 6 3.25 1 -0.75 -2 -2.75 -3 -2.75 -2 -0.75 1 3.25 6 9.25 13 Pour indiquer les coordonnées des points d'intersection avec les axes, je cherche x tel que f ( x ) = 0 et y tel que y = f ( 0 ).
x² − 4x + 1 = 0
∆ = 16 − 4 = 12 x1 =
2
4− 12 = 2 − 3 ≈ 0,26 x2 =
2
4+ 12 = 2 + 3 ≈ 3,73
Les points d'intersection avec les axes sont donc ( 2 − 3 ; 0 ) ; ( 2 + 3 ; 0 ) et ( 0 ; 1 ).
Résoudre graphiquement x² − 4x + 1 ≤ 0 cela signifie que je recherche les valeurs de x lorsque la parabole se situe en dessous de l'axe des abscisses. L'ensemble des solutions est [ 0,2 ; 3,7 ].
E11 Savoir utiliser le second degré.
P 37 n ° 35. Soit b le nombre caché par le texte.
Je cherche b tel que ( - 2 )² + b × ( - 2 ) + 3 = 0 ⇔ 4 − 2b + 3 = 0 ⇔ 2b = 7 ⇔ b = 3,5.
L'équation est donc x² + 3,5x + 3 = 0 ⇔ 2x² + 7x + 6 = 0.
∆ = 49 − 4 × 2 × 6 = 49 − 48 = 1 x1 =
4 7−1
− = - 2 x2 =
4 7+1
− = - 6 4 = - 3
2 L'autre racine est -1,5.
P 38 n ° 42.
a. 1
x − 1 x
1+ = 16 ⇔ x ≠ 0 et x ≠ - 1 et ++− = ) 1 x ( x
x 1
x 1
6 ⇔ x ≠ 0 et x ≠ - 1 et 6 = x ( x + 1 ) ⇔ x ≠ 0 et x ≠ - 1 et x² + x − 6 = 0
∆ = 1 − 4 × ( - 6 ) = 25 x1 =
2 5 1−
− = - 3 x2 =
2 5 1+
− = 2
L'ensemble des solutions est { - 3 ; 2 }.
Première S2 Exercices sur le chapitre 2 : E10 et E11. page n ° 2 2007 2008
b. x 2
1+ − 1 x
1− = 8 ⇔ x ≠ -2 et x ≠ 1 et x − 1 − x − 2 = 8 ( x + 2 ) ( x − 1 )
⇔ x ≠ -2 et x ≠ 1 et -3 = 8 ( x² + 2x − x − 2 ) ⇔ x ≠ -2 et x ≠ 1 et - 3 = 8x² + 8x − 16 ⇔ x ≠ -2 et x ≠ 1 et 8x² + 8x − 13 = 0
∆ = 64 − 4 × 8 × ( - 13 ) = 64 + 416 = 480
x1 = 8 2
480 8−×
− =
16 30 16 8− ×
− =
16 30 4 8−
− =
4 30 2−
− x2 =
4 30 2+
−
L'ensemble des solutions est { 4
30 2−
− ; 4
30 2+
− }.
c. x = 1 + 1
x ⇔ x ≠ 0 et x² = x + 1 ⇔ x ≠ 0 et x² − x − 1 = 0
∆ = 1 − 4 × ( - 1 ) = 1 + 4 = 5 x1 =
2 5 1− x2 =
2 5 1+
L'ensemble des solutions est { 2
5 1− ;
2 5 1+ }.
d. x² 1
1
²
x +− = 2 ⇔ x² − 1 = 2x² + 2 ⇔ x² + 3 = 0 . Il n'y a pas de solutions car un carré est toujours positif.
e. x 4
6 x 3 2 x
5 x
2−+ = +− ⇔ x ≠ 2 et x ≠ -4 et ( 2x + 5 ) ( x + 4 ) = ( 3x − 6 ) ( x − 2 ) 4
x 6 x 3 2 x
5 x
2−+ = +− ⇔ x ≠ 2 et x ≠ -4 et ⇔ 2x² + 8x + 5x + 20 = 3x² − 6x − 6x + 12
4 x
6 x 3 2 x
5 x
2−+ = +− ⇔ x ≠ 2 et x ≠ -4 et ⇔ 2x² + 13x + 20 = 3x² − 12x + 12 ⇔ x² − 25x − 8 = 0
∆ = 25² − 4 × ( - 8 ) = 625 + 32 = 657 = 9 × 73 x1 =
2 73 3 25− x2 =
2 73 3 25+
L'ensemble des solutions est { 2
73 3 25− ;
2 73 3 25+ }.
P 44 n ° 103.
J'appelle L la longueur du rectangle et l sa largeur.
Son aire est L × l = 96 ⇔ l = 96 L .
Sa diagonale mesure 4 13. Cad L² + l² = 16 × 13 = 208.
Je cherche donc L tel que L² + ( 96
L )² = 208 ⇔ L4 + 9216 = 208L² ⇔ L4 − 208L² + 9216 = 0.
∆ = 208² − 4 × 9216 = 43264 − 36 864 = 6400 = 80² ( L1 ) ² =
2 80 208− = 128
2 = 64 ( L1 ) ² = 64 ⇔ L1 = 8 ( L2 ) ² =
2 80 208+ = 288
2 = 144 ( L2 ) ² = 144 ⇔ L2 = 12.
La longueur du rectangle est donc égale à 12 et sa largeur est égale à 8.
