Sur la série de Fourier

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J. DE S ÉGUIER Sur la série de Fourier

Nouvelles annales de mathématiques 3

série, tome 11

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SUR LA SÉRIE DE FOURIER;

PAK J. DE SÉGUJER, S. J.

Professeur à l'Université d'Angers.

Considérons la série

S= V — / f(u)e » du,

u,u0, io étant des grandeurs complexes, f(u) une fonc- tion telle que l'intégrale du terme général prise suivant un chemin rectiligne ait un sens, enfin s étant pris sur le chemin d'intégration.

Posons u = uo-h~ iot, z = u0 H- coÇ; t,Ç seront réels et Ton aura

S = V f f(iiQ-+-u>t) c^'u^-t)dt.

n =— » U

Soit alors

n=z— k

Les exponentielles formant une progression géomé-

t r i q u e , on o b t i e t i l

S/-= ƒ <£> ) : s i n i u ( f — S = lim S/(,

et l'on est r.i neiié a des intégrales de Diriehlet.

Si cp(/) n'a pour o f ^ i d'autres discontinuités que des changements brusques de \aleur (en restant finie), ou des pôles a tels que / v(t) dt reste finie quand t tend vers a par des \ aleurs supérieuresou infé- rieures à a et que la partie (réelle ou imaginaire, ou les deux parties) de 3 (/) qui devient infinie ait le même signe pour t r=r a -j- s, t = a — s, on a : pour toute valeur de *C différente de o et 1 ou la fonction <p est continue,

s - < ? ( £ ) - y ^ ) .

])our toute valeur "C =. a où la fonction est discontinue S — 4[?(> — o)-f-cp(a — o ) ],

enfin, pour Ç = o ou C = 1

(I) S = J [^?( 0 ) - r - 0 ( l ) ] = r U/(Mo)-r-/(Mo-+-Cü)]

(voit < par exemple, le cours de M. Picard, tome I ) . Du dé> eloppemeiit précédent, en posant e w = t>, on déduit évidemment un développement de Laurent pour une fonction de v qui serait bolomorpbe en log v.

En (in, si j (z) a la péiiode (o, comme on peut, en restant dans une région ou J (z) est bolomorpbe, dé- placer parallèlement à lui-même le segment d'intégra- tion, on retrouve ainsi le développement de Fourier et celui de Laurent tels qu'ils se déduisent par la voie ordinaiie du tliéorcmede Caucby.

( 3 o i )

Voici, pour terminer, deux exemples (' ) où u⁰ — o,

Dans le second développement, la variable z peut atteindre les extrémités du segment, car

ƒ("<>)=ƒ ("o-H <*>) = i [/(«o) + / ( « o + w ) ] . On peut sur le premier vérifier directement la for- mule ( i ) d'après le développement connu de la cotan- gente.