PanaMaths Juin 2014
Etudier la série de terme général :
( ) ln 1 ln
n n
u
n
=
Analyse
On doit d’emblée remarquer que le terme général de la série est positif. On peut ensuite facilement le comparer au terme général d’une série convergente.
Résolution
Pour n≥2, on a lnn>0 et donc
( )
lnn lnn >0 et enfin un>0.Par ailleurs, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 :
( )
lnn lnn =eln ln( )n×lnn =nln ln( )n .Mais on a : lim ln ln
( )
n n
→+∞ = +∞. Ainsi, pour n suffisamment grand, on a : nln ln( )n >n2 puis
( ) 2
ln ln
1 1
n n
n < , soit 12 un
<n . Comme la série de Riemann 12
∑
n converge (2 1> ), on en déduit finalement que la série un∑
converge.Résultat final
La série de terme général un =
