Suites et séries numériques (S1, S2, C1, C2)
I Liste oral ccp
EXERCICE 1 analyse
1. On considère deux suites numériques(un)n∈
Net(vn)n∈
Ntelles que(vn)est non nulle à partir d’un certain rang etun ∼
+∞vn.
Démontrer queun et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.
2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de :un=sh 1
n
−tan 1
n
.
II Suites
Exercice 1(Irrationalité dee, un classique à avoir fait (culture générale)).
On définit la suite de terme général un= 1 + 1
1!+ 1
2!+· · ·+ 1 n! .
1. En introduisant la suite de terme généralvn=un+ 1/n!, montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes, en déduire que la suite (un) converge vers une limite que l’on notera`
2. Montrer que`est irrationnel. On pourra raisonner par l’absurde, et encadrer` parun etvn pournbien choisi.
(La convergence de la suite (un) est très simple lorsqu’on connaît les résultats de base sur les séries : il suffit par exemple de dire que un =o
1 n2
. L’introduction du théorème des suites adjacentes sert ici à montrer l’irrationalité de la limite. Il est rare que l’on puisse montrer aussi facilement l’irrationalité d’un nombre réel ; pour e, on peut le faire car on dispose d’une suite qui converge très rapidement vers e. On peut montrer (c’est nettement plus difficile) queeest beaucoup plus qu’irrationnel : il est transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation algébrique, i.e. racine d’aucun polynôme à coefficients rationnels).
Exercice 2(Moyenne arithmético-géométrique, à peine moins classique !).
Soit a et b deux réels strictement positifs ; on définit deux suites (un) et (vn) par récurrence :u0=a, v0=b et, pour tout entier natureln,
un+1=un+vn
2 et vn+1=√ unvn .
Démontrer que ces deux suites convergent vers une limite commune (appelée moyenne arithmético-géométrique deaetb, et qu’on peut montrer être égale à π
2I où
I= Z +∞
0
dt
p(t2+a2)(t2+b2)
Ce résultat, grand classique mais qui se pose encore par exemple à l’oral des Mines, est à la base de l’algorithme de Gauss-Salamin de calcul de valeurs décimales approchées deπ.).
Exercice 3(Procédés de sommation : Césaro, Euler).
Encore un classique, technique puisqu’utilisant leset un découpage. Lorsque le théo- rème de Césaro est utilisé dans un énoncé, on l’admet en général ; si on demande de le démontrer, c’est avec les outils de sommation des relations de comparaison (voir chapitre Sn, n grand). Donc cet énoncé perd un peu de son utilité. En revanche, c’est un excellent entraînement au « découpage ». Dans les vieux livres d’exercices, c’est souvent le premier exercice posé sur les suites.
On considère une suite (un)n≥0 de nombres réels ou complexes. On définit la suite (vn)n≥0par
vn= 1
n+ 1(u0+u1+u2+· · ·+un)
1. On suppose que la suite(un)converge vers0. Montrer que la suite(vn)converge vers0.
[Indication : soit > 0. Montrer qu’il existe un rang N tel que, si n ≥ N,
|vn| ≤. Pour cela, coupervn en deux morceaux.]
2. On suppose que la suite(un)converge. Montrer que la suite(vn)converge. C’est le théorème de Césaro.
3. Donner un exemple montrant que la réciproque de la propriété précédente est fausse.
4. On suppose que la suite(un)est réelle et tend vers+∞. Montrer que la suite (vn)tend elle aussi vers+∞.
5. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie ? 6. On définit maintenant, pourn≥1,
wn= 1 2n
n 0
u0+ n
1
u1+· · ·+ n
n
un
Reprendre les questions précédentes en remplaçant(vn)par(wn)
L’utilisation la plus célèbre du procédé de sommation « par moyennes arithmétiques », dit aussi « de Césaro », se trouve dans la théorie, hors programme, des séries de Fourier.
Autant la convergence de la suite des sommes partielles de Fourier d’une fonction conti- nue pose des problèmes d’une considérable difficulté, autant celle de leurs moyennes arithmétiques, appelées sommes de Féjer, est accessible.
Exercice 4 (Oral Centrale). (à n’aborder que si on est assez à l’aise avec l’exercice sur Césaro ; c’est un vieil exercice d’oral de Centrale, plus proche actuellement d’un exercice d’oral X)
Soit(an)n≥0∈RN etγ∈]−1,1[. Montrer an −−−−−→
n→+∞ 0 ⇐⇒ an+1−γan−−−−−→
n→+∞ 0
III Comparaison asymptotique de suites
• Le cas des suites dont le terme général un est donné en fonction de n est assez simple : il s’agit d’appliquer un développement limité au voisinage deaà une expression (un terme général de suite) convergeant vers a. Le plus courant : application d’un développement au voisinage de 0 à 1/n ou à 1/2n, etc. . .Pour cela, il est nécessaire de connaître les résultats sur les croissances comparées, et les développements limités usuels.
• Pour une suite définie par récurrence ou de manière mixte (un+1 en fonction deun
et den), il faut souvent commencer par étudier la suite pour déterminer sa limite, afin de savoir quels développements lui sont applicables.
•Parfois un développement asymptotique s’obtient laborieusement : on étudie la suite (un). On commence par déterminer sa limite (si elle en a une !)`, puis on posevn = un−`. La suite(vn)converge vers 0, ce qui est commode car tous les développements que l’on connaît sont au voisinage de 0. Souvent, on injecte un développement déja trouvé dans la relation de définition de (un) pour en trouver un plus précis (voir exercice sur les solutions detanx=x).
Exercice 5. Classer par ordre de prépondérance (avec la relation ) les suites de termes généraux :
(lnn)3 ,ln(n3) , 3n
n3 ,2n,en/2 ,(ln(lnn))n ,nln(lnn) , n lnn.
Exercice 6. Classer par ordre de prépondérance (avec la relation ) les suites de termes généraux :
1
n4 , lnn
n5 , 2n
1 + 3n , 2−ln(lnn) , ln(lnn)
lnn + n , lnn
2n + n2 , tan(1/n)
1 + cos3(1/n), (cos(1/n))sin(1/n)−1
Exercice 7. Trouver une suite réelle(un)telle que n2un 2n
Exercice 8. On noteC le cercle trigonométrique,Sn (resp.Tn) la longueur du poly- gone régulier à2n côtés inscrit dansC (resp. circonscrit àC). On montre alors :
Sn= 2n+1sin π
2n , Tn= 2n+1tan π 2n
Donner un équivalent deTn−Sn.Cet énoncé est lié à la méthode d’Archimède de calcul de valeurs approchées deπ.
Exercice 9. Oral Mines[Il vaut mieux connaître tan(a+b) =. . .]
Donner un développement asymptotique à deux termes de la suite de terme général 1
ntan(π/4+1/n)
Exercice 10. Etudier la convergence des suites dont les termes généraux sont donnés ci-dessous :
nlnn
(lnn)n ; nπ
2−arccos 1 nα
(α >0) ; nsinh
π(nα+ 1)1/αi
(α >1)
Exercice 11. Donner un équivalent simple, lorsque n→+∞, de cos
πn2ln(1 + 1/n) .
Exercice 12 (Savoir faire).
Soitxun nombre réel ; on note`la limite de la suite(un)de terme général un= 1 +x/nn
. Déterminer`, puis un équivalent deun−`.
Exercice 13. Soient (un) et (vn)deux suites à termes réels strictement positifs. On suppose que un∼vn. Montrer que, si (un) a pour limite +∞, alors ln(un)∼ln(vn).
Rappelons que la simple hypothèseun∼vn n’implique pasln(un)∼ln(vn).
IV Suites définies implicitement ou par récurrence
Les exercices suivants sont plutôt des exercices d’oral, moins à la mode avec le pro- gramme actuel, mais qu’on peut encore rencontrer. Le principe en est le suivant : on définit une suite, en général « implicitement » (i.e. on ne donne pas le terme généralun en fonction den). Par exemple,unest l’unique solution d’une équation dans laquellen intervient. On étudie le comportement deun progressivement : on commence par étu- dier sa convergence, puis on essaye d’obtenir un développement asymptotique donnant un résultat plus précis, puis par réinjections successives on obtient des développements de plus en plus détaillés.
Ces exercices ont un intérêt technique. Mais ils ne sont pas simples, et pas forcément prioritaires.
Exercice 14 (Pas trop difficile, permet de voir comment ça marche).
Déterminer un développement asymptotique à la précision1/n2de la suite donnée par son premier terme réelx0et la relation de récurrence
∀n∈N xn+1=exp(−xn) n+ 1 .
Indication : commencer par chercher un équivalent dexn, puis utiliser cet équivalent pour trouver un développement plus précis, etc. . .
Exercice 15. Oral Mines
Montrer qu’il existe un unique réel, noté f(k), solution de l’équation x+ lnx = k.
Etudier le comportement asymptotique def(k)quand k→+∞.
Les deux exercices suivants se posent encore à l’oral X-Centrale-Mines
Exercice 16. Soit, pourn≥2, Pn =Xn−X−1. Démontrer que Pn a une unique racine réelle positive un. Démontrer que la suite (un) converge, et donner un déve- loppement asymptotique à trois termes deun (la limite étant le premier de ces trois termes).
Exercice 17. Oral MinesSoit, pourn≥2,Pn =Xn−nX+ 1. Démontrer quePn a une plus grande racine réelleun. Démontrer que la suite(un)converge, et donner un développement asymptotique à deux termes de un (la limite étant le premier de ces deux termes).
Exercice 18. Oral X, Mines Soit, pourn≥1,fn : x7→
n
X
k=1
xk −1. Montrer qu’il existe un unique réel strictement positif tel quefn(xn) = 0. Etudier la suite(xn)et en donner un développement asymptotique à deux termes.
V Liste oral ccp (séries)
EXERCICE 5 analyse
1. On considère la série de terme généralun= 1
n(lnn)α oùn>2 etα∈R. (a) Casα60
En utilisant une minoration très simple deun, démontrer que la série diverge.
(b) Casα >0
Étudier la nature de la série.
Indication: On pourra utiliser la fonctionf définie parf(x) = 1 x(lnx)α.
2. Déterminer la nature de la série X
n>3
e−
1 + 1
n n
en1
(ln(n2+n))2 . EXERCICE 6 analyse
Soit (un)n∈
N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à 1.
1. Démontrer que si lim
n→+∞
un+1
un
=l, alors la sérieX
un converge.
Indication: écrire, judicieusement, la définition de lim
n→+∞
un+1
un
=l, puis ma- jorer, pournassez grand, un par le terme général d’une suite géométrique.
2. Quelle est la nature de la sérieX
n>1
n!
nn ? EXERCICE 7 analyse
1. Soient(un)n∈
N et (vn)n∈
Ndeux suites de nombres réels positifs. Montrer que : un ∼
+∞vn =⇒ X
un et X
vn sont de même nature.
2. Étudier la convergence de la sérieX
n>2
((−1)n+i) lnn sin 1
n
√n+ 3−1 . (iest ici le nombre complexe de carré égal à−1)
EXERCICE 8 analyse La deuxième question de cet exercice porte sur les séries de fonctions, chapitre ultérieur Soit (un)n∈N une suite décroissante positive de limite nulle.
1. (a) Démontrer que la sérieX
(−1)kuk est convergente.
Indication : on pourra considérer (S2n)n∈
N et (S2n+1)n∈
N avec Sn =
n
X
k=0
(−1)kuk.
(b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la sérieX
(−1)kuk. 2. Suite de l’exercice : nécessite les séries de fonctions
(a) Étudier la convergence simple surRde la série de fonctionsX
n>1
(−1)ne−nx
n .
(b) Étudier la convergence uniforme sur [0,+∞[ de la série de fonctions P
n>1
(−1)ne−nx
n .
EXERCICE 46 analyse On considère la série :X
n≥1
cos πp
n2+n+ 1 .
1. Prouver que, au voisinage de+∞,πp
n2+n+ 1 =nπ+π 2+απ
n+O 1
n2
où αest un réel que l’on déterminera.
2. En déduire queX
n≥1
cos πp
n2+n+ 1
converge.
3. X
n≥1
cos πp
n2+n+ 1
converge-t-elle absolument ?
VI Séries
— On ne doit pas parler de la somme d’une série avant d’avoir établi sa conver- gence ; autrement dit, on n’utilisera le symbole
+∞
X
n=0
un qu’après avoir montré la convergence de la série de terme généralun.
— Commencer par bien identifier la situation : est-ce une série à termes réels positifs (éventuellement à partir d’un certain rang) ? si ce n’est pas le cas, on s’oriente en général vers la convergence absolue ou le théorème sur les séries alternées.
Quelques techniques d’étude de convergence:
— Le calcul des sommes partielles ramène à une étude de suite, mais est rarement possible (un exemple de calcul possible : les séries géométriques).
— La technique précédente ramène explicitement l’étude d’une série à l’étude d’une suite. Mais c’est plutôt l’inverse qui est important : étudier la suite(un), c’est étudier la sérieP
vn avecvn=un+1−un (série parfois appelée télescopique).
C’est une idée fondamentale ; souvent, « démontrer qu’il existe une constante telle que » se fait en faisant apparaître la constante en question comme somme d’une série (voir exercices).
— Théorème des séries alternées on reconnaît souvent facilement une série alternée (mais il ne faut pas se laisser leurrer par un simple (−1)n, et bien vérifier que toutes les conditions d’application du théorème sont réunies, éviter par exemple d’appliquer le théorème à des suites complexes non réelles, à des suites réelles dont la valeur absolue ne décroît pas. . .) ; bien se souvenir de la majoration du reste, souvent utile.
— Majoration de la valeur absolue ou du module du terme généralou du terme général lui-même pour les séries positives. C’est bien|un|(ouun pour une série positive) que l’on majore, pas|Sn|; il est incorrect d’écrire
|
n
X
i=0
ui| ≤
n
X
i=0
|ui| ≤
n
X
i=0
1
2i or la sérieX 1
2n converge doncP
un, absolument convergente, est convergente
et, encore plus incorrect :
|
+∞
X
i=0
ui| ≤
+∞
X
i=0
|ui| ≤
+∞
X
i=0
1
2i qui a un sens doncPun, absolument convergente, est convergente.
La bonne rédaction est : à partir d’un certain rang, on a|un| ≤1/2n, donc, par comparaison à une suite géométrique de raison 1/2 ∈ [0,1[, la série de terme généralun converge.
— Utilisation d’un o ou d’un O même chose que ce qui précède. Comme un = o(. . .) et |un| = o(. . .) signifient la même chose, c’est une technique de démonstration d’absolue convergence. Ne pas oublier la positivité du terme général !
— Comparaison logarithmiqueValable seulement pour les séries à termes stric- tement positifs. Sert surtout à construire des critères de convergence (d’Alem- bert au programme, Raabe-Duhamel en exercice. . .).
— Utilisation de la règle de d’Alembertrare dans les exercices, elle intervient surtout pour quelques séries fondamentales (série exponentielle par exemple).
On y pense quand le terme général contient des factorielles, des puissances et des termes qui se simplifient bien lorsque l’on effectue le quotientun+1/un. Ne marche que pour des séries strictement positives au moins à partir d’un certain rang ; si ce n’est pas le cas, mettre des valeurs absolues ou des modules.
— Utilisation d’un équivalent Surtout ne pas l’utiliser pour des suites qui ne sont pas réelles positives (une erreur classique est de l’utiliser pour une série alternée).
— Utilisation d’un développement asymptotiquedans le cas d’une série qui n’est pas positive, permet de pallier l’impossibilité de conclure avec un équi- valent.
— Comparaison à une intégralePour les suites réelles positives. Bien écrire un=f(n), oùf est l’applicationx7→. . ., puis on étudie les propriétés de cette application.
— Et si on veut calculer la somme ? C’est rarement possible, et dans un certain nombre de cas le plus commode est d’utiliser un développement en série entière connu, voir chapitre sur les séries entières. Quelques idées néanmoins : décom- poser un en éléments simples quand un est une fraction rationnelle de n, se ramener à une série géométrique, ou exponentielle, grouper des termes (somma- tion par paquets, hors programme. . .), utiliser astucieusement le théorème sur les séries alternées. . .
Exercice 19. Un ancien rapport de l’X déplore que certains candidats ne sachent pas, en partant de l’hypothèse « la sérieP
anconverge », écrireansous la formeun−un−1
où(un)est une suite qui converge vers0. Et vous ?
Exercice 20. Soit (un) une suite de réels positifs. Montrer que si Pun converge, alors P
u2n converge. Donner un exemple prouvant que si (un)est une suite de réels quelconques, ce n’est plus toujours vrai.
Exercice 21. SoitP,Qdeux polynômes. A quelle condition la série X
n≥n0
P(n) Q(n)
(n0choisi pour que le dénominateur ne s’annule pas) converge-t-elle ?
Exercice 22. Nature de la sériePsinn?
Exercice 23. Soit(un)une suite à termes réels positifs, décroissante. Montrer que si la sériePunconverge, alorsun=o(1/n). Montrer que ce résultat est faux si on enlève l’hypothèse « décroissante ».
Exercice 24 (Savoir faire).
Soitk > 1; on note Sk =
+∞
X
n=1
1
nk et Σk =
+∞
X
n=1
1
(2n+ 1)k ; calculerΣk en fonction de Sk.
Exercice 25 (Oral Mines). Soit α ∈]1,+∞[. Déterminer la nature des séries de terme général donné par les formules
un=
+∞
X
k=n
1
kα , vn=
+∞
X
k=n
(−1)k
kα , wn =
+∞
X
k=n
1 k2
n
X
k=1
1 k
!α
Exercice 26 (Oral Mines).
Nature de la série de terme généralsin(πp
1 +n+n2).
Exercice 27 (Oral Centrale, Mines).
Etudier la nature de la série Xsin
π(2−√ 3)n
et en déduire celle de la sérieX sin
π(2 +√ 3)n
.
Ce très vieux classique est parfois posé en ne donnant que la deuxième question, ce qui le rend plutôt astucieux. Mauvais exercice d’oral. . .
Exercice 28(Oral Centrale). Etudier la suite(un)définie paru0∈Ret, pour tout n,un+1=un+ 1
u2n+ 1. Etudier la nature de la série de terme généralvn=un−1.
Exercice 29 (Fabrication d’un exercice d’oral : on part d’une astuce. . .).
Etudier, suivant la valeur du réel strictement positifa, la convergence de la série de terme généralalnn.
Exercice 30 (. . .et on « brode » : Oral Centrale). Etudier, suivant la valeur du réel strictement positif a, la convergence de la série de terme général aHn où Hn =
n
X
k=1
1 k.
Exercice 31. Etudier, suivant les valeurs du réel strictement positifa, la convergence des séries de termes généraux :an2,an,a
√n,aln(n)
Exercice 32 (Oral Mines). Discuter, en fonction des réels strictement positifsaet α, la nature de la série de terme général
un=axn où xn=
n
X
k=1
1/kα
Exercice 33 (Oral Mines). Instructif mais épuisant, c’est plutôt un exercice pour 5/2
Discuter la nature de la série de terme général ln(1 +annα)
nβ oùa,α,β sont des réels, a≥ −1.
On remarquera qu’il se peut que le terme général ne soit pas défini, ou ne le soit qu’à partir d’un certain rang.
Exercice 34 (Intéressant).
Démontrer que, si |x| < 1, la série X
n≥0
xn
1 +xn converge. Par comparaison avec une intégrale, montrer que, si l’on notef(x)sa somme,f(x)est équivalent au voisinage à gauche de1 à ln 2
1−x.
Exercice 35 (Classique : séries de Bertrand). Etudier la nature de la série X 1
nα(lnn)β suivant les valeurs des réelsαetβ.
Exercice 36 (Oral Centrale). [Intéressant]
Pour quelles valeurs du réelαle nombre un =
∞
X
k=n
(k+ 1)−αexiste-t-il ? Etudier alors la nature de la série de terme généralun.
Exercice 37. Etudier suivant les valeurs du réelαla convergence de la série de terme général
exp(−1)n nα
−1.
Exercice 38. Etudier suivant les valeurs du réel α la nature de la série de terme général
(−1)n−1 nα+ (−1)n .
Exercice 39. Etudier la nature de la série de terme général (−1)n n+ sinn
Exercice 40 (Centrale, Mines, X : critère de Raabe-Duhamel).
Exercice extrêmement instructif qui aboutit à un critère assez inutile ! 1. On considère une sériePun à termes strictement positifs telle que
un+1
un = 1−α n+ O
n→∞
1 n2
oùαest un réel. On considère la suite de terme généralvn = ln(nαun)et la série Pwnoùwn =vn+1−vn. Démontrer que cette série converge. Qu’en déduit-on pour la suite(vn)? Démontrer alors qu’il existe un réel strictement positifλtel que
un ∼
n→+∞
λ nα .
2. On considère la suite donnée par la condition initialeu0 = 1et la relation de récurrence, pour tout entier natureln,
un+1
un =n+a n+b
oùa et b sont deux réels strictement positifs fixés. Etudier suivant les valeurs des réelsaet bla convergence de la sériePun.
3. On considère une sérieP
un à termes strictement positifs telle que un+1
un
= 1−α n+ o
n→∞
1 n
oùαest un réel. Dire pour quelles valeurs deαon peut conclure à la convergence de la sériePun, pour quelles valeurs on peut conclure à sa divergence, et pour quelle valeur on ne peut conclure. Indication : considérervn = 1
nβ, donner un développement limité de vn+1
vn
et le comparer à celui de un+1
un
pour conclure, suivant les valeurs deβ,un=O(vn)ou l’inverse.
Exercice 41 (Constante d’Euler, formule de Stirling).
On remarquera dans la première question une alternative à l’utilisation de la conver- gence dePwn (voir comparaison sommes/intégrales), mais l’idée est plus astucieuse.
Dans la deuxième question, on obtient la formule de Stirling, mais seulement à une constante près. La constante peut se déterminer en utilisant le résultat d’un exercice bien intéressant sur les intégrales de Wallis.
1. On définit, pour tout entier naturel non nuln, Sn=
n
X
k=1
1
k et un=Sn−lnn .
Trouver un équivalent deun+1−un. En déduire que la suite(un)converge. On appelleγsa limite.
2. On note
un =n e
n
√n
n!
etvn = lnun. Déterminer un équivalent devn+1−vn. Qu’en déduit-on ?
Exercice 42. Présentation de quelques cas dans lesquels on est capable de calculer une somme de série. On verra d’autres exemples dans le chapitre sur les séries entières.
Calculer les sommes des séries suivantes, dont on justifiera au préalable la convergence : X 1
n(n+ 1) , X 1
n2−1 , Xsinnα
2n , Xn2+n+ 2 n! .
Exercice 43. [Fonction zeta]
On note, siz=x+iyest un nombre complexe (x, yréels), si n≥0, nz=nxeiyln(n)
1. Calculer, à l’aide de la partie réelle du nombre complexez, le module denz. 2. Pour quelles valeurs du nombre complexez la série X 1
nz est-elle absolument convergente ? On noteζ(z)sa somme.
3. En comparant la série à une intégrale, démontrer que
1
z−1 −ζ(z) ≤ |z|
x+ 1 oùxdésigne la partie réelle dez.
4. On se restreint àR. Déterminer un équivalent, au voisinage de 1 à droite, de ζ(s).
VII Exercices divers
Exercice 44 (Oral X). On définit :un= 1/nsi nn’est pas un carré,un=−1/n si nest un carré. Nature de la sérieX
un?
Exercice 45 (X). Soitd >0 et (zn)une suite de nombres complexes non nuls telle que, sin6=m, |zn−zm| ≥d. Soitα >2. Montrer que la série de terme général 1
|zn|α converge.
Exercice 46(ens Paris, Lyon). Soit(zn)une suite de nombres complexes non nuls telle que, sin6=m,|zn−zm| ≥1. Montrer que la série de terme général 1
zn3 converge.
Exercice 47(X). Soitaune suite de réels strictement positifs, strictement croissante.
Etudier la nature de la série de terme général an−an+1
an
.
Exercice 48 (Oral X). Soit (un) une suite réelle strictement positive telle que la série de terme généralun converge. On noteRn le reste d’ordren:Rn=
∞
X
k=n+1
uk. On noteSn la somme partielle d’ordren. Etudier la nature des séries de termes généraux un/Rn, un/Rn−1et un/Sn.
Exercice 49(Paris-Lyon-Cachan). Soit(an)n∈N∈(R+)Ntelle queP
anconverge.
Existe-t-il une suite(bn)de réels positifs, tendant vers+∞, telle quePanbnconverge ?
Exercice 50(X). Soitσune permutation deN∗. Nature de la série de terme général σ(n)
n2 ?
Exercice 51 (Oral ens (ULCR) et Oral Mines, un petit peu d’astuce. . .).
Soit (un) une suite de réels positifs. On suppose que P
un converge. Montrer que X√
unun+1 converge. La réciproque est-elle vraie ? Exercice 52 (Oral X). Posons, pour toutn∈N∗, un=
n
X
k=1
√1 k−2√
n.
1. Montrer que la suite(un)converge. On note `sa limite.
2. Préciser le signe de`.
3. Montrer que`=−(1 +√ 2)
+∞
X
p=1
(−1)p+1
√p . 4. Montrer queun =`+ 1
2√ n+O
1 n3/2
. 5. Montrer que, pour toutn∈N∗,un=−
n
X
p=1
√ 1 p(√
p+√
p−1)2.
