Chapitre 10 : Forme trigonométrique d’un complexe 1 Rappel de trigonométrie
x 0 π
6 π 4
π 3
π 2
cosx
sinx
Pour tout nombrex:
−1≤cosx≤1
−1≤sinx≤1 (cosx)2+ (sinx)2 = 1 Propriété
2 Module et argument
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct(O;→u ,→v).
Soitzun nombre complexe etM son image dans le plan complexe.
Lemoduledez, noté|z|, est . . . . Si z est non nul, on appelle argument de z, noté arg(z), toute mesure en radian de
. . . . Définition
Siz=a+ibalors|z|=p
a2+b2et en notantθ=arg(z), on a :cosθ= a
|z|etsinθ= b
|z| Propriété
Exemple
|i|=. . . arg(i) =. . . (2π) | −3|= 3 arg(−3) =. . . (2π)
• Pour tout nombre complexez,zz=. . . .
• Pour tout nombre complexez,| −z|=. . . .
• Pour tout nombre complexe non nulz: arg(−z) =. . . .
arg(z) =. . . .
• zest un réel,(z6= 0), si et seulement si . . . .
• z est un imaginaire pur, (z 6= 0), si et seulement si . . . .
Propriété
3 Forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme suivante, dite . . . : z=r(cosθ+isinθ) avec r =|z| et θ= arg(z) (2π) Définition
4 Passage d’une forme à l’autre
• Si la forme algébrique dezestz=a+bi, avecz6= 0, alors sa forme trigonométrique est :z =r(cosθ+isinθ) avecr=. . . etθtel quecosθ=. . . etsinθ=. . . .
• Si la forme trigonométrique de z est z = r(cosθ+isinθ), alors sa forme algébrique est : z = a+bi avec a=. . . .etb=. . . .
Exemple
Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant :z= 1 +√ 3i
r=. . . .etcosθ=. . . .,sinθ=. . . ., d’oùθ=. . . . D’oùz=. . . .
5 Propriétés
On considère z6= 0etz′ 6= 0:
Opérations Module : Argument :
z×z′ |z×z′|= arg(z×z′) =
zn |zn|= arg(zn) = 1
z
1 z
= arg(1
z) = z
z′
z z′
= arg(z
z′) =
|z+z′| ≤. . . .
Propriété(Inégalité triangulaire)
6 Géométrie
SoientA,B etCtrois points distincts du plan complexe, d’affixes respectiveszA,zBetzC.
|zB−zA|=AB et arg(zB−zA) = (→u;
−→
AB) (2π)
Propriété
zB−zC
zA−zC
= CB
CA et arg
zB−zC
zA−zC
= (
−→
CA;
−→
CB) (2π) Propriété
Par conséquent, les pointsA,B etCsont alignés si et seulement si . . . . et les droites(BC)et(AC)sont perpendiculaires si et seulement si . . . . Caractérisation du cercleΓde centreΩ(ω)et de rayon R :
M(z)∈Γ⇔ΩM =R⇔ |z−ω|=R.
Caractérisation de la médiatrice∆de[AB]:
M(z)∈∆⇔AM =BM ⇔ |z−zA|=|z−zB|.
