DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Sur les fonctions continues p´ eriodiques, ou presque
Rappel : soit Gun sous-groupe additif de R. On rappelle l’alternative suivante, qu’il est inutile de red´e- montrer : soitGest de la formeaZpour un certain r´eel positif ou nula, soitGest dense dansR.
Notations et terminologie :
– Dans ce qui suit,f d´esigne une fonction deRdansR, etT est un r´eel.
– On noteC(R) leR-espace vectoriel (et anneau) des fonctions continues deRdansR.
– On noteBleR-espace vectoriel (et anneau) des fonctions continues et born´ees deRdansR.
– On dit queT estunep´eriodedef (et quef estT-p´eriodique) si, pour tout r´eelx, on a :f(x+T) =f(x).
– On noteCT l’ensemble des fonctions continuesT-p´eriodiques deRdansR. – On dira quef est p´eriodique si elle admet une p´eriode non nulle.
– On noteCper l’ensemble des fonctions continuesp´eriodiques deRdansR,i.e.: Cper = S
T∈R∗
CT. – On note Ωf l’ensemble des p´eriodes def.
– Si Ωf∩R∗+ admet un plus petit ´el´ementT0, on dit queT0 estlap´eriode def.
Partie A – Pr´ eliminaires sur la partie fractionnaire d’un r´ eel
Lapartie fractionnaire F(x) d’un r´eel xest le nombrex− bxc, o`u bxcd´esigne la partie enti`ere de x. On a doncF(x)∈[0,1[.
A.1Soitx, y∈R. Montrer que
F(x+y) =
F(x) +F(y) siF(x) +F(y)<1, F(x) +F(y)−1 si F(x) +F(y)>1.
A.2 Soit x0 un r´eel non entier (on a donc F(x0)>0). Soit m un entier tel quemF(x0)>1. Soit x∈ R. Montrer que l’un (au moins) des termes de la famille (x+kx0)k∈[[0,m]] est de partie fractionnaire inf´erieure ou
´egale `a F(x0).
Indication : on pourra d’abord traiter le cas o`u il existe k ∈ [[0, m−1]] tel que F(x+ (k+ 1)x0) = F(x+ kx0) +F(x0)−1, et consid´ererF(x+mx0)−F(x) dans le cas contraire.
A.3Soitα∈R\Qetδ∈R∗+. Montrer l’existence d’un entier relatifutel que 0< F(uα)6δ.
Partie B – G´ en´ eralit´ es sur les fonctions p´ eriodiques
B.1Montrer que toute fonction continue p´eriodique deRdansRest uniform´ement continue.
B.2
a Montrer que Ωf est un sous-groupe additif de R.
bOn supposef continue, p´eriodique et non constante surR. Montrer quefadmet une plus petite p´eriode strictement positive.
c Donner un exemple de fonction f p´eriodique non constante n’admettant pas de plus petite p´eriode strictement positive.
B.3Montrer queCT est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau deC(R).
B.4Montrer queCper ⊂ B.
B.5
aOn consid`ere deux r´eels strictement positifsTg etTh, et on les supposeincommensurables,i.e.Tg/Th∈ R\Q.
On consid`ere deux fonctions g et h continues, p´eriodiques et non constantes de Cper, dont les p´eriodes respectives sontTg etTh.
Montrer queg+hn’est pas p´eriodique.
Indication :on pourra, ´etant donn´e une p´eriodeT def =g+h, observer que pour tout r´eelx:g(x+T)−g(x) = h(x)−h(x+T), et ´etudiers :x7→g(x+T)−g(x).
bMontrer queCper n’est pas un sous-espace vectoriel deRR.
Partie C – Fonctions quasi-p´ eriodiques
SoitE une partie deR. On dit queE estbien r´eparti s’il existe un r´eel strictement positiflpour lequel tout segment de longueurl comprend un ´el´ement deE.
Soitf ∈ C(R),ε∈R∗+ : on dit queT est uneε-quasi p´eriode def si, pour tout r´eel x:
|f(x+T)−f(x)|6ε.
On noteE(f, ε) l’ensemble des ε-quasi p´eriodes de f.
On dit quef estquasi-p´eriodique si, pour toutε∈R∗+,Ef,εest bien r´eparti.
On noteQ l’ensemble des applications quasi-p´eriodiques deRdansR. C.1Montrer queCper⊂Q.
C.2♥Montrer queQ⊂ B.
Indication : on pourra, ´etant donn´ef ∈Q, fixerε= 1, choisirl >0 tel queEf,1 rencontre tout segment de longueurl, et pour tout r´eelx, consid´ererT ∈Ef,1∩[x, x+T].
Partie D – La somme de deux fonctions continues p´ eriodiques est quasi-p´ eriodique
Soitget hdeux ´el´ements deCper. On souhaite montrer queg+h∈Q.
D.1Traiter le cas o`ug ethadmettent des p´eriodes strictement positives dont le rapport est rationnel.
On se place d´esormais dans le cas o`ug ethadmettent des plus petites p´eriodes strictement positivesTg et Th respectivement, incommensurables,i.e.Tg/Th∈/ Q.
On fixe un r´eel strictement positifε.
D.2On suppose queT est une p´eriode strictement positive de g pour laquelle il existe un entier v tel que T−vTh soit uneε-quasi p´eriode de h.
Montrer queT est uneε-quasi p´eriode de g+h.
D.3On consid`ere un module d’uniforme continuit´eη pour εet h.
D’apr`es A.3, il existe un entier relatifupour lequel : 0< F(uTg/Th)6η/Th. On poseT =uTg.
a Montrer queT est uneε-quasi p´eriode deg+h.
b♥Montrer queEg+h,ε∩TZest bien r´eparti.
cConclure.
Remarque : en faitQest bien un sous-espace vectoriel et mˆeme un sous-anneau deB, mais c’est compliqu´e `a prouver.
