DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Hyperplans stables par multiplication
Les parties sont li´ees, la derni`ere demande plus d’autonomie que les autres.
Ici,Kd´esigneRouC, etn, psont des entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2.
On rappelle que la trace tr(A) d’une matrice carr´ee A est la somme de ses coefficients diagonaux, que la trace d´efinit une forme lin´eaire sur Mn(K), et que pour toutes matricesA etB deMn(K), tr(AB) = tr(BA) (inutile de le prouver).
On rappelle ´egalement que le produit de deux matrices triangulaires sup´erieures de taillenest une matrice triangulaire sup´erieure (inutile de le prouver).
Partie A – Pr´ eliminaires
A.1 Soit A, B ∈ Mn,p(K). Montrer que A et B sont ´equivalentes si et seulement si il existe (U, V) ∈ GLn(K)×GLp(K) tel queB=U AV.
A.2SoitA∈GLn(K).
a Montrer l’existence deN∈N∗ tel que Ak
k∈[[0,N]]soit li´ee.
bEn d´eduire queIn∈Vect(Ak)k∈N∗.
A.3SoitTn(K) l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures de taillen`a coefficients dansK. Expliquer rapidement pourquoiTn(K) est `a la fois un sous-anneau et un sous-espace vectoriel deMn(K).
Partie B – Formes lin´ eaires sur M
n( K ) et hyperplans de M
n( K )
B.1SoitA∈ Mn(K). On d´efinit
ϕA : Mn(K) → K M 7→ tr(AM) . Montrer queϕA est une forme lin´eaire surMn(K).
B.2On introduit l’application
Φ : Mn(K) → L(Mn(K),K) A 7→ ϕA
Montrer que Φ est un isomorphisme de K-espaces vectoriels.
B.3SoitHun hyperplan deMn(K).
a Montrer l’existence deA∈ Mn(K) telle queH= Ker(ϕA). Y a-t-il unicit´e d’une telle matrice ? bPour toutr∈[[0, n]], exhiber une matriceBr∈ Mn(K) de rangr, et de diagonale nulle.
cEn d´eduire queHcomprend une matrice inversible.
Partie C – Hyperplans de M
n( K ) stables par multiplication
On consid`ere maintenant un hyperplanHdeMn(K), stable par multiplication,i.e.
∀(H1, H2)∈ H2, H1H2∈ H.
La question B.3.a permet de choisirA∈ Mn(K) telle queH= Ker(ϕA).
C.1Montrer queIn ∈ H.
C.2Montrer que pour toutB ∈ H,BAest colin´eaire `aA.
C.3Notonsf l’endomorphisme canoniquement associ´e `aA.
Montrer quef est non nul.
On peut donc choisir un vecteur non nul x1 de Im(f), que l’on compl`ete en une baseC = (x1, . . . , xn) de Kn. SoitB= (e1, . . . , en) la base canonique deKn,P la matrice de passage de B`a C.
C.4SoitB∈ H,gl’endomorphisme canoniquement associ´e `a B. SoitB0 la matrice deg dansC.
a Ecrire´ B0 en fonction de B etP.
b Montrer que tous les coefficients de la premi`ere colonne de B0, sauf ´eventuellement le premier, sont nuls.
cSoitQ∈GLn(K). Montrer que l’application
c : Mn(K) → Mn(K) M 7→ Q−1M Q est un automorphisme de l’espace vectoriel et de l’anneauMn(K).
dMontrer quen= 2, et queHest isomorphe, en tant qu’espace vectoriel et anneau, `aT2(K).
Partie D – Quelques r´ esultats sur les sous-alg` ebres
L’expression alg`ebre (resp. sous-alg`ebre) signifie ici espace vectoriel et anneau1 (resp. sous-espace vectoriel et sous-anneau).
D.1
aSoitEunK-espace vectoriel de dimensionn,Vun sous-espace vectoriel deEde dimensionm. Montrer que
AV={f ∈ L(E), f(V)⊂ V}
est une sous-alg`ebre deL(E), et calculer sa dimension (en tant que K-espace vectoriel) en fonction demetn.
bLa r´eciproque est-elle vraie,i.e.toute sous-alg`ebre deL(E) est-elle de cette forme ? D.2D´eterminer bri`evement les dimensions possibles des sous-alg`ebres deM3(K).
1. En r´ealit´e, la notion deK-alg`ebre est plus g´en´erale, car on n’impose pas l’associativit´e de la loi de composition interne de mutiplication, ni l’existence d’un ´el´ement neutre pour cette loi.
