2 Partie Relativit´ e G´ en´ erale
2.1 Questions conceptuelles
1. Les galaxies dans l’univers Friedmann-Robertson-Walker (FRW) sont des
« particules » libres. Est-ce qu’ils ont une acc´ el´ eration absolue, « oui » ou « non » ?
Solution Non.
2. Dans le cadre de l’espace-temps de Minkowski, si deux particules iner- tielles (acc´ el´ eration absolue nulle) se d´ eplace arbitairement, est-ce qu’ils peuvent avoir une acc´ el´ eration relative entre eux dans un espace-temps plats,
« oui » ou « non » ?
Solution Non.
3. Nous avons vu qu’il y a des g´ eodesiques circulaires autour de centre de
sym´ etrie d’un trou noir de Schwarzschild. Consid´ erons deux plan` etes qui
sont en orbites circulaires, l’une orbite dans le plan ´ equatoriel, l’autre
perpendiculaire de la premi` ere (c’est-` a-dire dans le plan qui coupe les
longitudes φ = 0 et φ = 180 ◦ ). Est-ce que l’acc´ el´ eration absolue de
chaque plan` ete est nulle ? Est-ce que l’acc´ el´ eration relative entre eux doit
ˆ
etre ´ egaler ` a nulle ? Sinon, peut-on dire que l’acc´ el´ eration relative entre deux particules est quelque chose diff´ erent que l’acceleration absolue dans un espace-temps courbe ?
Solution Oui, l’acc´ el´ eration absolue de chaque plan` ete est nulle, elles suivent les g´ eodesiques.
Non, l’acc´ el´ eration relative n’est pas forcement ´ egaler ` a nulle. L’acc´ el´ e- ration relative est quelle que chose diff´ erente que l’acc´ el´ eration absolue, et dans un espace-temps courbe, au contraire d’un espace-temps plats, on peut avoir une acc´ el´ eration relative non-nulle entre deux particules inertielles.
2.2 G´ eom´ etrie diff´ erentielle
4. Soit g αβ les composantes de la m´ etrique d’un espace-temps arbitraire dans un syst` eme des coordonn´ ees x α . Soit x α
0un autre syst` eme des co- ordonn´ ees, l´ egimites, li´ e avec x α par les quatre ´ equations
x α
0= x α
0(x α ). (1)
Ecrire la formule g´ en´ erale pour les composantes g α
0β
0de la m´ etrique dans
le syst` eme des coordonn´ ees x α
0.
Pour ˆ etre concret, consid´ erons l’exemple d’une m´ etrique simple
(g αβ ) =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
, (2)
et une transformation bien l´ egitime
t 0 = t, x 0 = x − vt,
y 0 = y, z 0 = z, (3)
avec v une constante. Trouver g α
0β
0dans ce cas. Indice : Commencez en trouvant l’inverse de cette transformation, ¸ ca veux dire x α = x α (x α
0).
Est-ce que ¸ ca implique que la transformation de Galil´ ee est bien l´ egitime dans le cadre de la relativit´ e g´ en´ erale ? ! Expliquer si vous oser ; ).
Solution La formule g´ en´ erale pour les composantes g α
0β
0est g α
0β
0= g αβ ∂x α
∂x α
0∂x β
∂x β
0. (4)
La transformation inverse est
t = t 0 , x = x 0 + vt 0 ,
y = y 0 , z = z 0 . (5)
Les seuls d´ eriv´ ees non-nulles sont
∂t
∂t 0 = 1, ∂x
∂x 0 = 1, ∂x
∂t 0 = v,
∂y
∂y 0 = 1, ∂z
∂z 0 = 1. (6)
Et donc on obtient
g t
0t
0= g tt + g xx v 2 = 1 − v 2 , g x
0x
0= g xx = −1,
g y
0y
0= g yy = −1, g z
0z
0= g zz = −1. (7)
Tout ` a fait, la transformation de Galil´ ee est bien l´ egitime dans le cadre de la relativit´ e g´ en´ erale ? ! On doit simplement utiliser la m´ etrique correcte pour le syst` eme des coordonn´ ees.
2.3 L’espace-temps de Schwarzschild
5. Calculer le p´ erim` etre d’un cercle autour d’un trou noir de Schwarzschild
`
a l’ext´ erieur de l’horizon, avec coordonn´ ee radiale r = r 0 =constante ` a partir de la m´ etrique de Schwarzschild
ds 2 = (1 + 2Φ)dt 2 − (1 + 2Φ) −1 dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (8) o` u Φ = −GM/c 2 r, G est la constante newtonienne, c la vitesse de la lumi` ere, M la masse.
Solution L’espace-temps est sph´ erique sym´ etrique et donc on peut choi- sir le plan ´ equatorial sans perte de g´ en´ eralit´ e ; θ = π/2. Alors, nous consid´ erons la sous-vari´ et´ e r = r 0 , t = t 0 , θ = π/2. On a
dl 2 ≡ −ds 2 t
0
