L3 Physique : Cosmologie et Astrophysique : Relativit´e G´en´erale

L3 Physique : Cosmologie et Astrophysique : Relativit´e G´en´erale

Contrˆ ole continu ann´ee 2019-2020

Retourner au cours le 4 novembre.

N’hestitez pas me demander les clarifications par mail.

1. Trouver l’aire de l’horizon du trou noir de Schwarzschild Eq. (1) `a un instant t= constant.

2. Montrer que la trajectoire avec coordonn´ees spatiales fixes,i.e.x¹= constante, x²= constante,x³= constante, n’est pas une g´eod´esique pour l’espace- temps de Schwarzschild Eq. (1).

ds²=

1−2M G rc²

c²dt²−

1−2M G rc²

−1

dr²−r²dθ²−r²sin²θdφ². (1) Les symboles de Christoffel non-nuls dans les coordonn´ees de Eq. (1) sont les suivant (et les impliqu´es par la sym´etrie Γ^α_µν = Γ^α_νµ ) :

Γ^t_tr =− M G r(2GM−rc²) Γ^r_tt=−M G(2GM−c²r)

r³c² Γ^r_rr = M G r(2GM−c²r) Γ^r_θθ=2GM−c²r

c² Γ^r_φφ =2GM−c²r

c² sin²θ Γ^θ_rθ= 1 r Γ^θ_φφ =−sinθcosθ Γ^φ_rφ=1

r Γ^φ_θφ= cosθ

sinθ. (2) (Remarquez par exemple Γ^t_tr= Γ^t_rtmˆeme si je n’ai qu’´ecrit le premier.)

1

3. D´emontrer aussi, par contre, pour l’espace-temps de Friedmann-Robertson- Walker

ds²=c²dt²−a²(t)

1

1−kr²dr²+r²dθ²+r²sin²θdφ²

(3)

la trajectoire avec coordonn´ees spatiales fixesestune g´eod´esique. ¸Ca im- plique que les galaxies avec coordonn´ees fixes suivent les g´eod´esiques et donc les coordonn´ees s’appellent«comobiles». Les symboles de Chris- toffel non-nuls dans les coordonn´ees de Eq. (3) sont les suivant (et les impliqu´es par la sym´etrie Γ^α_µν = Γ^α_νµ ) :

Γ^t_rr = aa˙

c²(1−kr²) Γ^t_θθ= r²aa˙

c² Γ^t_φφ= r²sin²θaa˙ c² Γ^r_tr= a˙

a Γ^r_rr= kr

1−kr² Γ^r_θθ=−r(1−kr²) Γ^r_φφ=−r(1−kr²) sin²θ Γ^θ_tθ= a˙

a Γ^θ_φφ=−cosθsinθ Γ^θ_θr= 1

r Γ^φ_φt= a˙

a Γ^φ_φr= 1

r Γ^φ_φθ =cosθ sinθ (4) 4. Quelles composantes de la quadri-impulsion, pα=muα, sont conserv´ees

pour une particule libre de massem dans (a) l’espace-temps de Schwarzschild ? (b) l’espace-temps de FRW ?

Expliquer comment vous avez d´eduit votre r´eponse.

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