UE ASTROPHYSIQUE & COSMOLOGIE: Examen relativit´ e g´ en´ erale 1
2 Partie Relativit´ e G´ en´ erale
2.1 La Loi de Hubble
D´ eriver la loi de Hubble
v = H 0 d (1)
`
a partir de la m´ etrique de Robertson-Walker ds 2 = c 2 dt 2 − a 2 (t)
1
1 − kr 2 dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2
. (2)
Il faut utiliser l’id´ ee que les galaxies ont des coordonn´ ees fixes. Indice : Vous n’avez pas besoin d’´ evaluer des int´ egrales m´ echants.
Solution
On peut considerer, sans pert de g´ en´ eralit´ e, une galaxie en l’origine spatiale (r = 0) et l’autre au point r = R. La distance propre d(t) entre eux en fonction du temps t deroule de l’´ el´ ement lin´ eaire :
dl = p
−ds 2 = a(t) 1
√ 1 − kr 2 dr d(t) =
Z d 0
dl = Z R
0
a(t) 1
√
1 − kr 2 dr = a(t) a(t 0 )
Z R 0
a(t 0 ) 1
√
1 − kr 2 dr
= a(t)
a(t 0 ) d(t 0 ). (3)
Maintenant on d´ erive la distance par rapport au temps et on ´ evalue en t = t 0 : d
dt d(t) t
0
≡ v(t 0 ) = d dt a(t)
t
0
d(t 0 )
a(t 0 ) = H 0 d. (4)
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2.2 Dilatation gravitationnelle du temps
Consid´ erer deux horloges aux points A et B avec des coordonn´ ees fixes pour un syst` eme de coordonn´ ees pour lequel
∂g αβ
∂t = 0, t ≡ x 0 . (5)
D´ emontrer que le rapport des intervalles de temps propre enregistr´ e en A et B pendant l’intervalle de temps coordonn´ ees ∆t est
∆τ A
∆τ B
= s
g tt (A)
g tt (B) . (6)
Solution L’intervalle de temps propre ∆τ en fonction d’intervalle de temps coordonn´ e ∆t = t 2 − t 1 deroule de l’´ el´ ement lin´ eaire :
dτ =
√
ds 2 intervalle du genre temps
= √
g tt dt coordonn´ ees spatiales sont fixes
∆τ = Z t
2t
1√ g tt dt = √
g tt ∆t (7)
On ´ evalue la formule Eq. (7) en A et B et prend le rapport :
∆τ A
∆τ B
= s
g tt (A)
g tt (B) . (8)
2.3 G´ eodesiques de l’espace-temps de Minkowski
D´ emontrer que la premi` ere loi de Newton, une particule libre (au sens clas-
sique – pas de gravitation) suit une ligne droite ` a vitesse constante, est un cas
particulier de l’id´ ee que les particules libres (au sens relativite – pas de force
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non-gravitationnelle) suivent des g´ eod´ esiques. On rappelle que l’´ equation des g´ eod´ esiques est, en g´ en´ eral,
d 2
dτ 2 x α + Γ α µν d dτ x µ d
dτ x ν = 0. (9)
Peut-ˆ etre vous souvenez vous les symboles de Christoffel pour l’espace-temps de Minkowski ? Sinon, vous pouvez les trouver tr` es rapidement avec
Γ α µν = 1
2 g αρ (g ρµ,ν + g ρν,µ − g µν,ρ ), (10) o` u la m´ etrique en coordonn´ ees pseudo-Cartesiennes est
g µν = η µν =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (11)
Solution Pour l’espace-temps de Minkowski les symboles de Christoffel sont nuls en coordonn´ ees cartesiennes ; tous les composantes de la m´ etrique η µν sont constantes et tous les termes de l’Eq. (10) on une d´ eriv´ ee partielle. Alors, Eq. (12) devient
d 2 dτ 2 x α +
* Γ α µν 0 d
dτ x µ d
dτ x ν = 0, d
dτ x α = constante (12)
Consid´ erer α = 0, et d´ efinir x 0 ≡ t. On a d
dτ t = constante
τ = at + b, avec a = constante, et b = constante. (13)
Clairement b ne change que le choix de t = 0, et a ne change que les unit´ e de
temps. On prend, sans perte de g´ en´ eralit´ e, a = 1 et b = 0.
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Consid´ erer α = 1, et d´ efinir x 1 ≡ x. On a d
dτ x = constante
x = uτ + a, avec u = constante, et a = constante.
x = ut + a. (14)
C’est l’´ equation d’une droite avec une vitesse u = constante dans la direction des x. De la mˆ eme fa¸con, on trouve y = vt + b et z = wt + c.
2.4 L’espace-temps de Schwarzschild
Calculer la surface d’une sph` ere centr´ e au r = 0 et avec coordonn´ ee radiale r = R s ` a partir de la m´ etrique de Schwarzschild
ds 2 = (1 + 2Φ)dt 2 − (1 + 2Φ) −1 dr 2 − r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (15) o` u Φ = −GM/c 2 r, G est la constante newtonienne, c la vitesse de la lumi` ere, M la masse.
Solution Consid´ erons la sous-vari´ et´ e r = R s , t = t 0 . On a dl 2 ≡ −ds 2
R
s
