Relativit´e restreinte et g´en´erale

Relativit´e restreinte et g´en´ erale

Alexandre Le Tiec

Laboratoire Univers et Th´eories Observatoire de Paris / CNRS

Exp´eriences de Michelson et Morley

Isotropie de la vitesse de propagation de la lumi`ere

pr´ecision relative∼10⁻¹⁷

c = 1

Plan de l’expos´e

1 Espace, temps et espace-temps

2 Relativit´e de la simultan´eit´e

3 Dilatation des dur´ees

4 Relativit´e g´en´erale

Plan de l’expos´e

1 Espace, temps et espace-temps

2 Relativit´e de la simultan´eit´e

3 Dilatation des dur´ees

4 Relativit´e g´en´erale

t₀

t₀ t₁

t₀ t₁ t₂

t₀ t₁ t₂ t₃

t₀ t₁ t₂ t₃ t₄

espace

t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ temps

espace espace-temps

t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ temps

Notion d’´ev´enement

ligne d'univers événement

temps

surface

Accident de parachutisme

Notion d’´ev´enement

front d'onde

ligne d'univers événement

surface

événement

Accident de parachutisme Émission d'un flash

temps

Causalit´e

futur

cône de lumière futur

passé

simultané

p p

Physique pré-relativiste Relativité restreinte

passé

Causalit´e

Physique pré-relativiste Relativité restreinte

photon

temps newtonien

espace euclidien particule

particule

Invariants

∆t

I > ⁰ I < 0

I = 0

∆𝑥⃗

Physique pré-relativiste Relativité restreinte

∆t,k∆~xk I ≡ −(∆t)²+k∆~xk²

Invariants

Groupe de Galil´ee

• Rotations spatiales

• Translations spatiales

• Translations temporelles

• Transformations de Galil´ee t⁰ =t

~

x⁰ =~x−~v t

Groupe de Poincar´e

• Rotations spatiales

• Translations spatiales

• Translations temporelles

• Transformations de Lorentz t⁰=γ t−~v·~x_k

~

x_k⁰ =γ ~x_k−~v t

∆t,k∆~xk I ≡ −(∆t)²+k∆~xk²

Invariants

Groupe de Galil´ee

• Rotations spatiales

• Translations spatiales

• Translations temporelles

• Transformations de Galil´ee t⁰ =t

~

x⁰ =~x−~v t

Groupe de Poincar´e

• Rotations spatiales

• Translations spatiales

• Translations temporelles

• Transformations de Lorentz t⁰=γ t−~v·~x_k

~

x_k⁰ =γ ~x_k−~v t

∆t,k∆~xk I ≡ −(∆t)²+k∆~xk²

↑ 1/√

1−v²

Plan de l’expos´e

1 Espace, temps et espace-temps

2 Relativit´e de la simultan´eit´e

3 Dilatation des dur´ees

4 Relativit´e g´en´erale

Disparition du pr´esent

Notion d’observateur

Notion d’observateur

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

t_B = ¹₂(t₁+t₂)

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

t_B = ¹₂(t₁+t₂)

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

t_B⁰ = ¹₂(t₁⁰ +t₂⁰)

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

t_B⁰ = ¹₂(t₁⁰ +t₂⁰)

Simultan´eit´e d’Einstein-Poincar´e

Relativit´e de la simultan´eit´e

Relativit´e de la simultan´eit´e

Plan de l’expos´e

1 Espace, temps et espace-temps

2 Relativit´e de la simultan´eit´e

3 Dilatation des dur´ees

4 Relativit´e g´en´erale

Mesurer des dur´ees

𝒪 t

x

Mesurer des dur´ees

𝒪′ 𝒪

A t

x

Mesurer des dur´ees

𝒪′ 𝒪

A t

x B

Mesurer des dur´ees

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T′ t'

Mesurer des dur´ees

𝒪′ 𝒪

t_B

A t

x B

T T′ t_A

t'

Mesurer des dur´ees

𝒪′ 𝒪

t_B

A t

x B

T T′ X

t_A

x_B x_A

t'

Invariance de l’intervalle

𝒪′ 𝒪

t_B

A t

x B

T T′ X

t_A

x_B x_A

t'

IAB =−T²+X²

=−T⁰²

↓

T⁰ T =p

1−v² <1

Invariance de l’intervalle

𝒪′ 𝒪

t_B

A t

x B

T T′ X

t_A

x_B x_A

t'

IAB =−T²+X²=−T⁰²

↓

T⁰ T =p

1−v² <1

Invariance de l’intervalle

𝒪′ 𝒪

t_B

A t

x B

T T′ X

t_A

x_B x_A

t'

IAB =−T²+X²=−T⁰²

↓

T⁰ T =p

1−v² <1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

t' C

T′

I_AC =−T²=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

t' C

D

x' T′

I_AC =−T²=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

T′′

t' C

D

x'

I_AC =−T²=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

T′′

X′

t' C

D

x'

I_AC =−T²=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

T′′

X′

t' C

D

x'

I_AC =−T²

=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

T′′

X′

t' C

D

x'

I_AC =−T²=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Point de vue de l’observateur O⁰

𝒪′ 𝒪

A t

x B

T

T′′

X′

t' C

D

x'

I_AC =−T²=−T⁰⁰²+X⁰²

↓

T T⁰⁰ =p

1−v²<1

Les jumeaux de Langevin

A t

x B

T C

T′ T T′

T⁰=Tp 1−v²

Les jumeaux de Langevin

A t

x B

T C

T′ T T′

T⁰ <T

Les jumeaux de Langevin t

x T T′

T T′

T⁰ <T

D´esint´egration des muons atmosph´eriques

𝒪 t_det

t

x T′ T

t_cr

t'

détection du muon

création d'un muon

T =T⁰/p 1−v²

T⁰ '2,2 µs v '0,99c

↓ T '15,6 µs

↓

D=vT '4,6 km

D´esint´egration des muons atmosph´eriques

𝒪 t_det

t

x T′ T

t_cr

t'

détection du muon

création d'un muon

T =T⁰/p 1−v²

T⁰ '2,2 µs v '0,99c

↓ T '15,6 µs

↓

D=vT '4,6 km

D´esint´egration des muons atmosph´eriques

𝒪 t_det

t

x T′ T

t_cr

t'

détection du muon

création d'un muon

T =T⁰/p 1−v²

T⁰ '2,2 µs v '0,99c

↓ T '15,6 µs

↓

D=vT '4,6 km

D´esint´egration des muons atmosph´eriques

𝒪 t_det

t

x T′ T

t_cr

t'

détection du muon

création d'un muon

D

T =T⁰/p 1−v²

T⁰ '2,2 µs v '0,99c

↓ T '15,6 µs

↓

D=vT '4,6 km

Plan de l’expos´e

1 Espace, temps et espace-temps

2 Relativit´e de la simultan´eit´e

3 Dilatation des dur´ees

4 Relativit´e g´en´erale

La relativit´e g´en´erale est la th´eorie de l’espace, du temps et de lagravitation formul´ee par Albert Einstein en 1915

Relativit´e et gravitation

Physique pré-relativiste Relativité restreinte

invariance de c

?

Électromagnétisme (Maxwell, 1862)

Mécanique relativiste (Einstein, 1905) Mécanique classique

(Galil^ée, Newton)

Gravitation universelle (Newton, 1687)

Universalit´e de la chute libre

η≡ |a1−a₂|

1

2(a1+a2)

La mission MICROSCOPE

η <10⁻¹⁵

L’espace-temps est courbe

La gravitation est la manifestation de lacourbure de l’espace-temps par la masse et l’´energie de la mati`ere

G_ab= 8πT_ab

Gravitation et g´eom´etrie

Géométrie

euclidienne Géométrie

minkowskienne

Géométrie

riemannienne Géométrie lorentzienne

+ temps

+ temps

+ courbure + courbure

Physique

pré-relativiste Relativité

restreinte

Relativité

générale

principe d’équivalence

invariance de c

espace courbe espace-temps

courbe

espace plat espace-temps plat

Relativit´e restreinte → Relativit´e g´en´erale

Relativité restreinte (1905) Relativité générale (1915) (M,g_ab)

(ℝ⁴,hab)

principe d'^équivalence

L’espace-temps est courbe

espace-temps

L’espace-temps est courbe

espace-temps dessert anglais

D´ecalage vers le rouge gravitationnel

espace

temps 1 2

M

∆T₁

∆T₂ = s

1−2GM/(c²r₁) 1−2GM/(c²r₂) <1

Application `a la g´eolocalisation

h'2×10⁴ km→d´ecalage de '46 µs/jour

Relativit´e g´en´erale et astrophysique

Domaine d’application de la th´eorie

Compacit´e≡ G c²

M R

Syst`eme Compacit´e

Proton ∼10⁻³⁹

Terre ∼10⁻⁹

Soleil ∼10⁻⁶

Naine blanche ∼10⁻³ Etoile `´ a neutrons ∼0,2

Trou noir ∼0,5

Univers ∼0,5

Pour en savoir plus

Ouvrages de vulgarisation

• A. Riazuelo,Les trous noirs, Vuibert, 2016

• J. Levin,Black hole blues, Bodley Head, 2016

• P. Bin´etruy,A la poursuite des ondes gravitationnelles, Dunod, 2015`

• N. Deruelle,De Pythagore `a Einstein, tout est nombre, Belin, 2015

• N.&J. Delabrouille,Les nouveaux messagers du cosmos, Seuil, 2011

• J.-P. Lasota,La science des trous noirs, Odile Jacob, 2010

• D. Kennefick,Traveling at the speed of thought, U. Princeton, 2007

• T. Damour,Si Einstein m’´etait cont´e, Le Cherche Midi, 2005

• K. Thorne,Trous noirs et distorsions du temps, Flammarion, 1997

• R. Geroch,General relativity from A to B, U. Chicago Press, 1981

Pour en savoir plus

Ouvrages techniques

• N. Deruelle & J.-P. Uzan,Th´eories de la relativit´e, Belin, 2014

• P. Spagnou,De la relativit´e au GPS, Ellipses, 2012

• D. Langlois,Introduction `a la relativit´e, Vuibert, 2011

• E. Gourgoulhon,Relativit´e restreinte, EDP Sciences, 2010

• J.-P. P´erez,Relativit´e et invariance, Dunod, 2005

MOOC

• Gravit´e !, Universit´e Paris Diderot

• Peser l’Univers, Observatoire de Paris

Plate-forme France universit´e num´erique :www.fun-mooc.fr