Physique G´ en´ erale
15`eme s´erie d’exercices 18 novembre 2009
Ondes acoustiques
1. Tuyaux sonores
Dans un tuyau sonore ayant une extr´emit´e ouverte, il s’´etablit un noeud de vibration
`a l’extr´emit´e ferm´ee et un ventre de vibration `a l’ext´emit´e ouverte :
L L L
λ = 4 L λ = 4 L / 3 λ = 4 L / 5
La deuxi`eme harmonique correspond `aLA = 3λ
4 . La fr´equence correspondante est : f = v
λ = 3v
4LA = 3×1522
4×1,50 = 761 Hz
Dans un tuyau sonore ouvert aux deux ext´emit´es, nous avons des ventres de vibration aux deux ext´emit´es :
L L
L
λ = L
λ = 2 L λ = 2L / 3
La deuxi`eme harmonique correspond ici `a la situation o`uLB = λ. Nous avons donc : f = v
λ = v
LB ⇒ LB = v
f = 1522
761 = 2,00 m 2. Battements
La fr´equence des battements est reli´ee `a celles des deux sources par fbattements = |f1 − f2|
La vitesse de propagation des vibrations dans la corde est reli´ee `a la tension de cette derni`ere par : v =
rτ
µ, τ ´etant la tension et µ la masse par unit´e de longueur de la corde. Par ailleurs, la vitesse de l’onde est v = f λ. Nous avons donc :
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de λ·f = v nous tirons dv = λ·df ⇒ dv
v = λ·df λ f = df
f de mˆeme, puisque v =
rτ
µ , nous avons dv = 1
2µ· dτ τ
µ
1/2 et dv
v = 1 2µ· dτ
τ µ
= 1 2
dτ
τ . (Remarque : le rapport dy
y est appel´e “d´eriv´ee logarithmique”).
Par cons´equent :
∆f
f = ∆v v = 1
2
∆τ
τ ⇒ ∆τ
τ = 2 ∆f
f = 2 6
600 = 0,02
3. Effet Doppler : la chasse de la chauve-souris
a) Nous avons ici les id´ees essentielles suivantes (nous reprenons les notations du cours) : – Le papillon est la source de l’onde ultra-sonore (il renvoie l’onde re¸cue de la
chauve-souris !), la chauve souris est le d´etecteur.
– Les mouvements du papillon et de la chauve-souris relativement `a l’air changent la fr´equence du son par l’effet Doppler (page 327).
– Le mouvement du d´etecteur (la chauve-souris) dans la direction de la source (le papillon) augmente cette fr´equence ; le mouvement de la source vers le d´etecteur a le mˆeme effet.
Nous devons mettre le signe + au num´erateur et le signe - au d´enominateur pour tenir compte de la troisi`eme remarque ci-dessus. La fr´equence de l’onde per¸cue par la chauve-souris est donc :
fcd = fp v+vc v−vp
fpest la fr´equence de l’onde renvoy´ee par le papillon,fcdcelle per¸cue par la chauve- souris, vc etvp les vitesses de la chauve-souris et du papillon. (Les indices : cpour chauve-souris, ppour papillon, cd pour chauve-souris comme d´etecteur)
La chauve-souris a ajust´e la fr´equence de l’onde ultra-sonore qu’elle ´emet pour percevoir en retour une onde de fr´equence fcd = 83 kHz, par con´equent :
fp v+vc
v−vp = fcd = 83×103 ⇒ fp = 83×103 343−8
343 + 9 = 78,99 kHz Cette fr´equence est celle de l’onde que le papillon r´efl´echit.
b) fp = 78,99 kHz est aussi la fr´equence que re¸coit le papillon et qu’il renvoie. Dans ce cas, le papillon joue le rˆole du d´etecteur et la chauve-souris celui de la source.
Ici aussi, nous avons une augmentation de la fr´equence due au fait que source et d´etecteur se d´eplacent l’un vers l’autre :
fp = fce v+vp
v−vc donc : fce = fp v−vc
v +vp = 78,99×103 343−9
343 + 8 = 74,71 kHz (Indice : cepour chauve-souris ´em´etrice)
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La chauve souris d´etermine ainsi la vitesse relative du papillon (17 m/s) par la diff´erence des fr´equences de l’onde qu’il per¸coit le mieux (83 kHz) et qu’il connaˆıt d’instinct et celle de l’onde qu’il a ´emise (74,71 kHz).
4. Cˆone de Mach
L’angle du cˆone de Mach est de : sinθ = v
vS = 1
1,5 ⇒ θ = 41,81◦ avec v = vitesse du son dans le milieu et vS, vitesse de la source.
Observateur S
sol
v
∆t
h=5000m
Cône de Mach
vs
v s∆t
L’observateur voit `a l’instant t = 0 l’avion passer `a sa verticale, mais n’entend encore rien. Le cˆone de Mach lui parviendra apr`es un intervalle de temps ∆t tel que
h
vS·∆t = tanθ ⇒ ∆t = 5000
1,5×343×tan 41,81 = 10,86 secondes
Nous avons suppos´e ici que la vitesse du son ´etait la mˆeme entre le sol et l’altitude de 5000 m`etres.
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