Physique G´ en´ erale
Corrig´e de la 1`ere s´erie d’exercices 14 mars 2012
Mouvements ` a deux dimensions. Balistique.
Lois de Newton.
1. Poisson archer
Supposons que l’insecte se trouve `a la hauteur H au dessus de l’eau et `a une dis- tance horizontale Ldu poisson. L’insecte (I) et la goutte (G) se rencontrent quand leur coordonn´ees (x , y) sont identiques.
v
0
0
θ
Touché ! Trajectoire
de la goutte
Chute de l'insecte H
L
Il faut donc montrer que yI = yG lorsque xI = xG = L au mˆeme temps. Comme H = L tan θ0 , la coordonn´ee verticale de l’insecte est : yI = L tan θ0 − (1/2)g t2 (c’est une chute libre !).
La coordonn´ee verticale de la goutte est : yG = (v0 sin θ0)t − (1/2)g t2 .
La coordonn´ee horizontale de la goutte est : xG = (v0 cos θ0)t . Lorsque xG = L ,
t = L
v0 cos θ0
. En r´eintroduisant cette valeur du temps dans l’´equation donnant yG , nous constatons que yI = yG lorsque xI = xG = L . La vitesse initiale |~v0 | influe seulement sur la hauteur du point d’impact, via l’instant de l’impact : plus |~v0 | est grand, plus tˆot sera l’impact.
2. Satellites
a)On consid`ere la Terre et le satellite comme des points mat´eriels. Le satellite d´ecrit ici un cercle de rayon R ´egal `a celui de la Terre plus la hauteur `a laquelle il gravite :
R = 640 103 + 6,37 106 = 7,010 106 m . La p´eriode de r´evolution est : T = 2πR
v = 98×60 = 5880 s ⇒ v = 7 490 m/s et a = v2
R = 8 m/s 1
b)L’id´ee principale, dans cet exercice, est de se dire que le satellite est en mouvement circulaire uniforme `a une altitude de 200 km au dessus de la surface de la terre et que l’acc´el´eration est alors de
acentrip`ete = v2
R + h = 9,20 m/s2 Avec le rayon de la Terre R = 6,37×106 m , nous avons :
v = q
acentripete` (R + h) = p
9,20 (6,37×106 + 200×103) = 7,77 km/s
3. Fronde
D`es la rupture de la ficelle, la pierre est ´eject´ee `a une vitesse
~v0 = v0xˆı horizontale et est soumise `a la seule acc´el´eration gravifique ~g = −gˆ : nous sommes ramen´es `a un probl`eme de balistique dont l’´equation g´en´erale donnant la trajectoire est
(y − y0) = (x − x0) · v0y
v0x
+ 1 2a
x − x0
v0x
2
a = −g < 0
Soit : h = y0 −ysol , y0 ´etant la hauteur du plan dans lequel le gar¸con faisait tourner la pierre, h = 2 m, et R = xsol −x0 = 10 m la port´ee du “tir”. Avec les conditions initiales que nous avons (v0y = 0), l’´equation de la trajectoire de la pierre se r´eduit `a :
(y − y0) = 1 2a
x − x0
v0x
2
⇒ −h = 1 2a
R v0x
2
a = −g < 0
d’o`u la vitesse initiale horizontale de la pierre : v0x = R r g
2h et l’acc´el´eration radiale de la pierre juste avant que la ficelle ne se casse :
ar = v02x
r = R2 g
2h r = 100·9,81
2·2·1,5 = 163,5 m/s2
4. Frottement f
Fg = mg N F
Les forces en jeu dans ce probl`eme sont donn´ees sur la figure :F~ est la force appliqu´ee au bloc, N~ est la r´eaction du mur, F~g est le poids du bloc et f~ la force de frottement
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du bloc sur le mur. Pour que le bloc ne descende pas, nous devons avoir : | f~|=|F~g | c.`a.d. | f~ |= 5.0 N . La r´eaction du mur est de | N~ |=| F~ |= 12 N . Nous voyons que |f~| < µs |N~ | : le bloc ne glisse pas.
La force totale qu’exerce le mur sur le bloc se compose de la r´eaction normale N~ et de la composante tangentielle donnant le frottementf~: F~mur = − |N~ | ˆı + |f~| ˆ
5. Pendule conique
L’id´ee essentielle dans cet exercice est qu’il doit exister une force centrip`ete agissant sur la masse m pour la faire d´ecrire un mouvement circulaire uniforme (MCU) : cette force donne `a la masse une acc´el´eration centrip`ete dont le module est de − |ar|= v2/ R
θ θ
L
R r
r θ
m g a
T
La figure montre les forces agissant sur la massem: ce sont la force d’attraction gravifique m ~g et la tension de la corde T~. Nous avons deux inconnues dans cet exercice : la tension T~ et la vitesse v (ou son acc´el´eration centrip`ete) ; il nous faut par cons´equent 2 ´equations pour pouvoir r´esoudre l’exercice et ce seront les deux projections de l’´equation de Newton
m ~g + T~ = m~ar Equation de Newton
En projetant l’´equation de Newton sur l’axe vertical et sur l’axe horizontal selon r, nous avons :
−T sinθ = m
−v2 r
axe selon r et T cosθ − m g = 0 axe vertical La r´esolution de ce syst`eme de 2 ´equations donne :
v =
rg Rsinθ cosθ
3
La p´eriode τ est le temps qu’il faut `a la masse pour effectuer une r´evolution compl`ete, c.`a.d. pour parcourir une distance de 2π R :
τ = 2π R
v = 2π R rg Rsinθ
cosθ
= 2π
sR cosθ
g sinθ mais : R = L sinθ
τ = 2π
sL cosθ g
Application num´erique : avec L = 1,7 m, θ = 37◦ et g = 9,80 m/s2 : τ = 2π
r1,7·cos 37◦
9,8 = 2,3 secondes
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