Physique G´ en´ erale
Corrig´e de la 7`eme s´erie d’exercices 2 octombre 2012
Premier principe de la Thermodynamique Vitesse quadratique moyenne
1. Echanges dans une s´erie de transformations d’un gaz
a) Dans la transformationA → B, le gaz se d´etend `a pression constante : l’´echange de travail W = −
Z A C
P ·dV est n´egatif ; on nous dit que la variation d’´energie interne est positive : l’´echange de chaleur ne peut ˆetre que positive.
Dans la transformation B → C, le gaz est chauff´e `a volume constant : l’´echange de travail est nul, mais puisque le gaz est chauff´e, Q > 0 et ∆U > 0.
Pour la transformationC → A, il nous faut aussi tenir compte du fait que sur un cycle, la variation de l’´energie interne est nulle. Comme sur les branches A → B et B → C, la variation d’´energie interne est positive, elle ne peut ˆetre que n´egative sur C → A.
L’´echange de travail W = − Z A
C
P ·dV est positif, puisqu’il s’agit d’une compression ; comme ∆U = Q+W est n´egative, l’´echange de chaleur dans la transformation C→A ne peut ˆetre que n´egatif.
Q W ∆U
A B
C A B C
0
Presssion [Pa]
Volume [m ]3
0 1 2 3 4
10 20 30 40
A B
C
1
b) Le travail ´echang´e Wtotal dans un cycle, − I
P ·dV , est ´egal `a l’aire se trouvant
`a l’int´erieur de la courbe d´ecrite par le syst`eme dans le diagramme P −V lors du cycle.
Dans notre cas, cette aire est celle du triangle ABCA : Wtotal = −
I
P ·dV = 1
2 · 2·20 m3·Pa = 20 Joules
2. Travail fourni `a un piston ...
1
2
Mélange glace - eau
V 1 V 2
P
V
Le premier processus est un compression adiabatique : la compression se fait rapide- ment, de sorte que le gaz n’a pas eu le temps d’´echanger de la chaleur avec l’ext´erieur.
Le second processus est un refroidissement isochore (`a volume constant) et le dernier processus est une d´etente isotherme car le piston est relach´e lentement afin que le gaz soit toujours en ´equilibre thermique avec le bain. Nous revenons au point de d´epart : la variation d’´energie interne est nulle sur un cycle quelconque, donc forc´ement sur celui-ci.
∆U = 0 ⇒ Q = −W
Comme on le voit sur le graphique, sur le cycle, du travail doit ˆetre fourni au gaz du piston, puisque dans la compression adiabatique le travail fourni au gaz est sup´erieur au travail fourni par la gaz dans la d´etente isotherme ; donc donc W >0 et Q < 0 : le gaz lib`ere de la chaleur qui fait fondre 100 grammes de glace.
La chaleur n´ecessaire pour faire fondre une massem de 100 grammes de glace `a 0◦ C est de
Q = Lfm = 333×103·0,1 = 33,3 kJoules
3. Th´e froid
Puisque dans cet exercice n’interviennent que des diff´errences de temp´eratures, nous pouvons exprimer ces derni`eres en degr´es Celsius.
Soit Tf la temp´erature finale du m´elange lorsque l’´equilibre est atteint. Nous ne savons 2
pas si toute la glace a fondu ou non. Faisons l’hypoth`ese que oui, toute la glace a fondu.
Si nous trouvons que Tf >0◦C, nous pouvons dire que la glace a compl`etement fondu.
Si nous trouvons que Tf <0◦C, nous aboutissons `a une impossibilit´e, ´etant donn´e que la temp´erature initiale de la glace est de 0◦C ! Nous devons alors r´eexaminer nos ´echanges de chaleur.
Hypoth`ese : Toute la glace a fondu.
Lorsque la temp´erature d’´equilibre Tf est atteinte, la chaleur absorb´ee par la glace est de :
Qglace = Lfmglace
| {z }
f onte glace
+ ceaumglace (Tf −0◦)
| {z }
´echauf f ement quantit´e d0eau
La chaleur c´ed´ee par le th´e dont la temp´erature initiale est Ti est de Qeau = ceaumthe´(Tf −Ti)
Puisque les ´echanges de chaleur avec l’ext´erieur peuvent ˆetre n´eglig´es,Qglace +Qeau = 0 et nous pouvons obtenir Tf sous l’hypoth`ese que toute la glace a fondu :
Tf = ceaumthe´Ti − Lfmglace
(mglace+mthe´)ceau
avec mglace = mth´e. Ti = 90◦C.
Nous avons vu que ceau = 4190 J/kg.K et Lf = 333 kJ/kg. Par cons´equent, avec mglace = mth´e = 0,5 kg
Tf = 4190×0.5×90 − 333·103×0.5
(0.5 + 0.5)×4190 = 5.3◦C Il ne reste donc plus de glace dans le m´elange.
Ti = 70◦C.
En utilisant la relation obtenue pr´ecdemment nous obtenons Tf < 0◦C, ce qui est im- possible, la temp´erature initiale de la glace ´etant de 0◦C.
Par cons´equent, il reste de la glace et la temp´erature finale estTf = 0◦C.
Appelons m0glace la quantit´e de glace qui a fondu.
La chaleur absorb´ee par cette quantit´e de glace est donc : Qglace = m0glace·Lf. Cette chaleur absorb´ee par la glace est ´egale (en valeur absolue) `a la chaleur c´ed´ee par le th´e passant de Ti `a 0◦C. Par cons´equent :
m0glace = Ceaumth´e(Ti−0◦) Lf
= 4190×0.5×70
333·103 = 0,440 kg La quantit´e de glace `a 0◦C restante est de
mf = 500−440 = 60 g
3
4. Energies cin´etiques moyennes
Pour un gaz parfait, l’´energie moyenne ne d´epend que de la templ´erature et non du type de mol´ecules. Ainsi, pour l’oxyg`ene, comme pour l’azote, l’´energie cin´etique moyenne est la mˆeme :
hEcini = 3
2kT = 3
2×1,38·10−23×300 = 6,21×0−21 Joules
La vitesse quadratique moyenne des mol´ecules d’azote et d’oxyg`ene sont cependant diff´erentes, du fait que les masses des mol´ecules N2 et O2 sont diff´erentes. La racine carr´ee de la vitesse quadratique moyenne est :
phv2i =
r2hEciniNA
M
Dans cette expression, NA = 6,022×1023 est le nombre d’Avogadro et M est la masse molaire (M = m NA). La masse molaire de l’azote est de 2×14,0067×10−3 kg/mole et celle de l’oxyg`ene de 2×15,9994×10−3 kg/mole.
Pour l’azote, p
hv2i = 517 m/s , pour l’oxyg`ene, p
hv2i = 483 m/s
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