Partie A – Pr´ eliminaires sur les fonctions polynomiales

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Probl` eme – Nombres de Liouville

Partie A – Pr´ eliminaires sur les fonctions polynomiales

A.1 B([a, b],R) est bien sˆur une partie de R^[a,b] comprenant son ´el´ement unit´e (la fonction constante de valeur 1), et, sif etg en sont deux ´el´ements,K et K⁰ des majorants respectifs de |f|et de|g|, alors|f−g|et

|f g| sont respectivement major´ees parK+K⁰ etKK⁰ :B([a, b],R) est un sous-anneau deR^[a,b].

A.2B([a, b],R) est un sous-anneau deR^[a,b] comprenant Id et les fonctions constantes : commeP est le plus petit d’entre eux, il est inclus dansB([a, b],R), et en est donc un sous-anneau.

A.3 Soitn∈N^∗,x∈[a, b]\ {α} : grˆace `a la formule sans nom (applicable sans probl`eme dans le corps des nombres r´eels)

xⁿ−αⁿ x−α =

n−1

X

k=0

x^kα^n−1−k,

donc la fonctionτ_α,Idn est une fonction polynomiale sur [a, b] dont on a (peut-ˆetre) modifi´e une valeur, celle en α: cette fonction est born´ee. C’est ´evidemment encore le cas pour Id⁰, et, plus g´en´eralement, pour toutes les fonctions constantes. Commeτα,f =Pn

k=0λkτ_α,Idk, et commeB([a, b],R) est un anneau, on en d´eduit queτα,f

est ´egalement born´ee.

Partie B – Condition n´ ecessaire d’alg´ ebricit´ e

B.1Ecrivons´ λ_k = ^p_q^k

k, o`u (p_k, q_k)∈Z×N^∗. En multipliant les rationnels λ₁, . . . , λ_n parQn

k=0q_k(6= 0), on peut se ramener au cas o`u ces coefficients sont des entiers relatifs.

B.2Soit (p, q)∈Z×N^∗ :q^d|f(p/q)−f(α)|=q^d|f(p/q)|=

Pd

k=0λ_kp^kq^d−k

est un entier, non nul (carf n’a pas de z´ero rationnel) et positif, il vaut au moins 1, d’o`u

|f(p/q)−f(α)|>1/q^d.

B.3La fonctionτf,αest born´ee sur tout segment, en particulier sur [α−1, α+ 1] : soitM un r´eel strictement positif tel que, pour toutx∈[α−1, α+ 1], |f(x)−f(α)| 6M|x−α|. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a, pour tout (p, q)∈Z×N^∗tel que p/q∈[α−1, α+ 1] :

p q−α

> 1

M q^d. Si (p, q)∈Z×N^∗ v´erifiep/q /∈[α−1, α+ 1], alors :

p q−α

>1> 1 q^d.

Ainsi, en posantc= min(1,1/M), on a bien c >0, et, pour tout (p, q)∈Z×N^∗ :

α−p q > c

q^d.

Partie C – Exemples de nombres transcendants

C.1 La suite (sn) est clairement croissante, ce qui permet de ramener sa convergence au fait qu’elle soit major´ee. Pour toutn∈N^∗, on a

sn=

n

X

k=1

a_k 10^k! 6

n

X

k=0

9

10^k = 91−(1/10)ⁿ⁺¹ 1−1/10 610, donc (sn) est major´ee par 10, puis convergente.

C.2 On supposeαalg´ebrique : d’apr`es la question B.3 (et l’irrationalit´e de α) on peut consid´erer (d, c)∈ N^∗×R^∗+ tel que, pour tout (p, q)∈Z×N^∗ :

α−p q > c

q^d.

Soitm, n∈N^∗, avecm > n. Comme `a la question pr´ec´edente, on a : 06sm−sn=

m

X

k=n+1

ak

10^k! 6 1 10^(n+1)!−1, puis, en faisant tendremvers l’infini (c’est possible carm > n) :

06α−s_n 6 1 10^(n+1)!−1.

Ors_n est un nombre rationnel, que l’on peut plus pr´ecis´ement ´ecrire ₁₀^pn_n! pour un certain entierp_n(en r´eduisant au mˆeme d´enominateur), et on obtient donc :

c

10^dn! 6 1

10^(n+1)!−1, puisc6 1 10(n+1)!−1−dn!

et ce pour tout n∈ N. En faisant tendre n vers l’infini, on obtient l’absurdit´ec 60 :α est bien un nombre transcendant.