Existence de solutions pour un système parabolique quasi-linéaire à croissance particulière

R´ epublique Alg´ erienne D´ emocratique et Populaire Minist` ere de l’Enseignement Sup´ erieur et de la Recherche

Scientifique

Ecole Normale Sup´ ´ erieure Kouba-Alger D´ epartement de Math´ ematiques

T H ` E S E

Pour obtenir le diplˆome de DOCTORAT EN SCIENCES

Sp´ecialit´e : Math´ematiques Option : Analyse fonctionnelle

Pr´esent´ee et soutenue par Rezak Souilah

Existence de solutions pour un syst` eme parabolique quasi-lin´ eaire

`

a croissance particuli` ere

Th`ese dirig´ee par Abdelhafid Mokrane

soutenue publiquement le 11/12/2016.

Devant le jury

Pr´ esident : Mahmoud Bousselsal Prof. ENS-Kouba (Alger) Directeur : Abdelhafid Mokrane Prof. ENS-Kouba (Alger) Examinateur : Mohamed Said Moulay Prof. USTHB (Alger)

Examinateur : Fares Mokhtari M.C (A) Universit´e d’Alger 1 (Alger)

Table des mati` eres

Notations 7

Introduction g´en´erale 9

1 Rappels 21

1.1 Espace L^p(0, T;V) . . . 21

2 Certaines m´ethodes de r´esolution des syst`emes elliptiques et paraboliques 27 2.1 M´ethodes de compacit´e . . . 27

2.1.1 M´ethode du point fixe . . . 27

2.2 M´ethode de Rothe . . . 28

2.3 M´ethode de sous et sur-solution faible . . . 29

2.4 M´ethode de monotonie . . . 33

2.4.1 Application du th´eor`eme 2.5 . . . 35

3 Existence pour un syst`eme de deux ´equations 38 3.1 Position du probl`eme . . . 38

3.2 Enonc´e du r´esultat principal . . . .´ 39

3.3 Approximation . . . 40

3.4 Estimation(L²(0, T;H₀¹(Ω)))² . . . 47

3.5 Convergence forte dans (L²(0, T;H₀¹(Ω)))² . . . 52

3.6 Passage `a la limite . . . 66

4 Existence pour un syst`eme de m ´equations avec m≥3 68 4.1 Position du probl`eme . . . 68

4.2 Enonc´e du r´esultat principal . . . .´ 69

4.3 Approximation . . . 69

5

TABLE DES MATI `ERES

4.4 Estimation (L²(0, T;H₀¹(Ω)))^m . . . 78 4.5 Convergence forte dans (L²(0, T;H₀¹(Ω)))^m . . . 83 4.5.1 Passage `a la limite . . . 94

Conclusion et perspective 95

Bibliographie 95

Notations

Ω : un ouvert born´e de R^N

∂Ω : fronti`ere topologique de Ω

x= (x1,· · · , x_N) : point g´en´erique de R^N

dx=dx₁dx₂· · ·dx_N : mesure de Lebesgue sur Ω Q= Ω×]0, T[ t : variable du temps, T >0 Σ =∂Ω×]0, T[

Ω : l’adh´erence de l’ensemble Ω

Pour deux vecteursv = (vi)_1≤i≤m etw= (wi)_1≤i≤m, la notation v ≤w d´esignev_i ≤w_i,

∀i= 1,· · · , m et [v]^k_w = (v¹,· · · , v^k−1, w^k, v^k+1,· · · , v^m), pour k = 1,· · · , m.

⇀: la convergence faible p.p. : presque partout V : un espace de Banach H : un espace de Hilbert V^′ : le dual topologique de V

h., .iV^′×V : le crochet de dualit´e entre l’espace V et son dual topologiqueV^′ k.k : la norme sur l’espace de BanachV

(., .) : le produit scalaire sur l’espace de Hilbert H

|.| : la norme sur l’espace de HilbertH R^m×N : l’espace des matrices r´eelles.

Id : d´esigne la matrice d’identit´e.

∇v = (_∂x^∂v

1,_∂x^∂v

2,· · · ,_∂x^∂v

N) : gradient de v : Ω−→R

∇u= (∇u¹,∇u²,· · · ,∇u^m)∈M^m×N : matrice, o`u u:Q−→R^m

f⁺ = max(f,0), f⁻= max(−f,0) : la partie positive et n´egative de la fonction f C⁰(R) : l’espace des fonctions continues

7

Notations

L^p(Ω) =

f : Ω−→R mesurable, Z

Ω

|f(x)|^pdx <∞

: espace de Lebesgue

D(Ω) =C^∞

0 (Ω) : espace des fonctions diff´erentiables et `a support compact dans Ω D(Q) = C^∞

0 (Q) : espace des fonctions diff´erentiables et `a support compact dans Q C^k(Ω), C^k(Q) : espace des fonctions k-fois continˆument diff´erentiables dans Ω, Q D^′(Ω) = (D(Ω))^′ : l’espace des distributions

W^1,p(Ω) ={u∈L^p(Ω); ∇u∈L^p(Ω)} : un espace de Sobolev, 1≤p≤ ∞ W₀^1,p(Ω) : la fermeture de C₀^∞(Ω) dans W^1,p(Ω), 1≤p <∞

W^−1,p′(Ω) : le dual topologique de l’espace W₀^1,p(Ω) (1 p + 1

p^′ = 1) H¹(Ω) =W^1,2(Ω) : un espace de Sobolev

C([0, T];V) : espace des fonctions continues `a valeurs dans l’espace de Banach V L^p(0, T;V) =

u: ]0, T[−→X mesurable, Z T

0

ku(t)k^p_Vdt <∞

;

kfkL^p(0,T;V) = Z T

0

ku(t)k^p_Vdt ¹p

L^∞(0, T;V) = {u: ]0, T[−→V mesurable; ∃C > 0, ku(t)kV ≤C p.p.t∈]0, T[}; kukL^∞(0,T;V) = inf{C > 0; ku(t)kX ≤C p.p.t∈]0, T[}

D([0, T];V) : espace des fonctions ind´efiniment diff´erentiables `a support compact et `a valeurs dans V.

C^α(Q) = {u:Q→R; ∃C > 0, ∃α ∈]0,1]; |u(x)−u(y)| ≤C|x−y|^α, ∀x, y ∈Q} l’espace des fonctions H¨old´eriennes d’exposant α.

R´ esum´ e

(P)



















∂u^γ

∂t −

N

X

i,j=1

∂

∂xi

(Ai,j(u)∂u^γ

∂xj

=G^γ(u,∇u) +F(u,∇u)Du^γ dansQ, γ = 1,· · ·, m, u= 0 sur Σ,

u(0) =u⁰ dans Ω,

o`u le premier terme du membre de droite de ce syst`eme G^γ(u,∇u) a une croissance qua- dratique par rapport `a ∇u, le second terme F(u,∇u)∇u<sup>γ</sup>, o`u F a une croissance sous- lin´eaire par rapport `a ∇u. Nous approchons le syst`eme (P) en rempla¸cant G^γ et F par G^γ_ε = G^γ(1 +ε|G^γ|)⁻¹, Fε = F (1 +ε|F||∇u|)⁻¹, puis nous montrons que le syst`eme approch´e du syst`eme (P) admet au moins une solution born´ee not´ee u_ε; d’autre part, nous prouvons une estimation (L²(0, T;H0¹(Ω)))^m sur u_ε, puis la convergence forte dans (L²(0, T;H0¹(Ω)))^m de uε; et enfin nous passons `a la limite dans le syst`eme approch´e du (P).

Mots cl´es

Syst`emes quasi-lin´eaire parabolique, croissance quadratique, sous et sur-solutions, solutions born´ees.

Math Sujet Classifications : 35K40, 35K59, 35K51.

Abstract

(P)



















∂u^γ

∂t −

N

X

i,j=1

∂

∂x_i(Ai,j(u)∂u^γ

∂x_j =G^γ(u,∇u) +F(u,∇u)Du^γ inQ, γ = 1,· · · , m, u= 0 on Σ,

u(0) =u⁰ in Ω,

where the first term of the right hand side of this system G^γ(u,∇u) having a quadratic growth with respect to ∇u, the second one F(u,∇u)∇u^γ, where F having a sublinear growth with respect to ∇u. We approximate the system (P) by replacing G^γ and F by G^γ_ε = G^γ(1 +ε|G^γ|)⁻¹, Fε = F (1 +ε|F|| ∇u|)⁻¹. Then we prove that the approximated admits at least one bounded solution, denoteduε. Secondly we prove an (L²(0, T;H0¹(Ω)))^m- estimate foru_ε, then the strong convergence in (L²(0, T;H0¹(Ω)))^m ofu_ε; and finally we pass to the limit in the approximated system of (P).

Key words : Quasilinear parabolic systems ; quadratic growth ; upper and lower solu- tions ; bounded solutions.

Math Subject Classifications: 35K40, 35K59, 35K51.

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(P)















∂u^γ

∂t −

N

X

i,j=1

∂

∂xi

(Ai,j(u)∂u^γ

∂xj

=G^γ(u,∇u) +F(u,∇u)Du^γ dans Q, γ = 1,· · · , m, u= 0 sur Σ,

u(0) =u⁰ dansΩ,

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