II. Propriétés de la somme d’une série de fonctions

(1)

Séries de fonctions

Notation : Pour f :I→Rêt Â^⊂Î^{, si}^f est bornée sur Aalors on note

°

°f°

°∞,A=sup©¯

¯f(x)¯

¯|x∈Aª

Rappel 1 – Une caractérisation des fonctions de classeC^k

Soient f :I→Kune fonction et k∈N∪{∞}. On a équivalence entre : (i) La fonction f est de classeC^ksur I ;

(ii) Pour tout segment[a,b]⊂I , la fonction f est de classeC^ksur[a,b].

I. Mode de convergence

II. Propriétés de la somme d’une série de fonctions

Remarque. Tous ces résultats s’obtiennent directement à partir des résultats sur les suites

de fonctions appliqués à la suite des sommes partielles.

Théorème 2 – Continuité de la somme d’une série de fonctions Soit X

nÊn0

f_nune série de fonctions définie au moins sur I . Si :

• Pour tout nÊn₀, la fonction f_nest continue sur I ;

• La série de fonctions X

nÊn₀

f_nconverge uniformément sur I , alors la somme

+∞X

nÊn0

f_nest définie et continue sur I .

1

(2)

Théorème 3 – Échange série intégrale sur un segment avec convergence uniforme Soit X

nÊn0

fnune série de fonctions définies au moins sur[a,b]. Si :

• Pour tout nÊn₀, la fonction fnest continue sur[a,b];

nÊn0

f_nconverge uniformément sur[a,b], alors la série numérique X

nÊn0

Z _b

a

f_n(t) dt converge et : Z _b

a

Ã+∞

X

n=n0

f_n(t)

! dt=

+∞X

n=n0

µZ _b

a

f_n(t) dt

¶ . Théorème 4 – ClasseC¹ pour la somme d’une série de fonctions

Soit X

nÊn0

f_nune série de fonctions définies au moins sur I . Si :

• Pour tout nÊn₀, la fonction f_nest de classeC¹sur I ;

nÊn0

f_nconverge simplement sur I ;

nÊn0

f_n⁰ converge uniformément sur I , alors la somme

+∞X

n=n0

f_nest de classeC¹sur I et Ã+∞

X

n=n0

f_n

!₀

=

+∞X

n=n0

f_n⁰. Théorème 5 – ClasseC^k pour la somme d’une série de fonctions Soient k∈N^∗^et ^X

nÊn0

fnune série de fonctions définies au moins sur I . Si :

• Pour tout nÊn₀, la fonction f_nest de classeC^ksur I ;

• Pour tout p∈ 0,k−1, la série de fonctions X

nÊn0

f_n^(p)converge simplement sur I ;

nÊn0

f_n^(k)converge uniformément sur I , alors la somme

+∞X

n=n0

fnest de classeC^ksur I et :∀p∈ 0,k, Ã+∞

X

n=n0

fn

!(p)

=

+∞X

n=n0

f_n^(p). Remarque. Pour montrer que la somme d’une série de fonctionsP

f_nest de classe C^∞, on démontre que :

• Chaque fonctionf_nest de classe C^∞surI;

• La série de fonctionsX

f_nconverge simplement surI;

• Pour toutp∈N^∗, la série de fonctionsX

f_n^(p)converge uniformément surI.

Les hypothèses du théorème de classe C^ksont alors vérifiées pour tout entierkÊ1.

Remarques.

• On peut, pour appliquer ces théorèmes, préférer établir la convergence normale plu- tôt que la convergence uniforme (cependant il existe des séries de fonctions pour lesquelles il y a convergence uniforme mais pas convergence normale).

• Pour établir qu’une fonction est de classe C^ksurI, il suffit d’établir qu’elle est de classe C^ksur tout segment [a,b]⊂I.

• "La convergence uniforme (respectivement normale) sur tout segment [a,b]⊂I

n’entraine pasla convergence uniforme (respectivement normale) surI.

(3)

Les résultats à connaitre

• Définition de la convergence simple et normale pour une série de fonctions.

• Définition de la convergence uniforme pour une série de fonctions.

• Lien entre les convergences.

• Continuité de la somme.

• Échange série intégrale sur un segment [a,b] avec convergence uniforme.

• Théorème de classe C¹, théorème de classe C^k.

Quelques objectifs du chapitre

• Connaitre les notions de convergence simple, convergence uniforme, convergence normale.

• Avoir compris les liens entre ces notions.

• Savoir établir qu’une suite de fonctions converge simplement.

• Savoir établir qu’une suite de fonctions converge normalement.

• Savoir utiliser le reste d’ordreNpour établir la convergence uniforme.

• Savoir établir des propriétés de la somme d’une série de fonctions.

En pratique

Ï

Comment établir la convergence simple ?

Pour étudier la convergence simple deP

f_n surI, on considèrex∈I fixé et on étudie la convergence de la série numériqueP

f_n(x). On peut penser en particulier :

— à la convergence absolue ;

— au théorème des séries alternées ;

— à établir un équivalent def_n(x) lorsquen→ +∞(àxfixé).

Il est rare qu’il faille utiliser des méthodes plus évoluées (revoir cependant les méthodes pour démontrer la convergence d’une série numérique).

Ï

Comment établir la convergence normale ?

Pour établir la convergence normale deP

f_nsurI, il faut obtenir une majoration de la forme :

∀x∈I, ¯

¯f_n(x)¯

¯Éαn

oùαnest indépendant dexet la série numériquePαnconverge.

Ï

Comment établir la convergence uniforme ?

Pour établir la convergence uniforme deP

f_nsurI, il faut tout d’abord établir la convergence simple surI. Il faut ensuite obtenir une majoration de la forme :

∀x∈I,

¯

+∞X

k=n+1

f_k(x)

¯

¯ Éαn

(4)

oùαnest indépendant dexetαn−−−−−→

n→+∞ 0.

Ï

Comment démontrer la continuité de la somme ?

Pour montrer que la somme de la série de fonctionsP

f_nest continue surI:

• Montrer que chaque fonctionf_nest continue surI;

• Montrer que la série converge uniformément (ou normalement) surI (ou sur tout segment [a,b]⊂I).

L’hypotèse difficile à obtenir est la convergence uniforme (ou normale).

Ï

Comment démontrer le caractère C

¹

, C

^k

, C

^∞

de la somme ?

Pour montrer que la somme de la série de fonctionsP

fnest de classe C¹sur un intervalleI:

• Montrer que chaque fonctionf_nest de classe C¹surI;

• Montrer que la sérieP

f_n⁰ converge uniformément (ou normalement) surI(ou sur tout segment [a,b]⊂I).

Pour montrer que la somme de la sérieP

f_nest de classe C^k(kÊ1) sur un intervalleI :

• Montrer que chaque fonctionf_nest de classe C^k surI;

• Montrer que les sériesP f_n,P

f_n⁰, . . . ,P

f_n^(k⁻¹⁾convergent simplement surI;

f_n^(k)converge uniformément (ou normalement) surI(ou sur tout segment [a,b]⊂I).

Pour montrer que la somme de la sérieP

f_nest de classe C^∞sur un intervalleI:

• Montrer que chaque fonctionfnest de classe C^∞surI;

• Montrer que :

— la sérieP

— pour toutkÊ1, la sérieP

f_n^(k)converge uniformément (ou normalement) surI (ou sur tout segment inclus dansI).

L’hypothèse difficile à démontrer est la convergence uniforme (ou normale).

Ï

Comment intégrer terme à terme ?

Par calculer l’intégrale de la somme d’une série de fonctionsP

f_n, appliquer l’un des deux théorèmes du cours :

— le premier est valable uniquement pour une intégrale sur un segment [a,b], l’hypo- thèse « difficile » à démontrer est la convergence uniforme sur [a,b] ;

— le second est valable sur un intervalle quelconqueIet il y a plus de conditions à vérifier.

La plus difficile est la convergence de la série numériqueP R

I|fn(t)|dt.

Ï

Comment calculer la somme d’une série de fonctions ?

• Il est fréquent dans les exercices de déterminer l’expression de f⁰(ou une équation différentielle sur f) et d’en déduire une expression def ;

• Voir également les méthodes de calcul de la somme d’une série numérique.

Ï

Comment calculer des limites et obtenir des équivalents ?

Pour déterminer la limite de la somme de la sérieP

fn, on peut :

• Utiliser des majorations, minorations et encadrements (en particulier réaliser un encadrement de la somme par des intégrales).

(5)

Pour déterminer un équivalent de la somme :

• Deviner l’équivalent et se ramener à un problème de limite (cf. ce qui précède) ;

• Réaliser un encadrement de la somme par des intégrales.

Pour réaliser un encadrement par des intégrales sur une série de fonctions de la forme P

nÊn₀f_n(x), on considère àxfixé la fonctiong_x définie de telle sorte queg_x(t)=f_n(x).

(6)

Illustrations du cours

Exercice 1Convergence simple, convergence normale. On considère pournÊ1 la fonction : f_n:xÊ07→ ln(1+xⁿ)

n (a) Démontrer que la série de fonctionsP

nÊ1f_nconverge simplement sur [0, 1[. Que dire de la convergence sur [1,+∞[ ?

(b) Démontrer queP

nÊ1f_nconverge normalement sur tout segment [0,a] avec 0<a<1.

(c) Étudier la convergence normale deP

nÊ1f_nsur [0, 1[.

Exercice 2Continuité (1). On considère la série de fonctionsP

nÊ1f_noù pournÊ1 : f_n:x∈]0,+∞[7→ (−1)ⁿ

p1+nx

Démontrer que cette série de fonctions converge simplement sur ]0,+∞[ et que sa somme est continue sur ]0,+∞[.

Exercice 3Continuité (2). On considère la série de fonctionsP

nÊ1fnavec pournÊ1 : fn(x)=sin(nx)

nx 1

n² si x6=0

= 1

n² sinon

Démontrer que cette série de fonctions converge normalement surRet que sa somme est continue surR^.

Exercice 4Intégration avec convergence normale. SoientP

nÊ0a_nune série absolument convergente et :

f(x)=

+∞X

n=0

a_ne^inx

Démontrer quef est définie et continue surRet calculer, pourp∈N^, Z ₂_π

0

f(x)e^{−ip x}dx.

Exercice 5CaractèreC¹. Démontrer que la fonction f suivante est de classe C¹surR^: f :x7→

+∞X

n=1

n(−1)ⁿ⁻¹ n²+x²

Exercice 6CaractèreC^∞. On considère la fonctionζde Riemann définie par ζ(x)=

+∞X

n=1

1 n^x Démontrer queζest définie et de classe C^∞sur ]1,+∞[.

(7)

Exercice 7Limites, équivalents.

(a) Démontrer que la fonction f :x7→

+∞X

n=0

1

n²+x² est définie surR^∗^.

(b) Déterminer la limite def en 0. Justifier que f admet une limite finie en+∞.

(c) Déterminer des équivalents def en 0 et en+∞.

Exercice. À faire vous-même pour voir si vous avez compris. On définit lorsque c’est possible :

f(x)=

+∞X

n=0

e⁻^nx 1+n²

Démontrer quef est définie et continue surR⁺et qu’elle est de classe C¹surR^+∗^.

(8)

Vrai/Faux

On considère la série de fonctionsP

nÊ1u_noù pour tout réelx, u_n(x)= 1

2ⁿcos(nx)

(1) Il existe au moins un réelxpour lequel la sérieu_n(x) diverge.

(2) Le terme général de cette série ne converge jamais vers 0.

(3) La sérieP

nÊ1u_nconverge uniformément surR^. (4) La sérieP

nÊ1u_nne converge pas normalement surR^. On considère une série de fonctionsP

nÊ0f_ndéfinies au moins sur l’intervalle [0,+∞[.

(5) Si la série de fonctionsP

f_nconverge normalement sur [0,+∞[, alors elle converge uniformément sur ]0,+∞[.

f_nconverge normalement sur [0,+∞[, alors elle converge simplement sur [0,+∞[.

f_n converge normalement sur ]0,+∞[ et si la sérieP f_n(0) converge, alors la série de fonctionsP

f_nconverge normalement sur [0,+∞[.

fnconverge simplement sur ]0,+∞[, alors elle ne converge pas normalement sur [0,+∞[.

f_nne converge pas uniformément sur ]0,+∞[, alors elle ne converge pas simplement sur [0,+∞[.

f_n converge normalement sur [a,+∞[ quel que soita>0, alors elle converge simplement sur ]0,+∞[.

fn converge normalement sur [a,+∞[ quel que soita>0, alors elle converge uniformément sur ]0,+∞[.

f_n converge normalement sur [a,+∞[ quel que soita>0, alors elle converge normalement sur ]0,+∞[.

f_nconverge normalement sur [0,a] quel que soita>0, alors la série de fonctionsP

f_nconverge normalement sur [0,+∞[.

fnconverge normalement sur [a,+∞[ quel que soita>0 et converge normalement sur ]0, 1[, alors elle converge normalement sur ]0,+∞[.

f_nconverge normalement sur [a,+∞[ quel que soita>0 et converge normalement sur ]0, 1[, alors elle converge uniformément sur ]0,+∞[.

On considère une série de fonctionsP

nÊ0f_ndéfinies au moins sur l’intervalle [0, 1].

f_nconverge simplement sur tout segment [a,b] avec 0<a<

b<1, alors elle converge simplement sur ]0, 1[.

(17) Si la série de fonctions P

f_n converge uniformément sur tout segment [a,b] avec 0<a<b<1, alors elle converge uniformément sur ]0, 1[.

fnconverge normalement sur tout segment [a,b] avec 0<

a<b<1, alors elle converge normalement sur ]0, 1[.

f_nconverge simplement sur tout segment [a,b] avec 0Éa<

bÉ1, alors elle converge simplement sur [0, 1].

(20) Si la série de fonctions P

f_n converge uniformément sur tout segment [a,b] avec 0Éa<bÉ1, alors elle converge uniformément sur [0, 1].

(9)

II. Propriétés de la somme d’une série de fonctions (21) Si la série de fonctionsP

f_nconverge normalement sur tout segment [a,b] avec 0É a<bÉ1, alors elle converge normalement sur [0, 1].

On considère une série de fonctionsP

nÊ0f_ndéfinies surRqui converge simplement surR et dont la somme est notéef.

(22) Si les fonctionsf_n sont toutes continues surR^et ^f n’est pas continue en 0, alors la série de fonctionsP

f_nne converge par normalement surR^.

(23) Si les fonctionsf_nsont toutes continues surR^et ^f est continue surR^∗, alors la série de fonctionsP

f_nconverge normalement surR^+∗^.

(24) Si les fonctionsf_nsont toutes continues surR^et ^f est continue surR^∗, alors la série de fonctionsP

f_nconverge uniformément surR^+∗^.

(25) Si les fonctionsf_nsont toutes continues surRet la série de fonctionsP

f_nconverge normalement sur [−a,a] quel que soita>0, alors f est continue surR^.

(26) Si les fonctionsf_nsont toutes continues surRet la série de fonctionsP

f_nconverge uniformément sur [−a,a] quel que soita>0, alors f est continue surR^.

(27) Si les fonctionsf_nsont toutes de classe C¹surRet la série de fonctionsP

f_n⁰converge uniformément sur [−a,a] quel que soita>0, alors f est continue surR^.

(28) Si les fonctionsf_nsont toutes de classe C¹surRet la fonctionf n’est pas continue sur Ralors la série de fonctionsP

f_n⁰ ne converge pas uniformément surR^. (29) Si les fonctionsf_nsont toutes croissantes surR^{, alors} ^f est croissante surR^. (30) Si les fonctionsf_nsont toutes monotones surR^{, alors}^f est monotone surR^.

1F2F 3V4F5V6V7F 8F9F

10V11F1 2F13 F14V15 V1 6V17F1 8F19V20 V21V22V23

F24F2 5V26V 27V28 V29V30F

9