Problèmes sur les séries de Fourier

Problèmes sur les séries de Fourier

1. Phénomène de Gibbs : le toit d’usine.

2. Phénomène de Gibbs : l’onde carrée.

3. Contre-exemple de Féjer.

4. Un développement en série de Fourier.

5. Formule de Parseval, via le noyau de Poisson.

6. Noyau de Poisson, théorème de Bochner.

7. Noyaux de Fourier, Féjer, Jackson.

8. Nombres de Bernoulli et calcul des ζζζζ(2n).

9. Applications géométriques des séries de Fourier.

10. Etude de quelques courbes planes.

11. Fonction thêta de Jacobi, formule de Poisson.

12. Sommes de Gauss.

13. Constantes de Lebesgue.

14. Inégalité de Bernstein.

15. Une série trigonométrique.

16. Séries trigonométriques.

17. Théorie de Riemann.

18. Fonctions presque périodiques de H. Bohr.

19. Transformation de Fourier.

20. Série de Riemann-Gerver.

21. Fonctions de Rademacher.

22. Ondelettes de Haar.

23. Fonctions de Weierstrass et ondelettes.

Pierre-Jean Hormière _________

Problèmes de concours portant sur les séries de Fourier

XM' 1976 : Représentation d’une fonction par une série trigonométrique : th de Riemann ENS Saint-Cloud 1980 : inégalités isopérimétriques

Capes 1986 : Noyaux de Fourier, Fejer, Jackson

XP' 1986 : Théorèmes de Bernstein et Markov sur les polynômes trigonométriques ENSET 1986 : Convolution, espaces vérifiant une propriété d’équivalence des normes ENSET 1990 : Approximation uniforme et en moyenne quadratique d’une fct cont périodique XM' 1992 : Séries trigonométriques ∑ bn sin(nx) où bn↓ 0

Mines 1997, pb 1 : Approximation des fcts périodiques par le noyau de Jackson Mines 1997, pb 2 : Fonctions de Bessel modifiées de 1ère espèce

Centrale MP 1999 : Transformation de Fourier, et équations d’échelle

Centrale PSI 1999 : Fonction ζ de Riemann prolongée et son équation fonctionnelle XM' 1999 : Noyau de Cauchy et transformation de Fourier

Mines 2001 : Approximation uniforme par des polynômes

Centrale 2002 : Approximation uniforme par des polynômes (séries de Tchebychev) Agrégation interne 2002 : Sections d’aire maximale d’un hypercube

Agrégation interne 2003 : Lemme de Cantor, th de Riemann, problème de Dirichlet Mines 2004 : Calcul de l’intégrale

∫

₀^{∞arctan dt}_eπt₋₁^t.

CCP 2004 : Contre-exemple de Fejér, fonctions à variation bornée, théorème de Jordan Centrale 2005 : Fonctions presque périodiques de Bohr

X PC 2007 : Convexes, inégalité isopérimétrique, Steiner-Minkowski, roues ENS 2007 : Fonctions de Weierstrass et ondelettes

E3a 2011 : Equivalent d’une série trigonométrique

Problème 1 : Phénomène de Gibbs, toit d’usine

Question préliminaire. Calculer S_n(θ) = cos θ + cos 2θ + … + cos nθ pour θ∈ R−2πZ. En déduire : S_n(θ) =

) 2 / sin(

) 2 /

sin(ⁿ

θ θ

_.cos(

θ 2

+

1

n _{) =}

sin2 . 2

2) sin( 1

θ θ +

n −

2 1

₌

2

1

sin(n+1)θ.cotg

2

θ

_{− cos}²₍

θ 2

+

1

n _{) (*)}

A. Première partie : étude d’une suite de polynômes trigonométriques.

On pose, pour n ≥ 1, A_n(θ) = sin(θ) +

2

1

_{sin(2θ) + … +} n

1

_{sin(nθ) .}

1) Etudier les variations de A_n(θ). Montrer que, sur [0, π], A_n admet un maximum local aux points a_n,k =

π

1 1 2

++

n

k , et un minimum local aux points b_n,k =

π

n

k

2

, où 0 ≤ k ≤

2

n_. 2) Démontrer que A_n(a_n,k) − A_n(a_n,k−1) ≤

2 1 ∫

⁺⁺

+− ^π +

π 1

1 2

1 1

2 .

cot 2 . ) 1

n sin(

k

n

k n t ant dt < 0 . [ On pourra poser (n + 1).t = 2kπ + u ].

En déduire que les maxima locaux de A_n diminuent sur [0, π], et que max_θ∈[0,π] A_n(θ) = A_n( +

1

n

π

_).

3) Vérifier que A_n( +

1

n

π

_{) = An+1(} +

1

n

π

_{) .}

En déduire que la suite n → αn = max_θ∈[0,π] A_n(θ) est croissante.

Montrer à l’aide de sommes de Riemann que, si k est fixé,

lim_n→∞ A_n(a_n,k) =

∫

₀^(2k+1)πsin_t ^t.dt et lim_n→∞ A_n(b_n,k) =

∫

₀^2kπsin_t ^{t.dt .}

4) Constante de Gibbs.

Que vaut G = lim_n→∞ αn ? Montrer que ∀t ∈ ]0, π[

t t

sin

_{> 1 −}

π

^t ; en déduire G >

2 π

_.

Montrer que G =

∑

^+∞

=

+

+

− +

0

1 2

)!

1 2 )(

1 2 . ( ) 1 (

p

p p

p p

π

. En déduire une valeur approchée de G à 10⁻³ près.

B. Deuxième partie : limite des polynômes A_n(θθθθ) . 1) Convergence simple.

a) Montrer que ϕ(t) = t

1

₋

) 2 / sin(

. 2

1

t peut être prolongée en une fonction C¹ sur [0, 2π[.

b) En déduire que ∀θ∈ ]0, 2π[ lim_n→∞

∫

₀^θ

^{( 1}

_t⁻

_{2 . sin(} ¹

_t

_{/ 2 )} ^{). sin(}

ⁿ⁺

¹ ₂ ⁾

^t

^.

^{dt = 0 .}

c) On rappelle que J(x) =

∫

₀^xsin_t^t.dt tend vers une limite finie I quand x → +∞. Montrer que ∀θ ∈ ]0, 2π[ lim_n→∞ A_n(θ) = I −

2

θ

, puis que lim_n→∞ A_n(θ) =

2 θ π

− _. d) Applications : Montrer que :

1 − 3 1 ₊

5 1 ₋

7 1 ₊

9 1 ₋

111 + … = π4 _. 1 −

2 1 ₊

4 1 ₋

5 1 ₊

7 1 ₋

8

1 + … =

3 3

π

_.

1 + 2 1 ₋

4 1 ₋

5 1 ₊

7 1 ₊

8

1 + … =

3 3

2 π

_.

2) Convergence uniforme.

Reprenant, en le précisant, le calcul fait en B.1.b), montrer que la convergence de la suite (A_n) est uniforme sur tout intervalle [α, 2π−α] (0 < α < π).

Est-elle uniforme sur [0, 2π] ? Sur ]0, 2π[ ? Est-elle dominée ? Représenter sur un même graphe les fonctions A₁(θ), A2(θ), A3(θ) et

2 θ

π

− sur [0, 2π] . 3) Convergence en moyenne quadratique.

Montrer que la suite (A_n) converge en moyenne quadratique vers h(θ) =

2 θ

π

− sur [0, 2π], i.e.

lim_n→∞ ^2π

^[

^h

⁽ θ ⁾

^An

⁽ θ ^)]².

^d

θ

0 −

∫

= 0 . En déduire lim_n→∞ ^2πAn

⁽ θ ^).

^d

θ

0

∫

2 , puis la valeur de

∑

^+∞

=1 ² 1

n n ^. 4) Soit f une fonction réglée 2π-périodique de R dans C.

Pour tout n ∈ N*, on pose b_n = π¹

∫

₀^2πf

^{( θ ). sin(}

ⁿ

^{θ ).}

^d

^θ

. Montrer que

∑

^+∞

=1 n

n

n b ₌

π¹

∫

₀^2π

^π

⁻

₂ ^{θ .}

^f

^{( θ ).}

^d

^θ

^.

C. Troisième partie : applications.

1) Montrer que la fonction B(θ ) =

∑

^+∞

=1 ² ) cos(

n n

nθ est définie et continue sur R. Calculer B(θ).

Soit B_n(θ) =

∑

= n

k k

k

1 ²

)

cos( θ . Calculer ₂¹

_π ∫

₀^2πBn(

^θ

^)².d

^θ

, et en déduire

∑

^+∞

=1 4

1

n n ⁼ 90

π

4

. 2) Montrer que la fonction C(θ) =

∑

^+∞

= +

1

) sin(

1).

1 ln(

n

n n

θ

est définie sur R. En quels points est-elle continue ? C est-elle continue par morceaux ?

__________

Problème sur le phénomène de Wilbraham Gibbs

Quand on développe en série de Fourier une fonction périodique f discontinue mais C¹-par morceaux, Dirichlet a montré que la série de Fourier de f converge simplement, en chaque point, vers la demi-somme des limites à droite et à gauche de f. Mais au voisinage des discontinuités, la convergence est de mauvaise qualité en raison d’un phénomène de « grésillement », observé par Wilbraham en 1848 et par Gibbs en 1898, et généralisé par Bôchner en 1906.

Ce problème met en évidence ce phénomène dans le cas particulier du « toit d’usine ». La somme de la série trigonométrique

∑

^+∞

=1

sin

n nn

θ

a été calculée par Euler en 1744, comme en témoigne une lettre à Goldbach. Abel note en 1825 qu’elle fournit un exemple de suite de fonctions continues tendant simplement vers une fonction discontinue, réfutant ainsi une erreur de Cauchy.

Question préliminaire. Soit θ∈ R−2πZ.

S_n(θ) = cos θ + cos 2θ + … + cos nθ = Re

∑

= n

k

eik 1

θ = Re _θ

θ θ i n i i

e e e

−− ⁺

1

) 1 (

= Re _/2

) 1 2 / (

θ θ i n i

e e ⁺

2 / 2 /

2 / 2 /

θ θ

θ θ

i i

in in

e e

e e

−−

−

−

= Re ^2θ

+1 in

e 2sin( /2) ) 2 / sin(

2

θ θ

i n

−i

− =

) 2 / sin(

) 2 /

sin(ⁿ

θ θ

_.cos(

θ 2

+

1

n ₎ =

sin2 . 2

2) sin( 1

θ θ +

n −

2

1

en vertu de la formule sin a.cos b =

1 [2 sin(a + b) + sin(a − b)] . =

2

1

_{sin(n+1)θ.cotg}

θ 2

_{− cos}²₍

θ 2

+

1

n ) en notant que sin(n + 2

1_)θ = sin[(n +1)θ−

θ

2_{], etc.}

A. Première partie : une suite de polynômes trigonométriques.

1) Variations de A_n(θθθθ).

La fonction A_n est (2π)−périodique, impaire et C^∞. Il suffit d’étudier ses variations sur [0, π].

Or A_n’(θ) = Sn(θ) =

) 2 / sin(

) 2 /

sin(ⁿ

θ θ

_.cos(

θ 2

+

1

n ) , forme-produit propice à l’étude du signe.

Or sin

θ2 est > 0, sin 2θ

n s’annule en changeant de signe aux points n k

π

2

_{, cos(}

θ

2

+

1

n ) s’annule en changeant de signe aux points

²

_n^k₊⁺

₁ ¹ π

; de plus, les suites

n k

π

2

_et

²

_n^k₊⁺

₁ ¹ π

s’entrelacent.

θ

0 +

1

n

π

n

π 2

1 3

+ n

π

n

π 4

_…

1 ) 1 2 ( −+

n k π

n k

π 2

1 ) 1 2 ( ++

n

k π … π sin

2θ

n 0 + 0 − 0 (−1)^k−1 0 (−1)^k

cos θ

2 +1

n + 0 − 0 + 0 (−1)^k 0 A_n’(θ) n + 0 − 0 + 0 − 0 0 − 0 + 0

A_n(θ)

Conclusion : Sur [0, π], A_n admet un maximum local aux points a_n,k =

π 1

1 2

++

n

k , et un minimum local aux points b_n,k =

π

n k

2

_{, où 0 ≤ k ≤}

2

n_.

2) Décroissance des maxima locaux sur [0, ππππ].

A_n(a_n,k) − A_n(a_n,k−1) =

∫

⁺⁺

+− π π 1

1 2

1 1 2ⁿ '().

k

n

k An t dt _≤

2 1 ∫

⁺⁺

+−¹¹_π^π +

2

1 1

2 .

cot 2 . ) 1

n sin(

k

n

k n t ant dt (3ème forme de la dérivée) = 2(11)

+

n

∫

₋⁺_π^π

^sin(

^u+

²

^k

^{π ). cot}

^an

⁽

^u

₂

⁺

₍

_n

²

₊^k

₁ ^π ₎ ^).

^du après changement de variable (n+1).t = 2kπ + u . =

) 1 ( 2 1

+

n

∫

₋⁺_π^π

^sin(

^u

^{). cot}

^an

⁽

^u

₂

⁺

₍

_n

²

₊^k

₁ ^π ₎ ^).

^{du =} _2(n¹₊₁₎

∫ ∫

₀^+π+₋⁰_π

^sin(

^u

^{). cot}

^an

⁽

^u

₂

⁺

₍

_n

²

₊^k

₁ ^π ₎ ^).

^du.

Posons v = − u dans la seconde intégrale, puis u = v, autrement dit « plions » l’intégrale.

Il vient : ) 1 ( 2 1

+

n

∫

₀^+π

^sin(

^u

^).[cot

^an

^{( 2} ₂

^k

₍

_n

^π

₊⁺

₁

^u

₎ ⁾

⁻

^cot

^an

^{( 2} ₂

^k

₍

_n

^π

₊⁻

₁

^u

₎ ^)].

^du.

Cette intégrale est ≤ 0, car la cotangente décroît sur [0, π2_].

Elle est même < 0 en tant qu’intégrale d’une fonction continue, négative et non nulle.

Bilan : A_n(a_n,1) > A_n(a_n,2) > … > A_n(a_n,k) > ... Les maxima locaux de A_n diminuent entre 0 et π. En particulier Max _θ∈[0,π] A_n(θ) = A_n(

+

1

n

π

_{) .}

Remarques : 1) Plusieurs variantes existent. Le célèbre Jean-Nicolas Dénarié l’a montrée en utilisant la seconde formule de la moyenne. On peut aussi intégrer par parties.

2) On pourrait de même étudier la suite des minima locaux : ils diminuent aussi.

3) Croissance des maxima globaux, limites des extrema locaux.

• Tout d’abord, A_n( +

1

n

π

_{) =}

∑

= +

n

k nk

1k

1) 1sin( π ₌

∑

⁺

= +

1 1

1) 1sin(

n

k nk

k π _{= An+1(} +

1

n

π

_).

Donc αn+1 = Max _θ∈[0,π] A_n+1(θ) ≥ An+1( +

1

n

π

_{) = A}

n( +

1

n

π

_{) = α}

n . La suite des maxima globaux est croissante.

• Limites des k-ièmes extrema locaux. Notant f(t) = t

t)

sin( , qui est continue en 0, il vient : A_n(a_n,k) = A_n(

π

1 1 2

++

n

k _{) =}

∑

= ++

n

p n

p k

1p

1 ) ) 1 2 sin((

1

π

₌

π

1 1 2

++

n

k

∑

= ++

n

p n

p f k

1

1 ) ) 1 2

((

π

tend vers

∫

₀^(2k+1)πf

⁽

^t

^).

^dt

quand n → +∞, comme somme de Riemann de f associée à la subdivision (

²

_n^k₊⁺

₁ ¹

^p

π

⁾1≤p≤n de [0, (2k+1)π], dont le pas tend vers 0.

A_n(b_n,k) = A_n( n k

π

2

_{) =}

∑

= n

p n

kp

1p 2 )

1sin(

π

₌ n k

π

2 ∑

= n

p n

f kp

1

2 )

(

π

tend vers

∫

₀^2kπf

⁽

^t

^).

^{dt quand n → +∞,}

comme somme de Riemann de f associée à la subdivision ( 1 2n+

kpπ ₎

1≤p≤n de [0, 2kπ].

Conclusion : lim_n→∞ A_n(a_n,k) =

∫

₀^(2k+1)πsin_t ^t.dt et lim_n→∞ A_n(b_n,k) =

∫

₀^2kπsin_t^{t.dt .}

4) Constante de Wilbraham-Gibbs.

a) Il découle de 3) que G = lim_n→∞αn = lim_n→∞ A_n(a_n,0) =

∫

₀^{πsin dt}_t^{t. .}

L’inégalité ∀t ∈ ]0, π[ t

t

sin

_{> 1 −}

π

^t s’écrit aussi sin t − t +

π

^t

^²

^{> 0.}

Elle se montre en étudiant les variations de f(t) = sin t − t +

π

^t

^²

^{sur ]0, π[.}

Maple confirme que sin x est au-dessus de la parabole x −

π

^x

^²

^{sur [0, π].}

> with(plots):f:=plot(sin(x),x=0..Pi,color=blue,thickness=2):

g:=plot(x-x^2/Pi,x=0..Pi):display({f,g});

Par suite, la fonction t

t

sin

_{− 1 +}

π

^t est continue positive et non nulle sur [0, π].

Son intégrale est > 0 par le lemme aux 9 hypothèses, donc G >

π 2

_. b) Valeur approchée de G. Je dis que G =

∫ ∑

^{+∞ −} ₊

= π 0

2

0

)! . 1 2 ) ( 1

(

dt

p t ^p

p

p =

∑

^+∞

=

+

+

− +

0

1 2

)!

1 2 )(

1 2 ) ( 1 (

p

p p

p p

π

.

En effet, la série

∑

^+∞

= − +

0

2

)!

1 2 ) ( 1 (

p

p p

p

t est normalement convergente sur le segment [0, π].

La série obtenue obéit au critère des séries alternées, et est très rapidement convergente.

|

G −

∑

=

+

+

− +

n

p

p p

p

0 p

1 2

)!

1 2 )(

1 2 ) ( 1

( π |

≤

)!

3 2 )(

3 2 (

3 2

+ +

+

n n

π n _{≤ 10}−3

pour n = 5, ≤ 10⁻⁸ pour n = 10. D’où : G ≈ 1,852 à 10⁻³ près, et G ≈ 1,85193705 à 10⁻⁸ près.

Avec Maple :

> Digits:=10;u:=k->Pi^(2*k+1)/((2*k+1)*(2*k+1)!);

s:=n->sum((-1)^k*u(k),k=0..n);

evalf(Si(Pi));

> evalf(u(5));evalf(s(5));evalf(u(10));evalf(s(10));

> for n from 0 to 10 do evalf(s(n));od;

B. Deuxième partie : convergence des polynômes A_n(θθθθ) vers le toit d’usine.

1) Convergence simple.

a) La fonction ϕ(t) = t

1

₋

) 2 / sin(

. 2

1

t ^{est C}

∞ sur ]0, 2π[.

Un développement limité de ϕ(t) en 0 donne ϕ(t) = −

24t _{+ O(t}³_{) .}

Donc ϕ peut être prolongée par continuité en 0 par ϕ(0) = 0, et alors ϕ’(0) = − 241 _. Un développement limité de ϕ’(t) en 0 donne ϕ’(t) = −

241 _{+ O(t}²_{) .} Donc, après prolongement, ϕ est de classe C¹ sur [0, 2π[.

> phi:=t->1/t-1/(2*sin(t/2));series(phi(t),t=0,3);

> D(phi)(t);series(D(phi)(t),t=0,4);

Autre solution : ϕ est développable en série entière au voisinage de 0, donc C^∞ au V(0).

En effet, par réduction au même dénominateur ϕ(t) =

) 2 / sin(

2 ) 2 / sin(

2 t t

t t − ₌

) (

² ) (

3

t B t

t A t = t

) (

) (

t B

t

A , où A(t) et B(t) sont des séries entières de rayon de convergence infini, et B(0) = 1.

) (

) (

t B

t

A est DSE au V(0).

b) Montrons que ∀θ∈ ]0, 2π[ lim_n→∞

∫

₀^θ

^{( 1}

_t⁻

_{2 . sin(} ¹

_t

_{/ 2 )} ^{). sin(}

ⁿ⁺

₂ ^{1 )}

^t

^.

^{dt = 0 .}

Fixons θ ∈ ]0, 2π[. Une intégration par parties donne :

∫

₀^θ

^{ϕ (}

^t

^{). sin(}

ⁿ⁺

₂ ^{1 )}

^t

^.

^{dt = ϕ θ}

2 0

/ 1

) 2 / 1 )cos(

( 



++

− n

t

t n +

∫

₀^{θϕ'(t).cos((}_n+ⁿ₁⁺_/¹₂^/2)t)dt

donc

| ∫

₀^θ

^{ϕ (}

^t

^{). sin(}

ⁿ⁺

₂ ^{1 )}

^t

^.

^dt

^|

^≤ _n²₊^M_1/2 ⁺ _n+¹_1/2

∫

₀^θ

^{ϕ ' (}

^t

^{) .}

^dt , où M = sup_{t∈[0, θ]} | ϕ(t) |.

Remarque : Ce résultat est un cas particulier du lemme de Riemann-Lebesgue, qui s’énonce ainsi :

• Si f : [a, b] → C est réglée, alors lim _x→±∞

∫

_a^bf

⁽

^t

^{). sin(}

^xt

^).

^dt = 0 , et, plus généralement encore :

• Si f : [a, b] → C est réglée, et p : R → C réglée T-périodique (T > 0), alors : lim _x→±∞

∫

_a^bf

⁽

^t

^).

^p

⁽

^xt

^).

^{dt =} _T

¹ ∫

_(T)^p

⁽

^t

^).

^dt

∫

_a^{bf ).}

⁽

^{t dt.}

c) Convergence simple de (A_n(θ)) vers le « toit d’usine ».

− 1 +

24t O t( ³) − + 1

24 O t( )²

− + 1 t²

1 4



 



cos 1 2t



 



sin 1 2t

2

.0006700391779 1.851902598 .256793556110^-10 1.851937052

3.141592654 1.419021727 1.929054535 1.843445316 1.852572637 1.851902598 1.851938467 1.851937006 1.851937053 1.851937052

1.851937052

Fixons θ ∈ ]0, 2π[. An(θ) =

∫

₀^θA

^'

ⁿ

⁽

^t

^).

^{dt =}

∫

₀^θ

^[

sin2 . 2

2) sin( 1

t n+ t

− 21

]

.dt =

∫

₀^θ

sin2 . 2

2) sin( 1

t n+ t

.dt −

2 θ

=

∫

₀^θ

^sin((

ⁿ⁺

₂ ^{1 )}

^t

^{) [}

sin 2 . 2

1

t ⁻ 1t

]

.dt + dt t

t n

. 2) sin( 1

∫

0^{θ + −}

^θ ₂

^.

La première intégrale tend vers 0 quand n tend vers +∞, en vertu de B.1.b).

La seconde vaut du

u u

n^1/2) sin( ).

(

∫

0 ^{+ θ} . Elle tend vers I. Du coup, A_n(θ) tend vers I −

θ 2

_. Pour évaluer I, prenons θ = π ; A_n(π) = 0, donc I =

π2_. ∀θ ∈ ]0, 2π[ lim_n→∞ A_n(θ) =

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ ₌

2 θ π

− _.

La suite (A_n(θ)) tend simplement sur R vers la fonction h 2π-périodique définie par : h(0) = 0 , h(θ) =

2 θ

π

− _{pour θ∈ ]0, 2π[ .} d) Applications :

Si l’on particularise θ, on obtient une foule de valeurs de séries numériques.

θ =

π2 donne 1 − 3 1 ₊

5 1 ₋

7

1 + … =

π4 , résultat déjà connu.

θ =

3

2 π

donne 1 − 2 1 ₊

4 1 ₋

5 1 ₊

7 1 ₋

8

1 _{+ … =}

3 3

π

_.

θ =

π 3

donne 1 + 2 1 ₋

4 1 ₋

5 1 ₊

7 1 ₊

8

1 _{+ … =}

3 3

2 π

_.

θ =

π 6

_et

6

5 π

donnent également des résultats intéressants. Notons S_p =

∑

^+∞

= −+

06 ) 1 (

k

k

p

k ^{pour 1 ≤ p ≤ 6.}

θ =

π 6

_donne 2 1_(S

1 + S₅) + 2

3_(S

2 + S₄) + S₃ = 12 5π _. θ =

5 6 π

_donne

2 1_(S

1 + S₅) − 2

3_(S

2 + S₄) + S₃ = 12π _. Or S₃ =

12π ; donc S₁ + S₅ =

π 3

et S₂ + S₄ =

3 3

π

_.

Maple confirme ces résultats mais passe par la fonction eulérienne ψ.

> S:=p->sum((-1)^k/(6*k+p),k=0..infinity);S(p);

> for p from 1 to 6 do S(p);od;

> S(1)+S(5);S(2)+S(4);

2) Etude de la convergence uniforme. Reprenons le calcul fait en B.1.b).

:=

S p →

∑

= k 0

∞ (-1)^k +

6 k p 1 −

12



 



Ψ + 1 2

1

12p 1 12



 



Ψ 1 12p

1 − 12



 



Ψ 7 12

1 12



 



Ψ 1

12 1 +

18π 3 1

6ln 2( ) 1 12π

−1 +

6ln 2( ) 1

18π 3 1 −

12



 



Ψ 11 12

1 12



 



Ψ 5 12

1 6ln 2( )

− + −

1 12



 



Ψ 7 12

1 12



 



Ψ 1 12

1 12



 



Ψ 11 12

1 12



 



Ψ 5 12

1 9π 3

D’une part du u

u

n ^1/2) sin( ).

(

∫

0 ^{+ θ → I = π}₂ uniformément en θ si θ ≥ α > 0.

D’autre part

∫

₀^θ

^{ϕ (}

^t

^{). sin(}

ⁿ⁺

₂ ^{1 )}

^t

^.

^dt → 0 uniformément en θ sur [α, 2π−α] (0 < α < π).

car

| ∫

₀^θ

^{ϕ (}

^t

^{). sin(}

ⁿ⁺

₂ ^{1 )}

^t

^.

^dt

^|

^≤

^|

^{ϕ θ}

2 0

/ 1

) 2 / 1 )cos(

( 



++

− n

t

t n

|

^{+ |}

∫

₀^{θϕ'(t).cos((}_n+ⁿ₁⁺_/¹₂^/2)t)dt|

≤ 2 / 1 2+ n M ₊

2 / 1 +1

n

∫

₀^2π−α

^{ϕ ' (}

^t

^{) .}

^dt , où M = supt∈[0, 2π−α] |ϕ(t)|.

Du coup, la convergence de la suite (A_n) est uniforme sur tout intervalle [α, 2π−α] (0 < α < π).

La convergence n’est pas uniforme sur [0, 2π], car la limite est discontinue.

Elle n’est pas davantage uniforme sur ]0, 2π[, car sup_{θ∈]0, 2π[} | A_n(θ) − h(θ) | = G − π2_. Mais elle est dominée, car (∀n) (∀θ) |An(θ)| ≤ G.

Remarque : On peut aussi démontrer la convergence uniforme de (A_n) sur tout segment [α, 2π−α] (0

< α < 2π), au moyen d’une transformation d’Abel.

3) Montrons que (A_n) converge en moyenne quadratique vers h(θ) =

2 θ

π

− _{sur [0, 2π].}

En effet A_n(θ) − h(θ) tend simplement vers 0, et il y a domination |A_n(θ) − h(θ) | ≤ 2G.

En vertu du théorème de convergence dominée, lim_n→∞ ^2π

^[

^h

⁽ θ ⁾

^An

⁽ θ ^)]².

^d

θ

0 −

∫

^{= 0 .}

Du coup, ^2πAn

⁽ θ ^).

^d

θ

0

∫

2 ^{= 2}

∫

₀^2πh

^{( θ )}

^An

^{( θ ).}

^d

^{θ −} ∫

₀^2πh2

^{( θ ).}

^d

^θ

^{+ o(1) →}

∫

₀^{2πh )².}

^{( θ}

^d

^{θ =}

₁₂^{π² ,}

toujours par convergence dominée ( ou bien via

|

|| f ||₂− || g ||₂

|

≤ || f − g ||₂ ).

Par ailleurs, ^2πAn

⁽ θ ^).

^d

θ

0

∫

2

⁼

₂¹

^∑

= n

k ₁k1² en vertu des relations d’orthogonalité des sinus.

Conclusion :

∑

^+∞

=1 ² 1

n n ⁼

π 6 ²

_.

Remarques : 1) (A_n) converge aussi en moyenne vers h(θ). Dans l’un et l’autre cas, il s’agit de la convergence dominée « du pauvre », que l’on peut justifier par cassage en deux de l’intégrale.

2) On retrouve tout ceci en développant en série de Fourier la fonction h : comme fonction réglée, elle obéit à Parseval ; comme fonction C¹ par morceaux, elle obéit à Dirichlet.

4) Soit f une fonction réglée 2π-périodique de R dans C.

Pour tout n ∈ N* , on pose bn = π¹

∫

₀^2πf

^{( θ ). sin(}

ⁿ

^{θ ).}

^d

^θ

^.

π¹

∫

₀^2π

^π ₂

⁻

^{θ .}

^f

^{( θ ).}

^d

^θ

⁼ _π¹

∫ ∑

^+∞

=

π θ θ θ

2

0 1

).

( ).

sin( f d

n n

n

= π¹

∑

^+∞

∫

=

π θ θ θ

2 1 0

).

( ).

1 sin(n f d

n n

=

∑

^+∞

=1 n

n

n b

en vertu du théorème de convergence dominée appliqué à la suite de fonctions (A_n(θ).f(θ)), puisque | A_n(θ).f(θ) | ≤ G || f ||_∞.

C. Troisième partie : applications.

1) La fonction B(θθθθ) =

∑

^+∞

=1 ²

) cos(

n n

nθ _.

La série trigonométrique

∑

^+∞

=1 ²

) cos(

n n

nθ converge normalement sur R, car

|

² ) cos(

n nθ

|

≤

² 1 n ^.

Elle est donc absolument et uniformément convergente. Sa somme B(θ) est donc définie et continue sur R. B est bien sûr paire et 2π-périodique. Calculons B(θ) par deux méthodes :

1^ère méthode : Fixons θ ∈ ]0, 2π[.

Par convergence uniforme de

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ _{sur [π, θ] ou [θ, π], on a}

∫ ∑

^+∞

= θ

π ₁sin( ).

n

n dt

nt =

∑∫

^+∞

=1

). sin(

n

n dt

θ nt

π

Le premier membre vaut

∫

_π^θ

^π ₂

^{−t.dt = − (}

^π

⁻₄

^θ

^)².

Le second membre vaut

∑

^+∞

=

− +

−

1 ²

) 1 ( ) cos(

n

n

n

nθ = − B(θ) +

∑

^+∞

=

−

1 ²

) 1 (

n n

n = − B(θ) −

12π². Ainsi : ∀θ∈ ]0, 2π[ B(θ) =

4 θ²₋

πθ2 ₊

6

π ²

, B(0) = B(2π) =

6 π ²

_. On a évité la difficulté en 0 car il n’y pas convergence uniforme de

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ au voisinage de 0.

2^ème méthode : Fixons θ∈ [0, 2π]. La série

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ obéit au théorème de convergence dominée sur [0, θ], car ses sommes partielles sont bornées en valeur absolue par la constante de Gibbs et convergent simplement vers une fonction continue par morceaux (il y a même convergence dominée du pauvre). On peut donc écrire :

∫ ∑

^+∞

= θ

0 1

). sin(

n

n dt

nt =

∑∫

^+∞

=1 0sin( ).

n

n dt

θ nt

, c’est-à-dire : Le premier membre vaut

∫

₀^θ

^π ₂

^−t

^.

^{dt = −θ}₄^{² + πθ}₂ , le second vaut :

∑

^+∞

=

−

1 ²

) cos(

n n

nθ _{= − B(θ). Cqfd.}

Application au calcul de ζ(4).

Soit B_n(θ) =

∑

= n

k k

k

1 ²

)

cos( θ la somme partielle de cette série trigonométrique.

On a ₂¹_π

∫

₀^{2πBn(θ)².dθ =} ₂¹

∑

= n

k₁k1⁴ en vertu des relations d’orthogonalité des cos kθ. Par convergence uniforme, cette suite tend vers ₂¹_π

∫

₀^{2πB(θ)².dθ}. C’est Parseval ! Donc

∑

^+∞

=1 4

1

n n ⁼ _π¹

∫

₀^{2πB(θ)².dθ =} ₉₀^π4 , après calculs, si l’on en croit Maple :

> B:=theta->theta^2/4-Pi/2*theta+Pi^2/6;1/Pi*int(B(theta)^2,theta=0..2*Pi);

1 90π⁴ 2) La fonction C(θθθθ) =

∑

^+∞

= +

1

) sin(

1).

1 ln(

n

n nθ ^.

Procédons par superposition (i.e. par linéarité) : écrivons ln(1 + n 1_{) =}

n 1 _{+ a}

n , où a_n = O(

² 1 n ). Ainsi, C(θ) =

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ ₊

∑

^+∞

=1

) sin(

.

n

n n

a θ = h(θ) + k(θ), où h est la dent de scie étudiée en I et II, et k est la somme d’une série trigonométrique normalement convergente.

Donc C est continue par morceaux sur R, continue sur R−2πZ, discontinue en les 2kπ, avec un saut égal à π, car C(0+) − C(0−) = π.

NB : On a même C(θ) =

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ ₋₋₋₋

2 1

∑

^+∞

=1 ²

) sin(

n n

nθ ₊

∑

^+∞

=1

) sin(

.

n

n n

b θ ^{, où b}n = O(

1

₃ n ^).

Ainsi C est la somme de deux séries trigonométriques qui se calculent élémentairement, et d’une fonction 2π-périodique de classe C¹.

Avec Maple :

>with(plots):f:=x->Pi/2-x/2+floor(x/(2*Pi))*Pi;

> S:=(n,x)->sum(sin(k*x)/k,k=1..n);

> p:=n->plot(S(n,x),x=-2*Pi..2*Pi,thickness=2,color=COLOR(HUE,0.15*n)):

g:=plot(f(x),x=-2*Pi..2*Pi,colour=black,thickness=2):

> display([g,seq(p(n),n=0..9)]);

> with(plots):

> G:=Si(Pi);evalf(G);

> plot([sin(t)/t,1-

t/Pi],t=0..Pi,thickness=2);

> F:=t->t-2*Pi*floor(t/(2*Pi));

g:=t->F(t)^2/4-Pi*F(t)/2+Pi^2/6;B:=(n,t)->sum(cos(k*t)/k^2,k=1..n);

> p:=plot(g(t),t=-3*Pi..3*Pi,color=black,thickness=2):q:=n->plot(B(n,t),t=- 3*Pi..3*Pi,color=COLOR(HUE,0.3*n),thickness=2);

> display({p,seq(q(n),n=1..6)});

> C:=(n,t)->sum(ln(1+1/k)*sin(k*t),k=1..n):r:=n->plot(C(n,t),t=- Pi..3*Pi,color=COLOR(HUE,0.1*n),thickness=3);

> display(seq(r(n),n=1..6));

:=

f x → 1 − + 2π 1

2x 

 



floor 1 2

x

π π S := (n x, ) →

∑

= k 1

n sin k x( ) k

1.851937052 :=

G Si( )π

:=

g t → 1 − + 4F t( )² 1

2πF t( ) 1 6π² :=

F t → t − 2π 

 



floor 1 2

t

π B := (n t, ) →

∑

= k 1

n cos k t( ) k²

Références :

Mathsoft : Constante de Wilbraham-Gibbs

____________

Problème 2 : Phénomène de Gibbs, onde carrée (énoncé à revoir, et terminer)

A. Première partie : étude d’une suite de polynômes trigonométriques.

On pose, pour n ≥ 1, Sn(θ) = sin θ + 3

) 3

sin( θ _{+ … +}

1 2

) ) 1 2 sin((

−− n

n θ _. 1) a) Réduire l’intervalle d’étude de S_n(θ) .

b) Calculer S_n’(θ). On trouvera S_n’(θ) = θθ sin . 2

) 2 sin( n

pour θ≠ kπ. c) Etudier les variations de S_n(θ) sur [0, π].

On notera a_n,k =

² ₂

^k_n⁺

¹ π

^{et b}n,k =

² ₂

^k_n

π

^{, où 0} ≤ k ≤

2

n_.

d) Représenter sur un même graphe S_n(θ) sur [−π, π], pour 1≤ n ≤ 10, avec Maple.

2) a) Démontrer que si 1 ≤ k ≤

[

2−1

n

]

, S_n(a_n,k) − Sn(a_n,k−1) ≤

2 1 ∫

− k n

k n

a

a dt

t nt

, 1 ,

sin . 2

) 2

sin( < 0 . En déduire que les maxima locaux de S_n diminuent entre 0 et

π2_{, et maxθ∈[0,π/2] Sn(θ) = Sn(} n

2 π

_).

b) Démontrer de même que si 2 ≤ k ≤

[

2

n

]

, S_n(b_n,k) − Sn(b_n,k−1) > 0 . En déduire que les minima locaux de S_n croissent entre 0 et

π2_{, et minθ∈[π/2n,π/2] Sn(θ) = Sn(}

π

n_).

3) A l’aide de sommes de Riemann, établir pour tout k ∈ N : lim_n→∞ S_n(a_n,k) =

2

1

∫

₀^(2k+1)πsin_t ^t.dt et lim_n→∞ S_n(b_n,k) = 2

1

∫

₀^2kπsin_t ^{t.dt .}

En déduire les limites des suites αn = max_{θ∈[0,π/2]} S_n(θ) et βn = min_{θ∈[π/2n,π/2]} S_n(θ) . 4) Constante de Gibbs.

Que vaut G = lim_n→∞ αn ? Montrer que ∀t ∈ ]0, π[

t t

sin

_{> 1 −}

π

^t ; en déduire G >

2 π

_.

Obtenir un développement en série de G. En déduire une valeur approchée de G à 10⁻³ près.

B. Deuxième partie : limite des polynômes A_n(θθθθ) . 1) a) Montrer que ϕ(t) =

t

1

₋

t

sin1 peut être prolongée en une fonction C¹ sur [0, 2π[.

b) Montrer que ∀θ∈]0, π[ lim_n→∞

∫

₀^θ(₂¹_t⁻_2.sin¹ _t^{).sin(2nt).dt = 0 .}

c) On rappelle que l’intégrale impropre I =

∫

₀^{+∞sin dt}_t ^t. converge.

Montrer que ∀θ ∈ ]0, 2π[ lim_n→∞ A_n(θ) = I −

2

θ

, puis lim_n→∞ A_n(θ) =

2 θ π

− _.

2) Reprenant, en le précisant, le calcul fait en B.1.b), montrer que la convergence de la suite (A_n) est uniforme sur tout intervalle [α, 2π−α] (0 < α < π). Est –elle uniforme sur [0, 2π] ? Sur ]0, 2π[ ? Représenter sur un même graphe les fonctions A₁(θ), A2(θ), A3(θ) et

2 θ

π

− sur [0, 2π] .

3) Montrer que la suite (A_n) converge en moyenne quadratique vers h(θ) =

2 θ

π

− _{sur [0, 2π}], i.e.

lim_n→∞ ^2π

^[

^h

⁽ θ ⁾

^An

⁽ θ ^)]².

^d

θ

0 −

∫

= 0 . En déduire lim_n→∞ ^2πAn

⁽ θ ^).

^d

θ

0

∫

2 , puis la valeur de

∑

^+∞

=1 ² 1

n n ^.

___________

Solution

Avec Maple :

> with(plots):f:=x->(-1)^floor(x/Pi);

> S:=(n,x)->(4/Pi)*sum(sin((2*k+1)*x)/(2*k+1),k=0..n);

:=

S (n x, ) → 4

∑

= k 0

n sin (( 2 k + 1 x) ) + 2 k 1

π

> p:=n->plot(S(n,x),x=-

5..5,thickness=2,color=COLOR(HUE,0.15*n)):g:=plot(f(x),x=- 5..5,colour=black,thickness=2):

> display([g,seq(p(n),n=0..9)]);

Références :

Mathsoft : Constante de Wilbraham-Gibbs

____________